Üçgende Alan
Bir üçgenin alanı, geometrinin en temel kavramlarından biridir. Bu özellik, bir yüzeyin kapladığı iki boyutlu uzayı ifade eder. Üçgenin alanını belirleyen temel elemanlar ise bir kenarının uzunluğu ve o kenara ait yüksekliğidir. Bu derste, üçgenin alanını etkileyen bu ve diğer faktörleri, aralarındaki ilişkileri ve pratik uygulamalarını keşfedeceğiz.
İki farklı yelkenli tasarımını inceleyelim. Yelken bezinin maliyeti, üretilen yelkenin alanı ile doğru orantılıdır.
Görsel 1: Tabanları eşit, yükseklikleri 6m ve 4m olan iki yelken.
Görsel 2: Yükseklikleri eşit, tabanları 1m ve 5m olan iki yelken.
Bu yelkenlerin maliyetlerini birbiri cinsinden hesaplayabilir miyiz? Örneğin, Görsel 1'deki 4 metrelik yelkenin maliyeti 18.000 TL ise, 6 metrelik yelkenin maliyeti ne olur? Bu gibi soruların cevabı, üçgenin alanı ile kenar ve yükseklik arasındaki oranlarda gizlidir. Dersin ilerleyen bölümlerinde bu ilişkileri detaylıca inceleyeceğiz.
Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu (taban) ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
Burada $a, b, c$ kenar uzunluklarını; $h_a, h_b, h_c$ ise sırasıyla bu kenarlara ait yükseklikleri temsil eder.
Üçgenlerin alanları arasındaki oran, tabanları veya yükseklikleri sabit olduğunda belirli kurallara uyar. Bu kurallar, birçok geometri probleminin çözümünde kilit rol oynar.
1. Yandaki şekilde [AD], ABC üçgeninin BC kenarını $ |BD| = 2|DC| $ oranında bölmektedir. ABC üçgeninin toplam alanı 36 cm² ise, ABD üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 24
ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden inen yükseklikleri ortaktır, yani yükseklikleri eşittir.
Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir. $|BD|=2k$ dersek, $|DC|=k$ olur.
Bu durumda $Alan(ABD) = 2 \cdot Alan(ADC)$. Alanları sırasıyla 2S ve S olarak ifade edebiliriz.
Toplam alan $Alan(ABC) = Alan(ABD) + Alan(ADC) = 2S + S = 3S$.
$3S = 36 \implies S = 12$ cm².
$Alan(ABD) = 2S = 2 \cdot 12 = 24$ cm².
2. Dikdörtgen şeklindeki 60 dekarlık bir tarla, yola komşu kenarı iki eş parçaya (5k, 5k), dereye komşu kenarı ise 3'e 2 oranında (6k, 4k) bölünerek dört üçgensel parsele ayrılmıştır. En büyük parsel kaç dekardır?
Doğru Cevap: 18
Tarlayı oluşturan dört üçgenin de yükseklikleri birbirine eşittir (dikdörtgenin yüksekliği).
Bu nedenle alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.
Tabanlar sırasıyla 5k, 6k, 5k ve 4k olduğundan, alanları da 5A, 6A, 5A ve 4A olarak ifade edebiliriz.
Toplam alan: $5A + 6A + 5A + 4A = 20A$.
Toplam alan 60 dekar olduğuna göre, $20A = 60 \implies A = 3$ dekar.
Parsellerin alanları: $5 \cdot 3=15$, $6 \cdot 3=18$, $5 \cdot 3=15$, $4 \cdot 3=12$ dekardır.
En büyük parsel 18 dekardır.
3. Şekildeki koşu yolunda parkurlar eşit aralıklıdır. Beyaz renkli platformun maliyeti 120 TL olduğuna göre, yeşil ve koyu mavi platformların toplam maliyeti kaç TL'dir?
Doğru Cevap: 1080 TL
Maliyet alanla orantılıdır. Parkur aralıklarına 'h' diyelim. Alan = (Taban x Yükseklik)/2. Oran sorduğu için /2'yi ihmal edebiliriz.
Beyaz üçgen: Taban=2m, Yükseklik=2h (75'ten 125'e 2 aralık). Alan Oranı $\propto 2 \cdot 2h = 4h$.
Yeşil üçgen: Taban=6m, Yükseklik=2h (25'ten 75'e 2 aralık). Alan Oranı $\propto 6 \cdot 2h = 12h$.
Mavi üçgen: Taban=8m, Yükseklik=3h (50'den 125'e 3 aralık). Alan Oranı $\propto 8 \cdot 3h = 24h$.
Beyaz platformun (4h) maliyeti 120 TL ise, 1 birim alanın (h) maliyeti $120 / 4 = 30$ TL'dir.
Maliyet_Yeşil = $12h \cdot 30 = 360$ TL.
Maliyet_Mavi = $24h \cdot 30 = 720$ TL.
Toplamları: $360 + 720 = 1080$ TL.
4. ABC üçgeninde D, E sırasıyla BC ve AB kenarları üzerinde noktalardır. $|AE|=2|EB|$ ve $|BD|=3|DC|$ ise, $Alan(BDE) / Alan(ABC)$ oranı kaçtır?
Doğru Cevap: 1/4
Bu soruyu çözmek için A ile D'yi birleştiren bir yardımcı doğru çizeriz.
1. Önce ABC üçgenini BC tabanına göre bölelim. ADC ve ABD üçgenleri A'dan inen ortak yüksekliğe sahiptir.
$|BD|=3|DC|$ olduğundan, $Alan(ABD) = 3 \cdot Alan(ADC)$. Eğer $Alan(ADC) = S$ dersek, $Alan(ABD) = 3S$ olur.
Toplam alan $Alan(ABC) = S + 3S = 4S$.
2. Şimdi ABD üçgenini (toplam alanı 3S) ele alalım. Bu üçgen, DE doğrusuyla BDE ve ADE üçgenlerine ayrılır.
Bu iki üçgenin D'den inen ortak yüksekliği vardır. Alanları, tabanları olan |BE| ve |AE| ile orantılıdır.
$|AE|=2|EB|$ olduğundan, $Alan(ADE) = 2 \cdot Alan(BDE)$.
$Alan(ABD) = Alan(ADE) + Alan(BDE) = 2 \cdot Alan(BDE) + Alan(BDE) = 3 \cdot Alan(BDE)$.
$3S = 3 \cdot Alan(BDE) \implies Alan(BDE) = S$.
3. Son olarak oranları bulalım: $\frac{Alan(BDE)}{Alan(ABC)} = \frac{S}{4S} = \frac{1}{4}$.
5. Uçurtma iskeleti, üstteki ikizkenar üçgenin alanının alttaki ikizkenar üçgenin alanının 2/5'i olacak şekilde tasarlanmıştır. Yatay çıta 80 cm, dikey çıta 105 cm olduğuna göre, uçurtmanın çevresi kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 270
İki üçgen de ortak tabana sahiptir (yatay çıta = 80 cm). Alanları oranı, yükseklikleri oranına eşittir.
$\frac{Alan_{üst}}{Alan_{alt}} = \frac{Yükseklik_{üst} (h_1)}{Yükseklik_{alt} (h_2)} = \frac{2}{5}$.
Toplam yükseklik dikey çıtadır: $h_1 + h_2 = 105$ cm. $h_1 = 2k, h_2 = 5k$ dersek, $7k=105 \implies k=15$.
$h_1 = 2 \cdot 15 = 30$ cm. $h_2 = 5 \cdot 15 = 75$ cm.
Yatay çıta 80 cm ve dikey çıta bunu ortaladığı için tabanlar 40'ar cm'ye bölünür.
Üstteki üçgenin kenarı (x) için Pisagor: $x^2 = 40^2 + h_1^2 = 1600 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500 \implies x=50$ cm.
Alttaki üçgenin kenarı (y) için Pisagor: $y^2 = 40^2 + h_2^2 = 1600 + 75^2 = 1600 + 5625 = 7225 \implies y=85$ cm.
Uçurtmanın çevresi: $2x + 2y = 2(50) + 2(85) = 100 + 170 = 270$ cm.
İki paralel doğru arasında kalan üçgenler, alan hesaplamalarında ilginç ve kullanışlı özellikler sergiler.
Tabanları ortak ve tepe noktaları bu tabana paralel bir doğru üzerinde olan üçgenlerin yükseklikleri eşit olacağından, alanları da birbirine eşittir.
1. Yandaki şekilde $d_1 // d_2$ olmak üzere, A ve B noktaları $d_1$, C ve D noktaları $d_2$ üzerindedir. $[AD]$ ve $[BC]$ köşegenleri K noktasında kesişmektedir. $Alan(AKD) = 10$ cm² ise, $Alan(BKC)$ kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 10
Paralel doğrular arasında, ortak [AB] tabanına sahip olan ABD ve ABC üçgenlerinin alanları eşittir. $Alan(ABD) = Alan(ABC)$.
Her iki üçgen de AKB bölgesini ortak olarak içermektedir.
$Alan(ABD) = Alan(AKD) + Alan(AKB)$
$Alan(ABC) = Alan(BKC) + Alan(AKB)$
Bu iki denklemi eşitlediğimizde, $Alan(AKB)$ terimleri birbirini götürür ve geriye $Alan(AKD) = Alan(BKC)$ kalır.
Dolayısıyla, $Alan(BKC) = 10$ cm²'dir. Bu özellik "kelebek kanatları" olarak da bilinir.
2. ABCD yamuğunda $[AB] // [DC]$. $Alan(DEC) = 9$ cm² ve $Alan(AEB) = 25$ cm² ise, yamuğun toplam alanı kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 64
Yamukta köşegenlerin kesişimiyle oluşan üçgenler için iki temel kural vardır:
1. Yanlardaki üçgenlerin alanları eşittir (kelebek kanatları): $Alan(ADE) = Alan(BCE) = S$.
2. Karşılıklı alanların çarpımı birbirine eşittir: $Alan(AEB) \cdot Alan(DEC) = Alan(ADE) \cdot Alan(BCE)$.
Bu kuralları kullanarak: $25 \cdot 9 = S \cdot S \implies S^2 = 225 \implies S=15$ cm².
Yan alanların her biri 15 cm²'dir.
Yamuğun toplam alanı: $Alan(AEB) + Alan(DEC) + Alan(ADE) + Alan(BCE) = 25 + 9 + 15 + 15 = 64$ cm².
Şekildeki ABCD dikdörtgeninin alanı 120 cm²'dir. E, [AB] kenarının orta noktası ve F, [AC] köşegeni üzerinde $|AF|=2|FC|$ olacak şekilde bir noktadır. Buna göre, boyalı $Alan(AEF)$ kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 20
Bu soruyu adım adım alanları bölerek çözebiliriz:
1. Önce ABC üçgeninin alanını bulalım. Dikdörtgenin alanı 120 cm² ise, köşegen onu iki eşit alana böler. Dolayısıyla $Alan(ABC) = 120 / 2 = 60$ cm².
2. Sonra AEC üçgeninin alanını bulalım. E noktası [AB] tabanının orta noktasıdır. AEC ve EBC üçgenlerinin C köşesinden inen yükseklikleri ortaktır ve tabanları ($|AE|=|EB|$) eşittir. Bu yüzden alanları da eşittir.
$Alan(AEC) = Alan(EBC) = Alan(ABC) / 2 = 60 / 2 = 30$ cm².
3. Şimdi de AEF üçgeninin alanını bulalım. AEF ve CEF üçgenleri, E köşesinden [AC] tabanına inen ortak bir yüksekliğe sahiptir. Bu durumda alanları, tabanları ile orantılıdır.
$\frac{Alan(AEF)}{Alan(CEF)} = \frac{|AF|}{|FC|} = \frac{2k}{k} = 2$.
Yani $Alan(AEF) = 2 \cdot Alan(CEF)$.
Bildiğimiz üzere $Alan(AEC) = Alan(AEF) + Alan(CEF) = 30$ cm². $Alan(AEF)$ yerine $2 \cdot Alan(CEF)$ yazarsak:
$2 \cdot Alan(CEF) + Alan(CEF) = 30 \implies 3 \cdot Alan(CEF) = 30 \implies Alan(CEF) = 10$ cm².
Boyalı alan ise: $Alan(AEF) = 2 \cdot Alan(CEF) = 2 \cdot 10 = 20$ cm².
4. Şekildeki ABCD karesinin alanı 64 cm²'dir. $|CE|=2|EB|$ olduğuna göre, $Alan(ADE)$ kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 32
Karenin alanı 64 cm² ise, bir kenarı $\sqrt{64}=8$ cm'dir.
ADE üçgeninin tabanı olarak [AD] kenarını alırsak, uzunluğu 8 cm'dir.
Bu üçgenin [AD] tabanına ait yüksekliği, E noktasından [AD] kenarına (veya uzantısına) inilen dikmedir. Bu dikmenin uzunluğu, karenin [AB] kenarının uzunluğuna eşittir, yani 8 cm'dir.
$Alan(ADE) = \frac{Taban \cdot Yükseklik}{2} = \frac{|AD| \cdot |AB|}{2} = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32$ cm².
Not: E noktasının [BC] üzerindeki konumu bu üçgenin alanını değiştirmez.
5. Süslemede kullanılan turkuaz boyalı üçgensel bölgelerin alanları toplamı 1080 cm² dir. Buna göre süslemede kullanılan turuncu boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 1080
Paralel doğrular arasındaki "kelebek kanatları" kuralını uygulayalım. Süslemedeki her bir deseni ele alalım (örneğin sol yarıdaki desen).
Üstteki yatay doğru ile ortadaki yatay doğru arasında, ortak tabana sahip üçgenler düşünelim. Örneğin, tabanı (60,0) ve (120,60) noktaları arasında olan turuncu üçgen ile beyaz üçgenin alanları... Bu karmaşık bir yol.
Daha basit bir yöntem: Süslemedeki her bir turkuaz üçgen, yanında bir turuncu üçgenle birlikte bir "kelebek kanadı" oluşturur. Örneğin, en soldaki desende, tabanı (0,60)-(120,60) olan ve köşegenleri (60,0)-(60,120) ve (0,60)-(120,60) olan bir dörtgen (yamuk değil) vardır. Bu desenin köşegenlerinin kesiştiği nokta (60,60)'tır.
En basit kural şudur: Her bir 2x1'lik dikdörtgen deseni ele alalım. Örneğin en soldaki (0,0)-(120,60) arası. (0,60) ve (120,60) noktalarını birleştiren taban ortaktır. Bu taban ve (60,0) noktasından oluşan turuncu üçgen ile aynı taban ve (60,120) noktasından oluşan turuncu üçgenin yükseklikleri eşittir (60 birim). Dolayısıyla alanları eşittir.
Her bir turkuaz alan, simetrik olarak bir turuncu alana karşılık gelir. Süslemede ne kadar turkuaz alan varsa, o kadar da turuncu alan vardır.
Dolayısıyla, turuncu boyalı bölgelerin toplam alanı, turkuaz boyalı bölgelerin toplam alanına eşittir ve 1080 cm²'dir.
Benzer üçgenler, karşılıklı açılarının ölçüleri eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı olan üçgenlerdir. Bu benzerlik oranı, alanları arasında da belirli bir ilişki kurar.
İki üçgenin benzerlik oranı $k$ ise, alanlarının oranı $k^2$'dir.
1. Bir logo tasarımcısı, dik kenarları 4 cm ve 6 cm olan bir dik üçgen şeklindeki taslağı, %150 oranında büyüterek yeni bir logo elde ediyor. Yeni oluşan logonun alanı kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 27
1. Yöntem (Alan Oranını Kullanma):
İlk üçgenin alanı: $\frac{4 \cdot 6}{2} = 12$ cm².
Benzerlik oranı $k = \%150 = \frac{150}{100} = 1.5$. Alanlar oranı $k^2 = (1.5)^2 = 2.25$.
Yeni alan = Eski Alan $\cdot k^2 = 12 \cdot 2.25 = 27$ cm².
2. Yöntem (Kenarları Büyütme):
Yeni kenarlar: $4 \cdot 1.5 = 6$ cm ve $6 \cdot 1.5 = 9$ cm.
Yeni alan: $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ cm².
2. ABC üçgeninde $[DE] // [BC]$. $Alan(ADE) = 8$ cm² ve $Alan(DBCE) = 10$ cm² ise, $|AD|/|DB|$ oranı kaçtır?
Doğru Cevap: 2
$[DE] // [BC]$ olduğu için $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.
Büyük üçgenin alanı $Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(DBCE) = 8 + 10 = 18$ cm².
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
$\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = k^2 \implies \frac{8}{18} = k^2 \implies \frac{4}{9} = k^2$.
Benzerlik oranı $k = \sqrt{4/9} = 2/3$.
Benzerlik oranı aynı zamanda kenarların oranına eşittir: $k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2}{3}$.
Bu durumda $|AD|=2x$ dersek, $|AB|=3x$ olur. O halde $|DB| = |AB| - |AD| = 3x - 2x = x$.
İstenen oran: $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{2x}{x} = 2$.
3. Bir boya ustası, üçgen bir zemini boyamak için $\frac{1}{20}$ ölçekli bir model hazırlıyor ve bu model için 300 gr boya kullanıyor. Tüm zeminin boyanması için kaç kg boya gerekir?
Doğru Cevap: 120
Boya miktarı alan ile doğru orantılıdır.
Benzerlik oranı $k = \frac{1}{20}$.
Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: $\frac{Alan_{model}}{Alan_{gerçek}} = k^2 = (\frac{1}{20})^2 = \frac{1}{400}$.
Boya miktarları da aynı oranda olacaktır: $\frac{Boya_{model}}{Boya_{gerçek}} = \frac{1}{400}$.
$\frac{300 \text{ gr}}{Boya_{gerçek}} = \frac{1}{400} \implies Boya_{gerçek} = 300 \cdot 400 = 120000$ gr.
Sonucu kilograma çevirelim: $120000 \text{ gr} = 120$ kg.
4. Şirket logosundaki gri üçgen, sarı üçgenin kenarlarının $\frac{2}{3}$ oranında küçültülmesiyle, beyaz üçgen de gri üçgenin kenarlarının $\frac{2}{3}$ oranında küçültülmesiyle elde edilmiştir. Sarı üçgen için 81 litre boya kullanıldığına göre, beyaz üçgen için kaç litre boya gerekir?
Doğru Cevap: 16
Kenar oranı (benzerlik oranı) $k = \frac{2}{3}$'tür.
Alan oranı ise $k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$'dur. Yani her bir sonraki üçgenin alanı, bir öncekinin alanının 4/9'u kadardır.
Boya miktarı alanla orantılıdır.
Boya_{gri} = Boya_{sarı} $\cdot \frac{4}{9} = 81 \cdot \frac{4}{9} = 36$ litre.
Boya_{beyaz} = Boya_{gri} $\cdot \frac{4}{9} = 36 \cdot \frac{4}{9} = 16$ litre.
5. ABC üçgeni DE ve FG paralel doğrularıyla 3 eşit alanlı bölgeye ayrılmıştır. $|DE|=4$ ise $|BC|$ kaçtır?
Doğru Cevap: $4\sqrt{3}$
Alanlar S, S, S olarak verilmiş. Benzerlikleri inceleyelim:
$\triangle ADE \sim \triangle AFG \sim \triangle ABC$.
$Alan(ADE)=S$. $Alan(AFG)=2S$. $Alan(ABC)=3S$.
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir. $\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ için:
$\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = (\frac{|DE|}{|BC|})^2$
$\frac{S}{3S} = (\frac{4}{|BC|})^2 \implies \frac{1}{3} = \frac{16}{|BC|^2}$.
$|BC|^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
$|BC| = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Bir üçgenin alanı, sadece taban ve yükseklik ile değil, aynı zamanda iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının sinüs değeri ile de hesaplanabilir. Bu yöntem, özellikle yüksekliğin bilinmediği veya kolayca hesaplanamadığı durumlarda çok kullanışlıdır.
1. Bir termal kamera, iki kenarı 200 metre uzunluğunda ve bu kenarlar arasındaki açı 30° olan ikizkenar üçgen şeklinde bir alanı taramaktadır. Kameranın taradığı alan kaç metrekaredir?
Doğru Cevap: 10,000
Sinüslü alan formülünü kullanabiliriz: $Alan = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\theta)$.
Verilen değerler: $a=200$ m, $b=200$ m, ve $\theta=30^\circ$.
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz.
$Alan = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 200 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 200 \cdot \frac{1}{2}$.
$Alan = \frac{40000}{4} = 10,000$ m².
2. Şekildeki ABC üçgeninde $|AD|=3, |DB|=4, |AE|=5, |EC|=2$ ise, $Alan(ADE) / Alan(ABC)$ oranı kaçtır?
Doğru Cevap: 15/49
Her iki üçgen de A açısını ortak olarak kullanır. Sinüslü alan formülünü kullanarak alanlarını oranlayabiliriz.
$Alan(ADE) = \frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |AE| \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin(A)$.
$Alan(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot (3+4) \cdot (5+2) \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 \cdot \sin(A)$.
Bu iki denklemi birbirine oranladığımızda $\frac{1}{2}$ ve $\sin(A)$ terimleri sadeleşir:
$\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 7} = \frac{15}{49}$.
3. Kenar uzunlukları 10 ve 12 olan bir paralelkenarın alanı 60 ise, kenarlar arasındaki dar açı kaç derecedir?
Doğru Cevap: 30°
Bir paralelkenar, bir köşegen ile iki eş üçgene ayrılır.
Paralelkenarın alanı, bu üçgenlerden birinin alanının 2 katıdır. Veya doğrudan $Alan = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ formülü kullanılabilir.
$Alan_{PK} = 10 \cdot 12 \cdot \sin(\alpha) = 120 \sin(\alpha)$.
Alan 60 olarak verildiğine göre: $60 = 120 \sin(\alpha) \implies \sin(\alpha) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.
Sinüsü 1/2 olan dar açı 30°'dir.
4. Şekildeki ABC üçgeninde $|AC|=2|AD|$, $|BC|=3|BE|$ ve $Alan(DEC) = 10$ cm² ise, $Alan(ABED)$ dörtgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 20
C açısını ortak açı olarak kullanalım ve oranları yerleştirelim:
$|AC|=2|AD| \implies |AD|=k, |DC|=k$ ve $|AC|=2k$.
$|BC|=3|BE| \implies |BE|=m, |EC|=2m$ ve $|BC|=3m$.
Şimdi alanları C açısına göre yazalım:
$Alan(DEC) = \frac{1}{2} \cdot |DC| \cdot |EC| \cdot \sin(C) = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 2m \cdot \sin(C) = k \cdot m \cdot \sin(C)$.
Bize $Alan(DEC) = 10$ verildi, yani $k \cdot m \cdot \sin(C) = 10$.
$Alan(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \sin(C) = \frac{1}{2} \cdot 2k \cdot 3m \cdot \sin(C) = 3 \cdot (k \cdot m \cdot \sin(C))$.
$k \cdot m \cdot \sin(C)$ yerine 10 yazarsak: $Alan(ABC) = 3 \cdot 10 = 30$ cm².
İstenen dörtgenin alanı: $Alan(ABED) = Alan(ABC) - Alan(DEC) = 30 - 10 = 20$ cm².
5. ABC üçgeninde G, ağırlık merkezi olmak üzere, $|AG|=6, |BG|=8$ ve $m(\angle AGB) = 90^\circ$ ise, $Alan(ABC)$ kaç birim karedir?
Doğru Cevap: 72
Ağırlık merkezi, üçgeni 3 eşit alanlı üçgene böler: $Alan(AGB) = Alan(BGC) = Alan(AGC)$.
Dolayısıyla $Alan(ABC) = 3 \cdot Alan(AGB)$.
$Alan(AGB)$ üçgenini sinüslü alan formülü ile bulabiliriz:
$Alan(AGB) = \frac{1}{2} \cdot |AG| \cdot |BG| \cdot \sin(\angle AGB)$.
Verilen değerler: $|AG|=6, |BG|=8, \angle AGB = 90^\circ$. $\sin(90^\circ)=1$.
$Alan(AGB) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 1 = 24$ birim kare.
$Alan(ABC) = 3 \cdot 24 = 72$ birim kare.
Öğrendiğiniz tüm konuları kapsayan bu alıştırmalarla bilgilerinizi pekiştirin.
1. Şekildeki ABC üçgeninde D, [BC] kenarı üzerindedir. $|BD| = 4$ cm, $|DC| = 6$ cm ve boyalı $Alan(ABD) = 10$ cm² ise, tüm üçgenin alanı, $Alan(ABC)$, kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 25
ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden inen yükseklikleri ortaktır. Bu nedenle alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.
$\frac{Alan(ABD)}{Alan(ADC)} = \frac{|BD|}{|DC|}$
Verilen değerleri yerine koyalım: $\frac{10}{Alan(ADC)} = \frac{4}{6}$
$4 \cdot Alan(ADC) = 6 \cdot 10 \implies Alan(ADC) = \frac{60}{4} = 15$ cm².
Tüm üçgenin alanı ise bu iki alanın toplamıdır:
$Alan(ABC) = Alan(ABD) + Alan(ADC) = 10 + 15 = 25$ cm².
2. Bir ABC üçgeninde $|AB| = 10$ cm, $|AC| = 12$ cm ve A açısının sinüs değeri $\sin(A) = 1/4$ ise, üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 15
Bu soru, Sinüslü Alan Formülünün doğrudan bir uygulamasıdır.
Formül: $Alan = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(A)$
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
$Alan = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{4}$
$Alan = \frac{120}{8} = 15$ cm².
3. Kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir üçgenin alanı 12 cm² ise, bu kenarlar arasındaki açının sinüs değeri kaçtır?
Doğru Cevap: 1/2
Sinüslü alan formülünü kullanırız: $Alan = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\theta)$.
$12 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(\theta)$
$12 = 24 \cdot \sin(\theta)$
$\sin(\theta) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
4. Bir ABC üçgeninde D, [BC] üzerinde bir noktadır. $|BD|=5$ cm, $|DC|=3$ cm ve $Alan(ABD)=20$ cm² ise, $Alan(ADC)$ kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 12
ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden inen yükseklikleri ortaktır.
Bu nedenle, alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.
$\frac{Alan(ABD)}{Alan(ADC)} = \frac{|BD|}{|DC|}$
$\frac{20}{Alan(ADC)} = \frac{5}{3}$
$5 \cdot Alan(ADC) = 20 \cdot 3 \implies Alan(ADC) = \frac{60}{5} = 12$ cm².
5. İki üçgenin benzerlik oranı 3'tür. Küçük üçgenin alanı 10 cm² ise büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 90
Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Benzerlik oranı $k=3$ ise, alanlar oranı $k^2 = 3^2 = 9$'dur.
$\frac{Alan_{büyük}}{Alan_{küçük}} = 9$
$Alan_{büyük} = 9 \cdot Alan_{küçük} = 9 \cdot 10 = 90$ cm².
6. ABCD yamuğunda $[AB] // [DC]$ ve E köşegenlerin kesim noktasıdır. $Alan(ADE) = 8$ cm² ise, $Alan(BCE)$ kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 8
Bir yamukta, köşegenlerin kesişmesiyle oluşan yan ("kelebek kanatları") üçgenlerin alanları daima birbirine eşittir.
Bu kurala göre, $Alan(ADE) = Alan(BCE)$'dir.
Dolayısıyla, $Alan(BCE) = 8$ cm².
7. ABC üçgeninde $[DE] // [BC]$, $|AD| = 6$ ve $|DB| = 3$ ise, $Alan(ADE)/Alan(DBCE)$ oranı kaçtır?
Doğru Cevap: 4/5
$[DE] // [BC]$ olduğundan $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.
Benzerlik oranı $k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{6}{6+3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir: $\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.
Bu durumda $Alan(ADE) = 4S$ dersek, $Alan(ABC) = 9S$ olur.
Yamuğun alanı: $Alan(DBCE) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 9S - 4S = 5S$.
İstenen oran: $\frac{Alan(ADE)}{Alan(DBCE)} = \frac{4S}{5S} = \frac{4}{5}$.
8. Bir ABC üçgeninde, A açısı ortaktır. $|AD|=4, |DB|=2, |AE|=3, |EC|=5$ ise $Alan(ADE) / Alan(ABC)$ oranı kaçtır?
Doğru Cevap: 1/4
Ortak A açısını kullanarak sinüslü alan formülünü oranlayabiliriz.
$Alan(ADE) = \frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |AE| \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin(A)$.
$|AB| = 4+2=6$ ve $|AC|=3+5=8$.
$Alan(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(A)$.
Oranladığımızda: $\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = \frac{4 \cdot 3}{6 \cdot 8} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$.
9. Bir arsanın $\frac{1}{500}$ ölçekli planında alanı 12 cm² ise, gerçek alanı kaç m²'dir?
Doğru Cevap: 300
Benzerlik oranı (ölçek) $k = \frac{1}{500}$.
Alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir: $k^2 = (\frac{1}{500})^2 = \frac{1}{250000}$.
$\frac{Alan_{plan}}{Alan_{gerçek}} = \frac{1}{250000} \implies \frac{12 \text{ cm}^2}{Alan_{gerçek}} = \frac{1}{250000}$.
$Alan_{gerçek} = 12 \cdot 250000 = 3,000,000$ cm².
Metrekareye çevirmek için 10,000'e böleriz (çünkü 1 m = 100 cm, 1 m² = $100^2$ cm² = 10000 cm²).
$Alan_{gerçek} = \frac{3,000,000}{10,000} = 300$ m².
10. ABCD dikdörtgeninin yüksekliği 8 birim, E noktası [DC] üzerinde $|DE|=3, |EC|=5$ olacak şekildedir. F noktası [AE]'nin orta noktası olduğuna göre, boyalı $Alan(FBC)$ kaç birimkaredir?
Doğru Cevap: 30
Not: Sorunun orijinal hali, farklı bir konfigürasyonda ve belirsizdi. Hem soru hem de çizim, çözülebilir ve net bir hale getirilmiştir.
Bu soruyu çözmenin en kolay yolu, FBC üçgenini iki ayrı üçgenin toplamı olarak düşünmektir: $Alan(FBC) = Alan(BCE) + Alan(FEC)$.
1. $Alan(BCE)$'yi hesaplayalım. Bu üçgenin tabanı $|EC|=5$, bu tabana ait yükseklik ise dikdörtgenin kenarı olan $|BC|=8$'dir.
- $Alan(BCE) = \frac{1}{2} \cdot |EC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20$ birimkare.
2. $Alan(FEC)$'yi hesaplayalım. F, [AE] nin orta noktasıdır. A(10,10) ve E(70,110) noktalarının orta noktası F'nin koordinatları $(\frac{10+70}{2}, \frac{10+110}{2}) = (40, 60)$'dır. FEC üçgeninin [EC] tabanına ait yüksekliği, F noktasının y-eksenine olan uzaklığıdır... Bu yöntem karmaşık.
Daha kolay bir yol: F, [AE]'nin orta noktası olduğu için [CF] kenarortaydır ve AEC üçgeninin alanını ikiye böler: $Alan(FEC) = Alan(FAC)$.
Önce $Alan(AEC)$'yi bulalım. Bu üçgenin [AC] tabanına ait yüksekliği... Bu da zor. $Alan(AEC) = Alan(ADC) - Alan(ADE)$. Bu da değil.
$Alan(AEC) = Alan(ABCD) - Alan(ADE) - Alan(EBC) - Alan(AB_?)...$
En Basit Yöntem: $Alan(AEC)$'yi, tepe noktası E olan AEC üçgeni olarak düşünelim. [AC] taban. Bu da değil. Tepe noktası C, taban [AE] olsun. Bu da zor.
Koordinatları bildiğimize göre Shoelace formülünü kullanalım: A(10,10), E(70,110), C(170,110). Alan = $\frac{1}{2} |(10 \cdot 110 + 70 \cdot 110 + 170 \cdot 10) - (10 \cdot 70 + 110 \cdot 170 + 110 \cdot 10)| = \frac{1}{2} |(1100+7700+1700) - (700+18700+1100)| = \frac{1}{2} |10500 - 20500| = 5000$. Bu koordinatlar ölçekli değil. Yeniden: A(0,8), E(3,0), C(8,0). $Alan(AEC) = \frac{1}{2}|(0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 8 \cdot 8) - (8 \cdot 3 + 0 \cdot 8 + 0 \cdot 0)| = \frac{1}{2} |64 - 24| = 20$.
$Alan(AEC)=20$. F orta nokta olduğundan $Alan(FEC) = Alan(AEC) / 2 = 10$.
3. Toplam alan: $Alan(FBC) = Alan(BCE) + Alan(FEC) = 20 + 10 = 30$.
11. ABC dik üçgeninde G ağırlık merkezidir. $Alan(BGC)=12$ ise, $Alan(ABC)$ kaçtır?
Doğru Cevap: 36
Ağırlık merkezi (G), bir üçgeni alanları eşit üç adet üçgene böler. Bu kural üçgenin dik, ikizkenar veya çeşitkenar olmasından etkilenmez.
$Alan(AGB) = Alan(BGC) = Alan(AGC)$.
Toplam alan, bu üçgenlerden birinin alanının 3 katıdır.
$Alan(ABC) = 3 \cdot Alan(BGC) = 3 \cdot 12 = 36$.
12. ABCD karesinde, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır. Karenin alanı 48 cm² ise, boyalı $Alan(AEF)$ kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 6
Karenin bir kenarına $a$ diyelim. $a^2=48$.
E ve F orta noktalar ise, $|AE| = a/2$ ve $|AF|=a/2$.
AEF bir dik üçgendir (çünkü A köşesi 90 derecedir). Alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.
$Alan(AEF) = \frac{|AE| \cdot |AF|}{2} = \frac{(a/2) \cdot (a/2)}{2} = \frac{a^2/4}{2} = \frac{a^2}{8}$.
$a^2=48$ olduğuna göre, $Alan(AEF) = \frac{48}{8} = 6$ cm².
13. ABC üçgeninde $|AD|=2|DB|$ ve $|AE|=3|EC|$. $Alan(ABC)=30$ ise, $Alan(ADE)$ kaçtır?
Doğru Cevap: 15
Oranları yazalım: $|DB|=k, |AD|=2k \implies |AB|=3k$.
$|EC|=m, |AE|=3m \implies |AC|=4m$.
Sinüslü alan formülünü oranlayalım:
$\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = \frac{\frac{1}{2} |AD| \cdot |AE| \cdot \sin(A)}{\frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(A)} = \frac{|AD| \cdot |AE|}{|AB| \cdot |AC|}$
$\frac{Alan(ADE)}{30} = \frac{2k \cdot 3m}{3k \cdot 4m} = \frac{6km}{12km} = \frac{1}{2}$.
$Alan(ADE) = \frac{30}{2} = 15$.
14. ABCD yamuğunda $[AB] // [DC]$, köşegenler E'de kesişiyor. $Alan(DEC)=4$ ve $Alan(AEB)=9$ ise, yamuğun toplam alanı kaçtır?
Doğru Cevap: 25
Yamukta köşegenlerin oluşturduğu alanlar için iki kural vardır:
1. Yan alanlar eşittir: $Alan(ADE) = Alan(BCE) = S$.
2. Karşılıklı alanların çarpımı eşittir: $Alan(DEC) \cdot Alan(AEB) = S \cdot S$.
$4 \cdot 9 = S^2 \implies S^2=36 \implies S=6$.
Toplam Alan = $Alan(DEC) + Alan(AEB) + Alan(ADE) + Alan(BCE) = 4 + 9 + 6 + 6 = 25$.
15. Bir üçgenin kenarları 1, 2, 3 oranında artırılırsa alanı kaç katına çıkar?
Doğru Cevap: Kenar oranları tek başına yetmez
Bu bir tuzak sorusudur. Kenarların hepsi aynı oranda artırılırsa (örneğin hepsi 2 katına çıkarsa), benzerlikten dolayı alan $2^2=4$ katına çıkar.
Ancak kenarlar farklı oranlarda (biri 1 kat, biri 2 kat, diğeri 3 kat) artırılırsa, oluşan yeni üçgen eski üçgene benzer olmaz. Üçgenin şekli ve açıları değişir. Dolayısıyla alanın kaç katına çıkacağını sadece bu bilgiyle hesaplayamayız.
16. ABC üçgeni, DE ve FG paralel çizgileriyle üç bölgeye ayrılmıştır. $\triangle ADE \sim \triangle AFG \sim \triangle ABC$ ve benzerlik oranları sırasıyla 1:2:3'tür. En büyük bölgenin (BCGF yamuğu) alanı 20 ise, en küçük üçgenin (ADE) alanı kaçtır?
Doğru Cevap: 4
Not: Sorunun orijinalindeki 24 değeri, tam sayı bir sonuç vermediği için 20 olarak düzeltilmiştir.
Benzer üçgenlerin kenar oranları $1:2:3$ ise, alanları oranları bu oranların karesiyle orantılıdır: $1^2:2^2:3^2 = 1:4:9$.
Üçgenlerin alanlarını S cinsinden yazalım: $Alan(ADE) = S$, $Alan(AFG) = 4S$, $Alan(ABC) = 9S$.
Şimdi bölgelerin alanlarını bulalım:
1. Bölge (ADE üçgeni) = $S$.
2. Bölge (DEGF yamuğu) = $Alan(AFG) - Alan(ADE) = 4S - S = 3S$.
3. Bölge (BCGF yamuğu) = $Alan(ABC) - Alan(AFG) = 9S - 4S = 5S$.
En büyük bölgenin alanı 20 verilmiş: $5S=20 \implies S = 4$.
En küçük üçgenin (ADE) alanı S olduğu için cevap 4'tür.
17. Alanı 50 olan ABC üçgeninde, D ve E sırasıyla [AC] ve [BC] kenarlarının orta noktalarıdır. F, [DE] üzerinde herhangi bir nokta ise, $Alan(AFB)$ kaç birimkaredir?
Doğru Cevap: 25
D ve E, [AC] ve [BC] kenarlarının orta noktaları olduğu için, [DE] doğru parçası [AB]'ye paralel olan orta tabandır.
Bir üçgenin alanı $Alan = \frac{1}{2} \cdot Taban \cdot Yükseklik$ formülüyle hesaplanır.
AFB üçgeninin tabanı [AB]'dir. Bu tabana ait yükseklik, F noktasından [AB]'ye inen dikmedir.
[DE] orta tabanı, C köşesinden [AB]'ye inen yüksekliği tam ortadan böler. F noktası [DE] üzerinde nerede olursa olsun, F'nin [AB] tabanına olan uzaklığı her zaman C'den inen yüksekliğin yarısı ($h_c/2$) olur.
$Alan(AFB) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot \frac{h_c}{2} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_c)$.
Parantez içindeki ifade $Alan(ABC)$'ye eşittir.
Dolayısıyla, $Alan(AFB) = \frac{1}{2} \cdot Alan(ABC) = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$ birimkaredir. Cevap, F'nin [DE] üzerindeki konumundan bağımsızdır.
18. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, $[GD] // [BC]$. $Alan(GDC) = 6$ ise, $Alan(ABC)$ kaçtır?
Doğru Cevap: 54
1. G ağırlık merkezi, A'dan geçen kenarortayı (AE) $2:1$ oranında böler: $|AG|=2|GE|$. Buradan $\frac{|AG|}{|AE|} = \frac{2}{3}$
2. $[GD] // [BC]$ olduğu için, Temel Orantı Teoremine göre $\triangle AGD \sim \triangle AEC$ olur. Bu benzerlikten: $\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AG|}{|AE|} = \frac{2}{3}$.
3. Demek ki D noktası AC'yi $2:1$ oranında böler: $|AD|=2k$ ise $|DC|=k$.
4. $Alan(GDA)$ ve $Alan(GDC)$ üçgenlerinin G'den [AC] üzerine inen ortak yüksekliği vardır. Alanları tabanları ile orantılıdır: $\frac{Alan(GDA)}{Alan(GDC)} = \frac{|AD|}{|DC|} = \frac{2k}{k} = 2$.
5. $Alan(GDA) = 2 \cdot Alan(GDC) = 2 \cdot 6 = 12$.
6. $Alan(AGC) = Alan(GDA) + Alan(GDC) = 12 + 6 = 18$.
7. Ağırlık merkezi, üçgeni 3 eşit alanlı bölgeye ayırır: $Alan(AGC) = Alan(BGC) = Alan(AGB)$.
8. Toplam alan: $Alan(ABC) = 3 \cdot Alan(AGC) = 3 \cdot 18 = 54$.
19. İki kenarı 8 ve 10 olan bir üçgenin alanı en fazla kaç olabilir?
Doğru Cevap: 40
Sinüslü alan formülü: $Alan = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)$.
$Alan = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(\theta) = 40 \cdot \sin(\theta)$.
Alanın maksimum olması için $\sin(\theta)$ değerinin maksimum olması gerekir.
Sinüs fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 1'dir ve bu durum aradaki açı $\theta = 90^\circ$ olduğunda gerçekleşir.
Maksimum Alan = $40 \cdot 1 = 40$. Bu durumda üçgen bir dik üçgendir.
20. ABC üçgeninde, $3|BD|=|BC|$, $2|CE|=|AC|$, $|AF|=2|FB|$. $Alan(ABC)=120$ ise $Alan(FDE)$ kaçtır?
Doğru Cevap: 26.67
Not: Bu sorudaki oranlar belirli bir tam sayı sonuç vermediği için şıklar sorunun gerçek sonucuna göre düzeltilmiştir.
Çözüm için toplam alandan köşelerdeki üçgenlerin (AFE, FBD, DCE) alanlarını çıkaracağız.
Önce verilen oranları düzenleyelim:
Şimdi köşe alanlarını toplam alanla oranlayalım:
1. $\frac{Alan(AFE)}{Alan(ABC)} = \frac{|AF|}{|AB|} \cdot \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \implies Alan(AFE) = \frac{120}{3} = 40$.
2. $\frac{Alan(FBD)}{Alan(ABC)} = \frac{|FB|}{|AB|} \cdot \frac{|BD|}{|BC|} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \implies Alan(FBD) = \frac{120}{9} \approx 13.33$.
3. $\frac{Alan(DCE)}{Alan(ABC)} = \frac{|DC|}{|BC|} \cdot \frac{|CE|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \implies Alan(DCE) = \frac{120}{3} = 40$.
Köşelerin toplam alanı: $40 + 13.33 + 40 = 93.33$.
Ortadaki $Alan(FDE) = Alan(ABC) - (Köşelerin Alanı) = 120 - 93.33 = 26.67$.