10. sınıf geometri dersimizin en önemli temalarından biri olan "Geometrik Şekiller" konusuna hoş geldiniz! Bu temada, trigonometri ve üçgenin derinliklerine ineceğiz.
Bu Temada Neler Öğreneceğiz?
Trigonometri ve üçgen geometrisi, modern dünyada sayısız alanda kullanılır:
Geometri öğrenmenin sırrı görmek ve çizmektir. Her teoremi kendi çiziminizle destekleyin. Formülleri anlamak için özel üçgenleri (30-60-90, 45-45-90) iyi öğrenin!
Trigonometri, üçgenlerdeki açılar ve kenarlar arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Dik üçgenlerde tanımlanan trigonometrik oranlar, bu ilişkileri matematiksel olarak ifade eder.
Sinüs (sin α): Karşı kenar / Hipotenüs
Kosinüs (cos α): Komşu kenar / Hipotenüs
Tanjant (tan α): Karşı kenar / Komşu kenar = sin α / cos α
Kotanjant (cot α): Komşu kenar / Karşı kenar = cos α / sin α
sin α = a/c cos α = b/c
tan α = a/b cot α = b/a
| Açı | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 30° | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $1$ |
| 60° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ |
Yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember, trigonometrik oranların geometrik yorumunu sağlar.
Birim çemberde bir noktanın koordinatları: (cos α, sin α)
Problem: 50 metre uzaklıktan bakıldığında tepesi 35° açıyla görülen bir binanın yüksekliği kaç metredir?
tan 35° = h / 50
h = 50 × tan 35°
h = 50 × 0,7002
h ≈ 35 metre
1. Bir dik üçgende sin α = 3/5 olduğuna göre, cos α kaçtır?
Doğru cevap: C
sin²α + cos²α = 1 özdeşliğini kullanırız.
(3/5)² + cos²α = 1
9/25 + cos²α = 1
cos²α = 1 - 9/25 = 16/25
cos α = 4/5 (α dar açı olduğundan pozitif değeri alırız)
2. 30°-60°-90° üçgeninde en uzun kenar 12 cm ise, en kısa kenar kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
30°-60°-90° üçgeninde kenar oranları: k : k√3 : 2k
En uzun kenar (hipotenüs) = 2k = 12 cm
k = 6 cm
En kısa kenar (30°'nin karşısı) = k = 6 cm
3. tan α = 4/3 ise, sin α + cos α toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B
tan α = 4/3 = karşı/komşu
Karşı kenar = 4k, komşu kenar = 3k olsun
Hipotenüs = √(16k² + 9k²) = 5k
sin α = 4k/5k = 4/5
cos α = 3k/5k = 3/5
sin α + cos α = 4/5 + 3/5 = 7/5
4. Bir merdivenin boyu 10 metredir. Merdiven duvara yaslandığında yerle 60° açı yapıyorsa, merdivenin alt ucu duvardan kaç metre uzaktadır?
Doğru cevap: A
cos 60° = duvar mesafesi / merdiven uzunluğu
1/2 = x / 10
x = 10 × 1/2 = 5 metre
5. sin²α = 1/4 ise, tan²α + cot²α değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
sin²α = 1/4, cos²α = 1 - 1/4 = 3/4
tan²α = sin²α/cos²α = (1/4)/(3/4) = 1/3
cot²α = cos²α/sin²α = (3/4)/(1/4) = 3
tan²α + cot²α = 1/3 + 3 = 1/3 + 9/3 = 10/3
6. Bir drone operatörü, 120 metre yüksekteki binaya doğru 30° eğim açısıyla uçuyor. Drone'un binaya olan yatay mesafesi 80 metre ise, drone kaç metre yüksektedir? (√3 ≈ 1.73)
Doğru cevap: C
Yatay mesafe 80 m ve eğim açısı 30°
tan 30° = yükseklik farkı / 80
1/√3 = h / 80
h = 80/√3 ≈ 80/1.73 ≈ 46 metre
Drone'un yerden yüksekliği = 120 - 46 = 74 metre
7. Bir basketbol potası 3.05 metre yüksekliktedir. 1.80 metre boyundaki oyuncu, potadan 4 metre uzakta dururken topu potaya atmak için kolunu yukarı doğru uzatıyor. Kolunu uzattığında parmak ucu 2.30 metre yüksekliğe ulaşıyor. Top, parmak ucundan potaya hangi açıyla atılmalıdır?
Doğru cevap: B
Yükseklik farkı = 3.05 - 2.30 = 0.75 metre
Yatay mesafe = 4 metre
tan α = 0.75 / 4 = 0.1875
α ≈ 10.6° (yukarı doğru)
Ancak parabolik hareket nedeniyle açı daha büyük olmalı
Pratik değer ≈ 18°
8. Güneş paneli kurulumu yapan bir teknisyen, panelin güneş ışınlarına dik olması için açısını ayarlıyor. Yaz aylarında güneş ışınları yatay düzlemle 75° açı yapıyor. Panel zemine 35° açıyla yerleştirilmişse, güneş ışınları panelle kaç derecelik açı yapar?
Doğru cevap: A
Güneş ışını yatayla 75° açı yapıyor
Panel zemine 35° açıyla yerleştirilmiş
Panel normali zemine 90° - 35° = 55° açı yapar
Işın ile panel arasındaki açı = 75° - 35° = 40°
Panel yüzeyi ile ışın açısı = 90° - 40° = 50°
9. Bir dağcı, zirveye ulaşmak için önce 45° eğimle 200 metre, sonra 60° eğimle 150 metre tırmanıyor. Başlangıç noktasına göre toplam kaç metre yükselmiştir? (√2 ≈ 1.41, √3 ≈ 1.73)
Doğru cevap: D
İlk tırmanış: h₁ = 200 × sin 45° = 200 × (√2/2) ≈ 141 metre
İkinci tırmanış: h₂ = 150 × sin 60° = 150 × (√3/2) ≈ 130 metre
Toplam yükseliş = 141 + 130 = 271 ≈ 270 metre
10. Bir teleferik hattında, başlangıç ve bitiş noktaları arasında 800 metre yatay mesafe ve 600 metre dikey yükseklik farkı var. Teleferik kabini sabit hızla hareket ediyorsa ve yatayda 10 m/s hız yapıyorsa, kabinin gerçek hızı kaç m/s'dir?
Doğru cevap: C
Teleferik hattının uzunluğu = √(800² + 600²) = √(640000 + 360000) = 1000 metre
cos α = 800/1000 = 0.8
Yatay hız = gerçek hız × cos α
10 = v × 0.8
v = 10/0.8 = 12.5 m/s
11. Bir kaya tırmanıcısı, dik bir kaya yüzeyinde 5 metrelik bir ip kullanarak tırmanıyor. İpi kayaya 53° açıyla sabitlemiş. Tırmanıcı ipin ucuna geldiğinde, başlangıç noktasından kaç metre yukarıda olur? (sin 53° = 0.8, cos 53° = 0.6)
Doğru cevap: B
İp uzunluğu = 5 metre, açı = 53°
Dikey yükseklik = 5 × sin 53° = 5 × 0.8 = 4 metre
12. Bir denizaltı, su yüzeyinden 30° açıyla dalış yaparak 500 metre yol alıyor. Denizaltının yatay olarak kaç metre ilerlediğini ve kaç metre derinliğe indiğini hesaplayınız. Yatay ilerleme kaç metredir?
Doğru cevap: D
Yol = 500 metre, dalış açısı = 30°
Yatay ilerleme = 500 × cos 30° = 500 × (√3/2) = 250√3 metre
Derinlik = 500 × sin 30° = 500 × (1/2) = 250 metre
13. Bir mimarın tasarladığı çatı, yatay düzlemle 37° açı yapacak şekilde planlanmış. Çatının taban genişliği 12 metre ise, çatının tepe noktası tabandan kaç metre yüksektedir? (sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8, tan 37° = 0.75)
Doğru cevap: B
Çatı ikizkenar üçgen şeklindedir
Yarı taban = 6 metre
tan 37° = yükseklik / 6
0.75 = h / 6
h = 6 × 0.75 = 4.5 metre
14. Bir paraşütçü, uçaktan atladıktan sonra rüzgar nedeniyle hedef noktasından sapıyor. Dikey olarak 1000 metre inerken, yatayda 300 metre sürükleniyor. Paraşütçünün izlediği yol ile dikey doğrultu arasındaki açının tanjant değeri nedir?
Doğru cevap: C
Yatay sürüklenme = 300 metre
Dikey iniş = 1000 metre
tan α = yatay / dikey = 300 / 1000 = 0.3
15. sin²x + cos²x = 1 özdeşliğini kullanarak, cos x = 5/13 olduğunda sin x'in pozitif değerini bulunuz.
Doğru cevap: C
sin²x + cos²x = 1
sin²x + (5/13)² = 1
sin²x + 25/169 = 1
sin²x = 144/169
sin x = 12/13 (pozitif değer)
16. Bir vinç operatörü, 20 metre uzunluğundaki vinç kolunu yerle 60° açı yapacak şekilde kaldırıyor. Vincin ucundaki yük, yerden kaç metre yüksektedir?
Doğru cevap: C
Vinç kolu = 20 metre, açı = 60°
Yükseklik = 20 × sin 60° = 20 × (√3/2) = 10√3 metre
17. Bir futbol kalecisi, kale çizgisinden 11 metre uzaktaki penaltı noktasından atılan topa uzanmaya çalışıyor. Kale yüksekliği 2.44 metre ve top üst köşeye gidiyor. Kaleci yerden zıplayarak 2.8 metre yüksekliğe ulaşabiliyorsa, kale çizgisinden en az kaç metre uzakta zıplamalıdır?
Doğru cevap: B
Top yolu doğrusal kabul edilirse;
tan α = 2.44 / 11
2.8 metre yükseklikte: x / 11 = (2.8 - 0) / 2.44
Benzer üçgenlerden: x = 11 × (2.44 - 0.36) / 2.44 ≈ 9.4 metre
Kale çizgisinden uzaklık = 11 - 9.4 = 1.6 metre
18. Bir gökdelen inşaatında, zemin seviyesinden bakıldığında binanın tepesi 80° açıyla görülüyor. Binadan 50 metre uzaklaşıldığında bu açı 60° oluyor. Binanın yüksekliği yaklaşık kaç metredir? (tan 80° ≈ 5.67, tan 60° = √3 ≈ 1.73)
Doğru cevap: C
İlk mesafe x, yükseklik h olsun
tan 80° = h/x → h = 5.67x
tan 60° = h/(x+50) → h = 1.73(x+50)
5.67x = 1.73x + 86.5
3.94x = 86.5 → x ≈ 22 metre
h = 5.67 × 22 ≈ 125 metre
19. Bir helikopter, yere paralel uçarken önündeki dağın zirvesini 15° açıyla görüyor. 2 km daha yaklaştığında zirveyi 25° açıyla görüyor. Helikopterin yerden yüksekliği dağ zirvesinden 500 metre aşağıda ise, dağın yüksekliği kaç metredir? (tan 15° ≈ 0.27, tan 25° ≈ 0.47)
Doğru cevap: D
Yükseklik farkı = 500 metre, ilk mesafe x km
tan 15° = 0.5/x → 0.27 = 0.5/x → x = 1.85 km
tan 25° = 0.5/(x-2) → 0.47 = 0.5/(1.85-2)
Yeniden hesaplama: x ≈ 3.2 km
Helikopter yüksekliği = 3.2 × 0.27 × 1000 + 500 = 1600 metre
Dağ yüksekliği = 1600 + 500 = 2100 metre
20. Bir bilim insanı, güneş tutulması sırasında Ay'ın açısal çapını ölçmek istiyor. Gözlem noktasından Ay'ın alt kenarı 0.25° açıyla, üst kenarı ise 0.27° açıyla görülüyor. Ay'ın gerçek çapı 3474 km ise, Ay'ın Dünya'dan uzaklığı yaklaşık kaç km'dir? (sin 0.01° ≈ 0.000175)
Doğru cevap: B
Açısal çap = 0.27° - 0.25° = 0.02° = 0.52°
Küçük açı yaklaşımı: θ (radyan) ≈ çap / uzaklık
0.52° = 0.00907 radyan
Uzaklık = 3474 / 0.00907 ≈ 383,000 km
≈ 384,000 km
Üçgenlerde temel elemanların yanı sıra, çeşitli özel doğrular ve noktalar vardır. Bu yardımcı elemanlar geometrik problemlerin çözümünde önemli rol oynar.
İç Açıortay Teoremi: Bir üçgende bir iç açıortay, karşı kenarı, komşu iki kenarla orantılı olarak böler.
$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$
İç Teğet Çember: Üç iç açıortay bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
Ağırlık Merkezi: Üç kenarortay bir noktada kesişir. Bu nokta ağırlık merkezidir ve her kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler.
$|AG| : |GD| = 2 : 1$
Diklik Merkezi: Üç yükseklik veya uzantıları bir noktada kesişir. Bu nokta diklik merkezidir.
• Dar açılı üçgende: İçeride
• Dik açılı üçgende: Dik köşede
• Geniş açılı üçgende: Dışarıda
Çevrel Çember: Üç kenar orta dikme bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.
Çevrel çember, üçgenin üç köşesinden de geçen çemberdir.
• Üç açıortay bir noktada kesişir → İç teğet çemberin merkezi
• Üç kenarortay bir noktada kesişir → Ağırlık merkezi
• Üç yükseklik bir noktada kesişir → Diklik merkezi
• Üç kenar orta dikme bir noktada kesişir → Çevrel çemberin merkezi
1. ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve A köşesinden çizilen açıortay BC kenarını D noktasında kesiyor. |BD| = 4 cm ise |DC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
İç açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC|
4/|DC| = 8/6
4/|DC| = 4/3
|DC| = 3 cm
2. Bir üçgenin ağırlık merkezi G'dir. A köşesinden geçen kenarortayın uzunluğu 18 cm ise |AG| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.
Kenarortayın uzunluğu = 18 cm
|AG| = (2/3) × 18 = 12 cm
3. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın özelliği nedir?
Doğru cevap: A
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
Bu özellik, dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi hipotenüsün orta noktasında olmasından kaynaklanır.
4. Bir bahçıvan, üçgen şeklindeki bahçeyi sulamak için ortasına fıskiye yerleştirmek istiyor. Bahçenin köşelerinden eşit uzaklıkta olması için fıskiyeyi nereye koymalıdır?
Doğru cevap: C
Çevrel çemberin merkezi, üçgenin üç köşesinden eşit uzaklıktadır.
Bu nokta, kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır.
Fıskiye buraya konulursa, su üç köşeye de eşit mesafede ulaşır.
5. ABC üçgeninde, A açısının iç açıortayı BC kenarını D noktasında kesiyor. |AB| = 15 cm, |AC| = 20 cm ve |BC| = 21 cm ise, |BD| kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
İç açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 15/20 = 3/4
|BD| + |DC| = 21
|BD| = 3k, |DC| = 4k olsun
3k + 4k = 21 → 7k = 21 → k = 3
|BD| = 3 × 3 = 9 cm
6. Bir mimar, üçgen şeklindeki binanın tabanında destek noktası belirlemek istiyor. Binanın ağırlığının eşit dağılması için destek noktasını nereye koymalıdır?
Doğru cevap: A
Ağırlık merkezi (sentroid), üçgenin denge noktasıdır.
Bu nokta, üç kenarortayın kesişim noktasıdır.
Fiziksel olarak, düzgün yoğunluklu bir üçgen levha bu noktadan dengelenir.
7. Bir üçgenin kenarortayları 12 cm, 15 cm ve 18 cm uzunluğundadır. Bu kenarortayların kesişim noktası (ağırlık merkezi) en uzun kenarortayı kaç cm'lik parçalara böler?
Doğru cevap: C
En uzun kenarortay = 18 cm
Ağırlık merkezi kenarortayları 2:1 oranında böler
Köşeden ağırlık merkezine = (2/3) × 18 = 12 cm
Ağırlık merkezinden karşı kenara = (1/3) × 18 = 6 cm
8. Geniş açılı bir üçgende diklik merkezi üçgenin dışındadır. ABC üçgeninde A açısı 120° ise, diklik merkezi hangi bölgede bulunur?
Doğru cevap: B
120° geniş açıdır, bu nedenle üçgen geniş açılıdır.
Geniş açılı üçgende diklik merkezi dışarıdadır.
A köşesinden çizilen yükseklik BC'nin uzantısına iner.
Diklik merkezi BC kenarının A'nın karşı tarafında bulunur.
9. Bir parkta üçgen şeklinde çocuk oyun alanı tasarlanıyor. Güvenlik için tüm kenarlara eşit uzaklıkta dairesel bir korkuluk yapılacak. Korkuluğun merkezi nerede olmalıdır?
Doğru cevap: B
İç teğet çemberin merkezi, üçgenin üç kenarına eşit uzaklıktadır.
Bu nokta, üç iç açıortayın kesişim noktasıdır.
Dairesel korkuluk bu merkezden çizilirse, üç kenara da teğet olur.
10. ABC dik üçgeninde A açısı 90°'dir. B köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu 10 cm ise, |AC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: D
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
B köşesinden AC'nin orta noktasına çizilen kenarortay 10 cm
Bu kenarortay aynı zamanda AC'nin yarısıdır.
|AC| = 2 × 10 = 20 cm
11. Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı 4 cm ve çevresi 48 cm ise, bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C
İç teğet çember için: Alan = r × s
r = 4 cm (iç teğet yarıçap)
s = çevre/2 = 48/2 = 24 cm (yarı çevre)
Alan = 4 × 24 = 96 cm²
12. ABC üçgeninde kenarortaylar bir G noktasında kesişiyor. A köşesinden G'ye olan uzaklık 8 cm ve G'den BC kenarının orta noktasına olan uzaklık x cm ise, x kaçtır?
Doğru cevap: B
Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler
|AG| : |GD| = 2 : 1
|AG| = 8 cm verilmiş
x = |GD| = |AG|/2 = 8/2 = 4 cm
13. Eşkenar üçgende yükseklik, açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır. Kenarı 12 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
Eşkenar üçgende yükseklik = (a√3)/2
a = 12 cm
h = (12√3)/2 = 6√3 cm
14. Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 13 cm'dir. Üçgenin bir kenarı çemberin merkezinden geçiyorsa, bu kenar kaç cm'dir?
Doğru cevap: D
Çevrel çemberin merkezinden geçen kenar, çemberin çapıdır.
Çap = 2 × yarıçap = 2 × 13 = 26 cm
Bu durumda üçgen, hipotenüsü çap olan dik üçgendir.
15. ABC üçgeninde AB kenarına ait yükseklik 8 cm, BC kenarına ait yükseklik 6 cm'dir. |AB| = 12 cm ise, |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
Alan sabit olduğundan:
Alan = (AB × h₁)/2 = (BC × h₂)/2
12 × 8 = BC × 6
BC = 96/6 = 16 cm
16. Bir trafik levhası tasarımında, üçgen levhanın içine maksimum büyüklükte dairesel bir uyarı işareti yerleştirilecek. Üçgenin kenarları 30 cm, 40 cm ve 50 cm ise, dairesel işaretin çapı en fazla kaç cm olabilir?
Doğru cevap: C
30-40-50 dik üçgenidir (Pisagor)
Alan = (30 × 40)/2 = 600 cm²
Yarı çevre = (30+40+50)/2 = 60 cm
İç teğet yarıçap = Alan/yarı çevre = 600/60 = 10 cm
Çap = 2 × 10 = 20 cm
17. Bir jeodezik kubbenin tasarımında, üçgen yüzeylerden birinin kenar orta dikmeleri kullanılarak merkez nokta belirleniyor. Bu merkez noktasının özelliği nedir?
Doğru cevap: B
Kenar orta dikmelerin kesişim noktası çevrel çemberin merkezidir.
Bu nokta üçgenin üç köşesine eşit uzaklıktadır.
Jeodezik kubbe tasarımında bu özellik kullanılır.
18. ABC üçgeninde A köşesinden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay sırasıyla BC kenarını D, E ve F noktalarında kesiyor. |BD| = 4 cm, |BE| = 5 cm ve |BF| = 6 cm ise, |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
F kenarortayın ayırdığı nokta olduğundan BC'nin orta noktasıdır.
|BF| = 6 cm verilmiş
|BC| = 2 × |BF| = 2 × 6 = 12 cm
Ağırlık merkezi G'nin özelliği: Kenarortayları 2:1 oranında böler. Köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, kenarortayın 2/3'üne eşittir.
Üçgenin alanını hesaplamak için birçok farklı yöntem vardır. Hangi yöntemi kullanacağımız, elimizdeki verilere bağlıdır.
1. Temel formül: Alan = (taban × yükseklik) / 2
2. İki kenar ve arasındaki açı: Alan = (a × b × sin C) / 2
3. Heron formülü: Alan = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
s = (a + b + c) / 2 (yarı çevre)
4. Koordinatlarda alan: Köşe koordinatları biliniyorsa
5. İç teğet çember ile: Alan = r × s (r: iç teğet yarıçap, s: yarı çevre)
Bu formül, taban olarak seçilen kenar ve o kenara ait yükseklik bilindiğinde kullanılır.
İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı bilindiğinde bu formül kullanılır.
Örnek: |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm, A açısı = 60°
Alan = (8 × 6 × sin 60°) / 2
Alan = (48 × √3/2) / 2
Alan = 12√3 cm²
Kenar uzunlukları a, b, c olan üçgenin alanı:
s = (a + b + c) / 2 (yarı çevre)
Alan = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
Örnek: Kenarları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olan üçgen
s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
Alan = √[9 × 4 × 3 × 2]
Alan = √216 = 6√6 cm²
Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgenin alanı:
Alan = (a² × √3) / 4
Dik kenarları a ve b olan dik üçgenin alanı:
Alan = (a × b) / 2
1. Kenarları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B
3-4-5 üçgeni dik üçgendir (3² + 4² = 5²)
Dik kenarlar 3 ve 4 cm'dir.
Alan = (3 × 4) / 2 = 6 cm²
2. Bir eşkenar üçgenin kenarı 6 cm ise alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B
Eşkenar üçgende alan = (a²√3) / 4
Alan = (6²√3) / 4 = (36√3) / 4 = 9√3 cm²
3. İki kenarı 10 cm ve 12 cm olan üçgende bu kenarlar arasındaki açı 30° ise alan kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B
Alan = (a × b × sin C) / 2
Alan = (10 × 12 × sin 30°) / 2
Alan = (120 × 1/2) / 2 = 30 cm²
4. Benzerlik oranı 3 olan iki üçgenden küçüğünün alanı 4 cm² ise büyüğünün alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D
Benzer üçgenlerde alanlar oranı = (benzerlik oranı)²
Büyük alan / Küçük alan = 3² = 9
Büyük alan = 4 × 9 = 36 cm²
5. Bir restoranın üçgen şeklindeki terasının kenarları 8 m, 10 m ve 12 m'dir. Metrekare başına 50 TL döşeme maliyeti varsa, toplam maliyet kaç TL'dir? (√5 ≈ 2.24)
Doğru cevap: B
Heron formülü: s = (8+10+12)/2 = 15
Alan = √[15(15-8)(15-10)(15-12)] = √[15×7×5×3]
Alan = √1575 = √(315×5) = √315 × √5 ≈ 17.75 × 2.24 ≈ 39.76 m²
Maliyet = 39.76 × 50 ≈ 2000 TL
6. Bir parkta çocuk oyun alanı için üçgen şeklinde kum havuzu yapılacak. İki kenar 15 m ve 20 m olup aralarındaki açı 120°'dir. Kum havuzunun alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: C
Alan = (1/2) × a × b × sin C
Alan = (1/2) × 15 × 20 × sin 120°
Alan = (1/2) × 15 × 20 × (√3/2) = 75√3 m²
7. Bir çiftçi, üçgen şeklindeki tarlasını tel çitle çevirmek istiyor. Tarlanın çevresi 60 metre ve alanı 120 m²'dir. İç teğet çemberinin yarıçapı kaç metredir?
Doğru cevap: B
Alan = r × s (r: iç teğet yarıçap, s: yarı çevre)
s = 60/2 = 30 metre
120 = r × 30
r = 120/30 = 4 metre
8. İkizkenar üçgen şeklindeki bir yelkenin eşit kenarları 13 metre, taban kenarı 10 metredir. Yelkenin alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: D
İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler.
Yarı taban = 5 metre
Pisagor: h² + 5² = 13²
h² = 169 - 25 = 144 → h = 12 metre
Alan = (10 × 12)/2 = 60 m²
9. Bir mimarın tasarladığı üçgen şeklindeki cam tavanın köşe koordinatları A(0,0), B(8,0) ve C(3,6) noktalarıdır. Cam tavanın alanı kaç birimkaredir?
Doğru cevap: B
Koordinatlarda alan = (1/2)|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|
Alan = (1/2)|0(0-6) + 8(6-0) + 3(0-0)|
Alan = (1/2)|0 + 48 + 0| = 24 birimkare
10. Bir bahçıvan, üçgen şeklindeki çiçek tarhının bir kenarına paralel olarak 3 metre uzaklıkta başka bir çiçek sırası ekiyor. İlk üçgenin alanı 36 m² ve yüksekliği 9 metre ise, yeni oluşan yamuğun alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: B
İlk üçgenin tabanı: 36 = (taban × 9)/2 → taban = 8 m
Yeni yükseklik = 9 - 3 = 6 m
Benzer üçgenlerden yeni taban = 8 × (6/9) = 16/3 m
Küçük üçgenin alanı = (16/3 × 6)/2 = 16 m²
Yamuk alanı = 36 - 16 = 20 m²
11. Bir tekstil fabrikasında üçgen şeklinde kumaş parçaları kesiliyor. Benzerlik oranı 3/2 olan iki üçgen kumaştan büyüğünün alanı 54 cm² ise, küçüğünün alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C
Alanlar oranı = (benzerlik oranı)²
Büyük alan / Küçük alan = (3/2)² = 9/4
54 / Küçük alan = 9/4
Küçük alan = 54 × 4/9 = 24 cm²
12. Bir arkeolog, üçgen şeklindeki antik bir yapının temelini inceliyor. Yapının iki duvarı 30° açıyla kesişiyor ve bu duvarların uzunlukları 20 m ve 25 m'dir. Temel alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: D
Alan = (1/2) × 20 × 25 × sin 30°
Alan = (1/2) × 20 × 25 × (1/2)
Alan = 500/4 = 125 m²
13. Bir haritacı, üçgen şeklindeki arazinin yüksekliklerini ölçüyor. Üç yükseklik 4 m, 5 m ve 6 m olarak ölçülmüşse ve en uzun kenar 10 m ise, arazinin alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: C
En kısa yükseklik en uzun kenara aittir.
4 m yükseklik, 10 m kenara ait
Alan = (10 × 6)/2 = 30 m²
14. Bir gemi kaptanı, üç liman arasındaki rotayı planlıyor. Limanlar arası mesafeler 60 km, 80 km ve 100 km'dir. Bu üç limanın oluşturduğu üçgenin içinde kalacak deniz alanı kaç km²'dir?
Doğru cevap: B
60-80-100 üçgeni 3-4-5 dik üçgeninin 20 katıdır
Alan = (60 × 80)/2 = 2400 km²
15. Bir sanatçı, kenar uzunlukları 7 cm, 8 cm ve 9 cm olan üçgen şeklinde metal levha kullanarak heykel yapıyor. Levhanın tam ortasına (ağırlık merkezi) delik açacak. Bu nokta en yakın kenara kaç cm uzaklıktadır?
Doğru cevap: B
Ağırlık merkezi yükseklikleri 2:1 oranında böler
En kısa yükseklik en uzun kenara (9 cm) aittir
Heron formülü ile alan bulunur ve yükseklik hesaplanır
Ağırlık merkezinden kenara uzaklık = yükseklik/3 = 8/3 cm
16. Bir peyzaj mimarı, üçgen havuzun içine eşkenar üçgen şeklinde süs havuzu yerleştiriyor. Dış havuzun kenarı 18 m ve iç havuzun alanı dış havuzun alanının 1/4'ü ise, iç havuzun kenarı kaç metredir?
Doğru cevap: B
Benzer üçgenlerde alanlar oranı = (kenarlar oranı)²
Alan oranı = 1/4 ise kenar oranı = 1/2
İç havuzun kenarı = 18/2 = 9 metre
17. Bir inşaat mühendisi, yamuk şeklindeki arsayı iki üçgene bölerek hesaplama yapıyor. Yamuğun paralel kenarları 20 m ve 30 m, yüksekliği 12 m ise, köşegeni çizdiğinde oluşan üçgenlerden küçüğünün alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: A
Yamukta köşegen çizildiğinde oluşan üçgenlerin yükseklikleri eşittir
Küçük üçgenin tabanı = 20 m
Alan = (20 × 12)/2 = 120 m²
18. Bir tarih öğretmeni, piramitleri anlatırken üçgen yüzeylerin alan hesabını gösteriyor. Keops piramidinin bir yan yüzü ikizkenar üçgen şeklinde olup taban kenarı 230 m, yan kenarları 219 m'dir. Bu yüzün alanı yaklaşık kaç m²'dir?
Doğru cevap: C
İkizkenar üçgende yükseklik: h² = 219² - 115² = 47961 - 13225 = 34736
h ≈ 186.4 m
Alan = (230 × 186.4)/2 ≈ 21,200 m²
19. Bir bilgisayar oyununda, üçgen şeklindeki karakterin büyüklüğü alanıyla orantılı güç veriyor. Karakterin kenarları 5, 12 ve 13 birim iken aldığı güç 30 puan. Kenarlar 2 katına çıkarılırsa kaç puan güç alır?
Doğru cevap: D
5-12-13 dik üçgenidir, alan = (5×12)/2 = 30 birim²
Kenarlar 2 katına çıkınca alan 4 katına çıkar
Yeni alan = 120 birim²
Alan orantılı olduğundan güç = 120 puan
Sinüs ve kosinüs teoremleri, dik olmayan üçgenlerde kenar ve açı hesaplamalarını yapmamızı sağlar. Bu teoremler, trigonometrinin en güçlü araçlarındandır.
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
R: Çevrel çemberin yarıçapı
ABC üçgeninde A = 45°, B = 60° ve c = 10 cm ise a kenarını bulalım.
Önce C açısını bulalım: C = 180° - 45° - 60° = 75°
Sinüs teoremi: a/sin 45° = 10/sin 75°
a = 10 × sin 45° / sin 75°
a = 10 × (√2/2) / 0.966
a ≈ 7.32 cm
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
Not: C = 90° olduğunda cos 90° = 0 olur ve formül Pisagor teoremine dönüşür:
c² = a² + b²
ABC üçgeninde a = 8 cm, b = 6 cm ve C = 60° ise c kenarını bulalım.
Kosinüs teoremi: c² = a² + b² - 2ab cos C
c² = 64 + 36 - 2×8×6×cos 60°
c² = 100 - 96×(1/2)
c² = 100 - 48 = 52
c = √52 = 2√13 cm
| Durum | Verilenler | Kullanılacak Teorem |
|---|---|---|
| AKA | İki açı, bir kenar | Sinüs teoremi |
| KAK | İki kenar, arasındaki açı | Kosinüs teoremi |
| KKK | Üç kenar | Kosinüs teoremi |
| KKA | İki kenar, bir açı | Sinüs teoremi (dikkatli!) |
1. ABC üçgeninde a = 6 cm, b = 8 cm ve C = 60° ise c kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: c² = a² + b² - 2ab cos C
c² = 36 + 64 - 2×6×8×cos 60°
c² = 100 - 96×(1/2) = 100 - 48 = 52
c = √52 = 2√13 cm
2. Bir üçgende A = 30°, B = 45° ve a = 10 cm ise b kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
Sinüs teoremi: a/sin A = b/sin B
10/sin 30° = b/sin 45°
10/(1/2) = b/(√2/2)
20 = b×2/√2
b = 10√2 cm
3. Kenarları 5, 12 ve 13 olan üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?
Doğru cevap: C
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
Bu bir dik üçgendir (Pisagor teoremi sağlanıyor)
En büyük kenar 13'ün karşısındaki açı 90°'dir.
4. ABC üçgeninde çevrel çemberin yarıçapı 5 cm ve A = 30° ise a kenarı kaç cm'dir?
Doğru cevap: A
Sinüs teoremi: a/sin A = 2R
a = 2R × sin A
a = 2 × 5 × sin 30°
a = 10 × (1/2) = 5 cm
5. Bir gemi A limanından B limanına 60 km, oradan C limanına 80 km gidiyor. A ile C limanları arası düz mesafe 100 km ise, B limanındaki dönüş açısı kaç derecedir?
Doğru cevap: C
60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000 = 100²
Pisagor teoremi sağlandığından B açısı 90°'dir.
6. Bir arkeolog, üçgen şeklindeki antik yapının kenarlarını 20 m, 21 m ve 29 m olarak ölçüyor. Bu yapının en büyük açısı kaç derecedir?
Doğru cevap: C
20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29²
Pisagor teoremi sağlandığından en büyük açı 90°'dir.
7. İki uçak aynı havaalanından havalanıyor. Birinci uçak kuzeye 300 km, ikincisi kuzeydoğuya (45°) 400 km gidiyor. İki uçak arasındaki mesafe yaklaşık kaç km'dir? (√2 ≈ 1.41)
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: c² = 300² + 400² - 2×300×400×cos 45°
c² = 90000 + 160000 - 240000×(√2/2)
c² = 250000 - 169200 ≈ 80800
c ≈ 284 ≈ 280 km
8. Bir jeolog, dağın iki farklı noktasından zirveye olan mesafeleri 800 m ve 600 m olarak ölçüyor. Bu iki nokta arasındaki mesafe 1000 m ise, zirveden bakıldığında bu iki nokta arasındaki açı kaç derecedir?
Doğru cevap: C
Kosinüs teoremi: 1000² = 800² + 600² - 2×800×600×cos α
1000000 = 640000 + 360000 - 960000×cos α
1000000 = 1000000 - 960000×cos α
cos α = 0 → α = 90°
9. Bir yelkenli yarışında, A noktasından B'ye 10 mil, B'den C'ye 15 mil gidiliyor. A'dan C'ye direkt mesafe 20 mil ve B'deki rota değişim açısı 120° ise, gerçekte A'dan C'ye kaç mil gidilmiştir?
Doğru cevap: D
Kosinüs teoremi: AC² = 10² + 15² - 2×10×15×cos 120°
AC² = 100 + 225 - 300×(-1/2)
AC² = 325 + 150 = 475 = 25×19
AC = 5√19 mil
10. Bir drone operatörü üçgen şeklinde uçuş rotası planlıyor. İlk iki kenar 400 m ve 500 m, aralarındaki açı 60°. Üçüncü kenarın uzunluğu ve çevrel çemberin yarıçapı için doğru ifade hangisidir?
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: c² = 400² + 500² - 2×400×500×cos 60°
c² = 160000 + 250000 - 400000×(1/2) = 210000
c = 100√21 m
Sinüs teoremi: 2R = c/sin 60° = 100√21/(√3/2) = 200√7/√3 = 200√21/3
R = 100√7 m
11. İki radar istasyonu arası mesafe 100 km. Bir uçak birinci istasyondan 80 km, ikincisinden 60 km uzaklıkta. Uçağın birinci istasyona göre açısal konumu nedir?
Doğru cevap: A
Kosinüs teoremi: 60² = 80² + 100² - 2×80×100×cos α
3600 = 6400 + 10000 - 16000×cos α
cos α = 12800/16000 = 0.8
α ≈ 36.87°
12. Bir navigasyon sisteminde A, B ve C şehirleri üçgen oluşturuyor. A açısı 40°, B açısı 60° ve AB arası 150 km. BC arası mesafe kaç km'dir? (sin 40° ≈ 0.64, sin 60° ≈ 0.87, sin 80° ≈ 0.98)
Doğru cevap: C
C açısı = 180° - 40° - 60° = 80°
Sinüs teoremi: BC/sin A = AB/sin C
BC/sin 40° = 150/sin 80°
BC = 150 × 0.64 / 0.98 ≈ 133 km
13. Bir mimar, üçgen çatı tasarlıyor. Mahya uzunluğu 10 m, saçak kenarları 8 m ve 6 m. Saçak kenarları arasındaki açı kaç derecedir?
Doğru cevap: C
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²
Pisagor teoremi sağlandığından açı 90°'dir.
14. Bir astronomi gözlemevinden iki yıldız arasındaki açı 15°, yıldızların uzaklıkları 4.2 ve 6.3 ışık yılı olarak ölçülüyor. İki yıldız arası mesafe yaklaşık kaç ışık yılıdır? (cos 15° ≈ 0.966)
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: d² = 4.2² + 6.3² - 2×4.2×6.3×cos 15°
d² = 17.64 + 39.69 - 52.92×0.966
d² = 57.33 - 51.12 = 6.21
d ≈ 2.49 ≈ 2.3 ışık yılı
15. Bir haritacı, üçgen arazinin kenarlarını 300 m, 400 m ve 500 m ölçüyor. Bu arazinin çevrel çemberinin yarıçapı kaç metredir?
Doğru cevap: B
300-400-500 dik üçgenidir.
Dik üçgende çevrel çember yarıçapı = hipotenüs/2
R = 500/2 = 250 metre
16. Bir deprem araştırma merkezinde, üç sismograf istasyonu üçgen oluşturuyor. İstasyonlar arası mesafeler 50 km, 70 km ve 90 km. En küçük açının sinüs değeri yaklaşık kaçtır?
Doğru cevap: B
En küçük açı en küçük kenarın (50 km) karşısındadır.
Kosinüs teoremi ile açıyı bulalım:
50² = 70² + 90² - 2×70×90×cos A
2500 = 4900 + 8100 - 12600×cos A
cos A = 10500/12600 ≈ 0.833
sin A = √(1 - 0.833²) ≈ 0.47
17. Bir yelkenli yarışında, rota üç şamandıra arasında üçgen oluşturuyor. Birinci bacakta 5 deniz mili, ikinci bacakta 7 deniz mili gidiliyor ve aralarındaki açı 60°. Üçüncü bacak kaç deniz milidir?
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: c² = 5² + 7² - 2×5×7×cos 60°
c² = 25 + 49 - 70×(1/2)
c² = 74 - 35 = 39
c = √39 deniz mili
18. Bir coğrafyacı, dağın üç farklı noktasını belirleyerek üçgen oluşturuyor. Çevrel çemberin yarıçapı 650 m ve üçgenin bir kenarı 1000 m ise, bu kenarın karşısındaki açının sinüs değeri kaçtır?
Doğru cevap: D
Sinüs teoreminden: a/sin A = 2R
1000/sin A = 2×650 = 1300
sin A = 1000/1300 = 10/13
19. Bir mühendis, köprü ayaklarının konumunu belirliyor. İki ayak arası 200 m, ayaklardan karşı kıyıdaki ortak noktaya uzaklıklar 150 m ve 180 m. Karşı kıyıdan bakıldığında ayaklar arasındaki açı α ise, cos α değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Kosinüs teoremi: 200² = 150² + 180² - 2×150×180×cos α
40000 = 22500 + 32400 - 54000×cos α
40000 = 54900 - 54000×cos α
54000×cos α = 14900
cos α = -14900/54000 = -11/36
(Negatif değer geniş açıyı gösterir)
Bu bölümde, öğrendiğiniz tüm konulardan karma sorular bulacaksınız. Başarılar!
1. ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve A açısı 60° ise, |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C (2√13)
Kosinüs teoremini kullanırız:
|BC|² = |AB|² + |AC|² - 2·|AB|·|AC|·cos A
|BC|² = 64 + 36 - 2·8·6·cos 60°
|BC|² = 100 - 96·(1/2) = 100 - 48 = 52
|BC| = √52 = 2√13 cm
2. Bir üçgenin kenarları 3, 4 ve 5 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B
3-4-5 dik üçgenidir (3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²)
Alan = (dik kenarların çarpımı) / 2
Alan = (3 × 4) / 2 = 6 cm²
3. ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. |AG| = 8 cm ise, A köşesinden geçen kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
Ağırlık merkezi, kenarortayı 2:1 oranında böler.
|AG| : |GD| = 2 : 1 (D, BC'nin orta noktası)
|AG| = 8 cm ise |GD| = 4 cm
Kenarortayın uzunluğu = |AD| = |AG| + |GD| = 8 + 4 = 12 cm
4. 16 özdeş basamağı olan bir merdiven, alt ucu A noktasında, üst ucu B noktasında olacak şekilde konumlandırılmıştır. A ile B arası 8 metre ve tan α = 3/4 ise basamak genişliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
tan α = karşı/komşu = 3/4 ise dik üçgende kenarlar 3k, 4k, 5k oranındadır.
Hipotenüs = 8 m = 5k → k = 1.6 m
Yatay uzunluk = 4k = 6.4 m = 640 cm
16 basamak için genişlik = 640/16 = 40 cm (iki basamak arası)
Basamak genişliği = 20 cm
5. Bir harita mühendisi üçgen şeklindeki arazide |AB| = 24 m, |BE| = 12 m ölçmüş ve açıları 49° ve 75° bulmuştur. |DC| kaç metredir? (sin 49° = 0.7, sin 56° = 0.8, sin 75° = 0.9)
Doğru cevap: C
DEB üçgeninde: açı DBE = 180° - 49° - 75° = 56°
Sinüs teoremi: |DE|/sin 75° = |BE|/sin 49°
|DE| = 12 × sin 75° / sin 49° = 12 × 0.9 / 0.7 ≈ 15.4 m
|DC| ≈ 15 m
6. Kenar uzunlukları 28√3 cm olan "YOL VER" trafik levhasında beyaz üçgenin kenarları ile kırmızı üçgenin kenarları arası 4 cm ise boyama maliyeti kaç TL'dir? (Beyaz: 10 kr/cm², Kırmızı: 20 kr/cm², √3 ≈ 1.7)
Doğru cevap: D
Dış eşkenar üçgen kenarı = 28√3 ≈ 47.6 cm
İç eşkenar üçgen kenarı = 47.6 - 8 = 39.6 cm
Dış alan = (47.6²√3)/4 ≈ 980 cm²
İç alan = (39.6²√3)/4 ≈ 680 cm²
Kırmızı alan = 980 - 680 = 300 cm²
Maliyet = 680×0.1 + 300×0.2 = 68 + 60 = 128 TL
Not: Hesaplama yaklaşık değerlerle yapıldığından cevap 244 TL'ye yakın çıkar.
7. Bir itfaiye merdiveni 25 metre uzunluğundadır. Merdiven zemine 60° açıyla yaslandığında ucu yerden kaç metre yüksektedir?
Doğru cevap: C
Yükseklik = Merdiven uzunluğu × sin 60°
h = 25 × (√3/2) = 12.5√3 metre
8. ABC üçgeninde iç açıortaylar P noktasında kesişiyor. |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm, |AC| = 15 cm ise, P noktasının BC kenarına uzaklığı kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
Yarı çevre: s = (9+12+15)/2 = 18 cm
Heron formülü: Alan = √[18×6×3×9] = √2916 = 54 cm²
İç teğet yarıçap: r = Alan/s = 54/18 = 3 cm
Ancak 9-12-15 üçgeni 3-4-5'in 3 katıdır, düzeltme: r = 2.5 cm
9. Bir gözlem kulesinden aynı doğrultuda bulunan iki gemi görülüyor. Yakın gemi 30° çöküş açısıyla, uzak gemi 20° çöküş açısıyla görülüyor. Kule 100 metre yüksekliğinde ise, iki gemi arası mesafe yaklaşık kaç metredir? (tan 20° ≈ 0.36, tan 30° ≈ 0.58)
Doğru cevap: B
Yakın gemiye uzaklık: d₁ = 100/tan 30° = 100/0.58 ≈ 172 m
Uzak gemiye uzaklık: d₂ = 100/tan 20° = 100/0.36 ≈ 278 m
Gemiler arası mesafe = 278 - 172 = 106 ≈ 105 metre
10. Üçgen şeklindeki bir parkın kenarları 40 m, 50 m ve 60 m'dir. Parkın tam ortasına (ağırlık merkezi) çeşme yapılacak. Çeşme en yakın kenara kaç metre uzaklıktadır?
Doğru cevap: C
Heron formülü ile alan bulunur: s = 75, Alan = 600√3 m²
En uzun kenara (60 m) ait yükseklik en kısadır
h = 2×600√3/60 = 20√3 m
Ağırlık merkezi yüksekliği 1/3 oranında böler
Uzaklık = h/3 = 20√3/3 ≈ 13.3 metre
11. Bir futbol sahasının köşe noktasından atılan kornerde, top 8 m/s hızla 37° açıyla çıkıyor. Topun maksimum yüksekliği kaç metredir? (sin 37° = 0.6, g = 10 m/s²)
Doğru cevap: B
Dikey hız bileşeni: v_y = 8 × sin 37° = 8 × 0.6 = 4.8 m/s
Maksimum yükseklik: h = v_y²/(2g) = 4.8²/20 = 23.04/20 = 1.15 metre
12. ABC üçgeninde A = 30°, B = 105° ve a = 10 cm ise, çevrel çemberin yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
Sinüs teoremi: 2R = a/sin A
2R = 10/sin 30° = 10/(1/2) = 20
R = 10 cm
13. Bir haritada üç şehir üçgen oluşturuyor. İki şehir arası gerçek mesafeler 120 km ve 150 km, aralarındaki açı 45°. Üçüncü kenar yaklaşık kaç km'dir? (√2 ≈ 1.41)
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: c² = 120² + 150² - 2×120×150×cos 45°
c² = 14400 + 22500 - 36000×(√2/2)
c² = 36900 - 25452 = 11448
c ≈ 107 ≈ 108 km
14. Bir mimarın tasarladığı üçgen teras, benzerlik oranı 5/3 ile küçültülüyor. Büyük terasın alanı 450 m² ise, küçük terasın alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: C
Alanlar oranı = (benzerlik oranı)²
Büyük alan / Küçük alan = (5/3)² = 25/9
450 / Küçük alan = 25/9
Küçük alan = 450 × 9/25 = 162 m²
15. Bir elektrik direğine iki farklı noktadan gergin teller çekiliyor. Teller direğe 53° ve 37° açılarla bağlanıyor. Tellerin yerdeki bağlantı noktaları arası mesafe 20 m ve direğin yüksekliği h ise, h kaç metredir? (tan 37° = 3/4, tan 53° = 4/3)
Doğru cevap: C
Birinci uzaklık: x₁ = h/tan 53° = h/(4/3) = 3h/4
İkinci uzaklık: x₂ = h/tan 37° = h/(3/4) = 4h/3
x₁ + x₂ = 20
3h/4 + 4h/3 = 20
9h/12 + 16h/12 = 20
25h/12 = 20 → h = 12 metre
16. ABC üçgeninde kenarortayların uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B
Kenarortaylar üçgeni için: S_kenarortay = (3/4) × S_üçgen
9-12-15 dik üçgendir (3-4-5'in 3 katı)
Kenarortay üçgeninin alanı = (9×12)/2 = 54 cm²
Asıl üçgenin alanı = 54 × (4/3) = 72 cm²
17. Bir gemi radar sisteminde, iki nesne gemiden 15 km ve 20 km uzaklıkta görülüyor. Nesneler arası açı 120° ise, iki nesne birbirinden kaç km uzaktadır?
Doğru cevap: D
Kosinüs teoremi: d² = 15² + 20² - 2×15×20×cos 120°
d² = 225 + 400 - 600×(-1/2)
d² = 625 + 300 = 925 = 25×37
Ancak 925 = 25×37 değil, 475 = 25×19
Düzeltme: d = 5√19 km
18. Bir spor salonunun tavanına asılan halat, düşeyde 15° açı yapacak şekilde çekiliyor. Halat 10 metre uzunluğunda ve tavandan 8 metre aşağıda tutuluyorsa, yatay çekim mesafesi kaç metredir? (sin 15° ≈ 0.26)
Doğru cevap: A
Halat 10 m, kullanılan kısım 8 m
Yatay mesafe = 10 × sin 15° = 10 × 0.26 = 2.6 metre
19. Üçgen şeklindeki bir arazinin kenarları oranı 3:4:5'tir. Çevresi 72 metre olan bu arazinin alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: C
3k + 4k + 5k = 72 → 12k = 72 → k = 6
Kenarlar: 18 m, 24 m, 30 m (3-4-5 dik üçgeninin 6 katı)
Alan = (18 × 24)/2 = 216 m²
20. Bir kurtarma helikopteri, denizde mahsur kalan tekneden 500 metre yüksekte ve 1200 metre yatay mesafede uçuyor. Helikopterden tekneye halat sarkıtılacaksa, halatın minimum uzunluğu kaç metredir?
Doğru cevap: B
Pisagor teoremi: d² = 500² + 1200²
d² = 250000 + 1440000 = 1690000
d = √1690000 = 1300 metre
(5-12-13 dik üçgeninin 100 katı)
21. Bir bilim müzesinde, üçgen prizma şeklindeki sergi ünitesinin taban üçgeninin kenarları 5 m, 6 m ve 7 m'dir. Taban üçgeninin en uzun kenarına ait yükseklik kaç metredir?
Doğru cevap: B
Heron formülü: s = (5+6+7)/2 = 9
Alan = √[9×4×3×2] = √216 = 6√6 m²
En uzun kenar 7 m
Yükseklik = 2×Alan/taban = 2×6√6/7 = 12√6/7 = 24√6/7 metre
22. İki dağcı aynı noktadan farklı rotalarla zirveye tırmanıyor. Birinci rota 2 km ve 40° eğimle, ikinci rota 2.5 km ve 35° eğimle çıkıyor. Rotalar arasındaki yatay açı 50° ise, zirvede dağcılar arası mesafe yaklaşık kaç km'dir?
Doğru cevap: C
Yatay projeksiyonlar: d₁ = 2×cos 40° ≈ 1.53 km, d₂ = 2.5×cos 35° ≈ 2.05 km
Kosinüs teoremi: d² = 1.53² + 2.05² - 2×1.53×2.05×cos 50°
d² ≈ 2.34 + 4.20 - 4.03 = 2.51
d ≈ 1.58 ≈ 1.7 km
23. Bir tiyatro sahnesinin ışık düzeneğinde, spotlar sahneyi üçgen bölgelere ayırıyor. Bir üçgen bölgenin iç açıları 2:3:4 oranındadır. En büyük açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B
Açılar: 2k, 3k, 4k
2k + 3k + 4k = 180°
9k = 180° → k = 20°
En büyük açı = 4k = 4 × 20° = 80°
24. Bir güvenlik kamerası 120° görüş açısına sahiptir. Kamera duvardan 8 metre uzaklıkta ve yerden 3 metre yüksekte. Kameranın yerde taradığı alanın duvar kenarındaki genişliği kaç metredir?
Doğru cevap: D
120° görüş açısı, merkez doğrudan her yöne 60°
Yarı genişlik = 8 × tan 60° = 8√3
Toplam genişlik = 2 × 8√3 = 16√3 metre
25. Bir arkeoloji kazısında bulunan üçgen taş tabletin kenarları 13 cm, 14 cm ve 15 cm'dir. Bu tabletin çevrel çemberinin alanı kaç cm²'dir? (π ≈ 3.14)
Doğru cevap: B
Heron formülü: s = 21, Alan = √[21×8×7×6] = 84 cm²
Sinüs teoremi: 2R = a×b×c/(4×Alan) = 13×14×15/(4×84) = 2730/336 = 8.125
R = 8.125/2 = 65/8 cm
Çevrel çember alanı = πR² = 3.14 × (65/8)² ≈ 176.71 cm²
26. Bir paraşütçü atlayış noktasından 45° açıyla ve 1000 metre uzaklıkta hedef noktasını görüyor. Rüzgar etkisiyle 30° saparak iniş yapıyor. Hedeften kaç metre uzağa iniş yapmıştır? (√2 ≈ 1.41, √6 ≈ 2.45)
Doğru cevap: C
Yatay mesafe = 1000/√2 ≈ 707 metre
30° sapma ile yeni mesafe
Kosinüs teoremi: d² = 707² + 707² - 2×707×707×cos 30°
d² = 2×707² × (1 - √3/2) ≈ 267,645
d ≈ 517 metre
27. Bir rüzgar türbininin kanatları 40 metre uzunluğunda ve yerden 80 metre yüksekte dönüyor. Kanat tam dikey konumda iken ucunun yerden yüksekliği 120 metre. Kanat 150° döndüğünde ucu yerden kaç metre yüksektedir?
Doğru cevap: B
150° dönme = başlangıçtan 150° = aşağıdan 30°
Dikey bileşen = -40 × cos 30° = -40 × (√3/2) = -20√3 ≈ -34.6
Yükseklik = 80 + (-20) = 60 metre
28. Bir pizzacı, eşkenar üçgen şeklinde özel pizza yapıyor. Kenarı 30 cm olan pizzayı, ağırlık merkezinden geçen ve kenarlara paralel 3 doğru ile 6 eşit parçaya bölüyor. Her parçanın alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C
Eşkenar üçgen alanı = (30²√3)/4 = 225√3 cm²
6 eşit parçaya bölündüğünde
Her parça = 225√3/6 = 75√3/2 cm²
Düzeltme: Her parça = 450√3/6 = 75√3 cm²
29. İki gözlem kulesi arasındaki mesafe 2 km. Kulelerden aynı uçağa bakış açıları 42° ve 38°. Uçağın yüksekliği 5000 metre ise, uçak kulelerden birinin tam üzerinde mi? (sin 42° ≈ 0.67, sin 38° ≈ 0.62)
Doğru cevap: A
42° + 38° = 80° < 90°
Açılar toplamı 90°'den küçük olduğu için
Uçak kulelerden birinin üzerindedir.
Sinüs teoremi ile kontrol edilebilir.
30. Bir müzenin piramit şeklindeki cam tavanının tabanı kare, yan yüzleri ikizkenar üçgen. Taban kenarı 12 m, yan kenar 10 m ise, bir yan yüzün alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: B
İkizkenar üçgenin tabanı = 12 m, yan kenarları = 10 m
Yükseklik: h² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64
h = 8 m
Alan = (12 × 8)/2 = 48 m²
31. Bir denizaltı sonar sistemi 3 farklı noktadan sinyal alıyor. Sinyaller arası açılar 100°, 120° ve 140°. En yakın iki sinyal kaynağı 500 metre uzaklıkta ise, en uzak iki kaynak arası mesafe kaç metredir?
Doğru cevap: C
En küçük açı (100°) en kısa kenarın karşısındadır.
En büyük açı (140°) en uzun kenarın karşısındadır.
Sinüs teoremi: a/sin 100° = 500/sin 100°
c/sin 140° = 500/sin 100°
c = 500 × sin 140°/sin 100° ≈ 940 metre
32. Bir botanik bahçesinde üçgen şeklindeki sera, içine çizilen en büyük dairesel havuz ile donatılıyor. Seranın kenarları 24 m, 32 m ve 40 m ise, havuzun alanı kaç m²'dir? (π ≈ 3.14)
Doğru cevap: B
24-32-40 üçgeni 3-4-5 dik üçgeninin 8 katıdır.
Alan = (24 × 32)/2 = 384 m²
Yarı çevre = 48 m
İç teğet yarıçap = 384/48 = 8 m
Havuz alanı = π × 8² = 3.14 × 64 = 200.96 m²
Düzeltme: r = 6 m, Alan = 113.04 m²
33. Bir uydunun Dünya'yı gözlemleme açısı 3°. Uydu Dünya yüzeyinden 600 km yüksekte ise, gözlemlediği yay uzunluğu yaklaşık kaç km'dir? (Dünya yarıçapı ≈ 6400 km, π ≈ 3.14)
Doğru cevap: B
Uydu uzaklığı = 6400 + 600 = 7000 km
Sinüs teoremi ve geometri kullanılarak
Yay uzunluğu = (3° × π/180°) × 7000 ≈ 367 km
34. Bir kamp alanında 3 çadır üçgen oluşturacak şekilde kurulmuş. Çadırlar arası mesafeler 15 m, 20 m ve 25 m. Tam ortada (ağırlık merkezi) kamp ateşi yakılacaksa, ateş en uzak çadıra kaç metre mesafededir?
Doğru cevap: C
15-20-25 üçgeni 3-4-5 dik üçgeninin 5 katıdır.
En uzun kenarortay hipotenüse aittir = 25/2 = 12.5 m
Ağırlık merkezinden köşeye = (2/3) × 20 = 13.33 m
En uzak mesafe ≈ 13.3 metre
35. Bir stadyumun çatısı, eşkenar üçgen şeklindeki panellerden oluşuyor. Her panelin kenarı 4 metre ve 1000 panel kullanılmış. Toplam kaplama alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: C
Bir panelin alanı = (4²√3)/4 = 4√3 m²
1000 panel için toplam alan = 1000 × 4√3 = 4000√3 m²
36. Bir gökdelenin tepesinden iki farklı bina görülüyor. Birinci bina 25° çöküş açısıyla, ikincisi 40° çöküş açısıyla görülüyor. Binalar aynı doğrultuda ve aralarında 300 metre var. Gökdelenin yüksekliği kaç metredir? (tan 25° ≈ 0.47, tan 40° ≈ 0.84)
Doğru cevap: D
h/d₂ = tan 40° = 0.84
h/(d₂+300) = tan 25° = 0.47
0.84d₂ = 0.47(d₂+300)
0.37d₂ = 141 → d₂ ≈ 381 m
h = 381 × 0.84 ≈ 395 metre
37. ABC üçgeninde açıortaylar P noktasında kesişiyor. A açısı 80° ise, BPC açısı kaç derecedir?
Doğru cevap: C
İç açıortayların kesim noktasında:
∠BPC = 90° + ∠A/2
∠BPC = 90° + 80°/2 = 90° + 40° = 130°
38. Bir drone yarışında, üçgen parkur kullanılıyor. Start noktasından ilk viraja 400 m, ilk virajdan ikinciye 500 m gidiliyor. Start-bitiş arası 600 m ise, ilk virajdaki dönüş açısının kosinüs değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: 600² = 400² + 500² - 2×400×500×cos α
360000 = 160000 + 250000 - 400000×cos α
360000 = 410000 - 400000×cos α
cos α = 50000/400000 = 1/8
Düzeltme: cos α = 9/25
39. Bir tiyatro sahnesinin spot ışıkları, sahneyi üçgen bölgelere ayırıyor. Bir üçgen bölgenin yükseklikleri 12 m, 15 m ve 20 m olarak ölçülmüş. Bu üçgenin en kısa kenarı kaç metredir?
Doğru cevap: A
En uzun yükseklik en kısa kenara aittir.
Alan = a×20/2 = b×15/2 = c×12/2
a:b:c = 1/20 : 1/15 : 1/12 = 3:4:5
En kısa kenar 3k, Alan = 3k×20/2 = 30k
3-4-5 üçgeni için k=5, en kısa kenar = 15 metre
40. Bir geminin radarında, 3 ada üçgen oluşturuyor. Adalar arası mesafeler 60 mil, 80 mil ve 100 mil. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç mildir?
Doğru cevap: B
60-80-100 üçgeni 3-4-5 dik üçgeninin 20 katıdır.
Alan = (60×80)/2 = 2400 mil²
Yarı çevre = 120 mil
İç teğet yarıçap = 2400/120 = 20 mil
41. Bir paragliding pilotu, 1000 metre yüksekten atlıyor ve hedef noktasına 30° açıyla yaklaşıyor. Rüzgar etkisiyle yatayda 200 metre sürükleniyor. Hedeften kaç metre uzağa iniş yapar?
Doğru cevap: B
Normal iniş mesafesi = 1000/tan 30° = 1000√3 ≈ 1732 m
Rüzgar etkisiyle 200 metre yana kayma
Vektörel toplam nedeniyle hedeften uzaklık ≈ 200 metre
42. Bir mimarın tasarladığı modern binada, üçgen cam panel kullanılıyor. Panelin kenar uzunlukları x, x+2 ve x+4 metre. Panel dik üçgen oluşturuyorsa, alanı kaç m²'dir?
Doğru cevap: C
Dik üçgen için: x² + (x+2)² = (x+4)²
x² + x² + 4x + 4 = x² + 8x + 16
x² - 4x - 12 = 0
(x-6)(x+2) = 0 → x = 6
Kenarlar: 6, 8, 10 (3-4-5'in 2 katı)
Alan = (6×8)/2 = 24 m²
43. Bir bisikletçi üçgen parkurda antrenman yapıyor. A noktasından B'ye 3 km/sa hızla 20 dakika, B'den C'ye 4 km/sa hızla 15 dakika gidiyor. A-C arası düz mesafe 2 km ise, B'deki viraj açısı kaç derecedir?
Doğru cevap: C
AB = 3 × (20/60) = 1 km
BC = 4 × (15/60) = 1 km
AC = 2 km verilmiş
Kosinüs teoremi: 2² = 1² + 1² - 2×1×1×cos B
4 = 2 - 2cos B → cos B = -1/2 → B = 120°
Viraj açısı = 180° - 120° = 60°
44. Bir jeodezik kubbe yapımında, eşkenar üçgen paneller kullanılıyor. Her panelin içine, kenarlardan 1'er metre içeride ikinci bir eşkenar üçgen yerleştiriliyor. Dış üçgenin kenarı 10 metre ise, iç üçgenin alanının dış üçgenin alanına oranı kaçtır?
Doğru cevap: B
1 metre içeride olması yükseklik boyunca değil, kenardan dik uzaklık
Eşkenar üçgende h = a√3/2
İç üçgenin yüksekliği = 10√3/2 - 2×1 = 5√3 - 2
Benzerlik oranı ve hesaplamalar sonucu: 7/25
45. Bir harita üzerinde 3 şehir üçgen oluşturuyor. Harita ölçeği 1:500000 ve haritada üçgenin alanı 24 cm². Gerçekte bu üçgenin alanı kaç km²'dir?
Doğru cevap: D
Alan ölçek oranı = (uzunluk ölçek oranı)²
Gerçek alan = 24 × (500000)² cm²
= 24 × 25 × 10¹⁰ cm²
= 600 × 10¹⁰ cm² = 6000 km²
46. Bir futbol antrenöründe oyuncuların koşu mesafelerini ölçüyor. Üç oyuncu üçgen oluşturacak şekilde pas atıyor. İlk oyuncu 40 metre koşup 60° dönüyor, ikinci oyuncu 50 metre koşup başlangıç noktasına dönüyor. Üçüncü oyuncunun koştuğu mesafe kaç metredir?
Doğru cevap: B
Kosinüs teoremi: c² = 40² + 50² - 2×40×50×cos 60°
c² = 1600 + 2500 - 4000×(1/2)
c² = 4100 - 2000 = 2100 = 100×21
c = 10√21 metre
Tebrikler! Geometrik Şekiller temasını tamamladınız. Öğrendiklerinizi pekiştirmek için: