10. Sınıf - Üçgende Yardımcı Elemanlar
Geometri, şekilleri ve onların özelliklerini inceleyen bir matematik dalıdır. Üçgenler ise geometrinin temel yapı taşlarından biridir. Bu derste, üçgenlerdeki yardımcı elemanları ve bu elemanların oluşturduğu özel noktaları keşfedeceğiz.
Yardımcı Elemanlar Neden Önemlidir?
Bu elemanlar sadece teorik kavramlar değildir. Mimarlıkta dengeyi sağlamak, mühendislikte yükleri dağıtmak, şehir planlamasında en uygun konumu bulmak gibi birçok pratik alanda kullanılırlar.
Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışındır.
Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.
Bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır.
Bir kenarın orta noktasından o kenara dik olarak çizilen doğrudur.
Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışındır. Üçgenin iç açıortayları tek bir noktada kesişir ve bu nokta, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır. Bu noktaya iç teğet çemberinin merkezi denir.
ABC üçgeninde [AN] iç açıortay, [AE] dış açıortay olmak üzere:
$$ \text{İç Açıortay: } \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BN|}{|CN|} \qquad \text{Dış Açıortay: } \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|EB|}{|EC|} $$1. ABC üçgeninde A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını D noktasında kesiyor. $|AB| = 8$, $|AC| = 6$ ve $|BC| = 7$ ise, $|BD|$ uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 4
İç Açıortay Teoremi'ne göre $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$'dir.
Verilen değerleri yerine yazalım: $\frac{8}{6} = \frac{|BD|}{|DC|} \implies \frac{4}{3} = \frac{|BD|}{|DC|}$.
Bu durumda $|BD|=4k$ ve $|DC|=3k$ diyebiliriz. $|BC| = |BD| + |DC| = 7k$.
$|BC|=7$ cm verildiği için, $7k=7 \implies k=1$ olur. O halde $|BD| = 4k = 4$ cm'dir.
2. Yandaki ABC üçgeni C'de dik açılıdır. [AD] dış açıortaydır. $|AB| = 10$, $|AC| = 6$ ve $|BC| = 8$ olduğuna göre, $|CD|$ kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 12
Dış Açıortay Teoremi'ne göre $\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|BD|}$'dir. (C köşesine göre teorem uygulanırsa).
$|CD| = x$ diyelim. O zaman $|BD| = |BC| + |CD| = 8 + x$ olur.
Değerleri yerine yazalım: $\frac{6}{10} = \frac{x}{8+x} \implies \frac{3}{5} = \frac{x}{8+x}$.
İçler dışlar çarpımı yaparsak: $3(8+x) = 5x \implies 24 + 3x = 5x \implies 2x = 24 \implies x=12$.
O halde $|CD| = 12$ cm'dir.
3. ABC üçgeninde I noktası iç teğet çemberin merkezidir. $m(\angle BIC) = 115^\circ$ ise, $m(\angle BAC)$ kaç derecedir?
Doğru Cevap: 50°
İç teğet çemberin merkezi (I), iç açıortayların kesim noktasıdır. Açıortayların oluşturduğu açı için formül: $m(\angle BIC) = 90^\circ + \frac{m(\angle A)}{2}$.
Verilen değeri yerine yazalım: $115^\circ = 90^\circ + \frac{m(\angle A)}{2}$.
$115^\circ - 90^\circ = \frac{m(\angle A)}{2} \implies 25^\circ = \frac{m(\angle A)}{2}$.
$m(\angle A) = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$.
4. Şekildeki ABC üçgeninde [AN] açıortaydır. $|AB|=8, |AC|=6, |BN|=4, |NC|=3$ ise, $|AN| = x$ kaç birimdir? (Açıortay Uzunluk Formülü: $n_A^2 = |AB| \cdot |AC| - |BN| \cdot |NC|$)
Doğru Cevap: 6
Formülü doğrudan uygulayabiliriz: $x^2 = |AB| \cdot |AC| - |BN| \cdot |NC|$.
Verilen değerleri yerine koyalım: $x^2 = (8)(6) - (4)(3)$.
$x^2 = 48 - 12 = 36$.
$x = \sqrt{36} = 6$.
5. Şekildeki ABC üçgeninde $m(\angle DAB) = m(\angle ACB)$, $|AB|=6$, $|BD|=4$ ise $|DC|=x$ kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 5
Soruda verilen $m(\angle DAB) = m(\angle ACB)$ ve iki üçgende de ortak olan $m(\angle B)$ açısı, Açı-Açı benzerlik teoremine göre $\triangle BDA \sim \triangle BAC$ olduğunu gösterir.
Benzer üçgenlerin kenarlarını oranlayalım (eşit açıların karşılarındaki kenarlar):
$\frac{|BD|}{|BA|} = \frac{|BA|}{|BC|} = \frac{|DA|}{|AC|}$
İlk iki oranı kullanarak çözüme ulaşabiliriz: $\frac{|BD|}{|BA|} = \frac{|BA|}{|BC|}$.
Değerleri yerine yazalım: $\frac{4}{6} = \frac{6}{4+x}$.
İçler dışlar çarpımı yapalım: $4(4+x) = 6 \cdot 6 \implies 16 + 4x = 36 \implies 4x = 20 \implies x=5$.
Kenarortay, bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada kesişir ve bu noktaya ağırlık merkezi (G) denir.
$a$ kenarına ait kenarortay ($V_a$) için formül:
$$ 2V_a^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2} \quad \text{veya} \quad b^2+c^2 = 2(V_a^2 + (\frac{a}{2})^2) $$Bir dik üçgende, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.
1. ABC üçgeninde [AD] ve [BE] kenarortaylarının kesim noktası G'dir. $|AG| = 10$ ve $|GE|=4$ ise, $|AD|+|BE|$ toplamı kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 27
G noktası ağırlık merkezidir ve kenarortayları 2'ye 1 oranında böler.
$|AG|=10$ ise, $|GD| = |AG|/2 = 5$ cm'dir. Bu durumda $|AD| = |AG|+|GD| = 10+5=15$ cm olur.
$|GE|=4$ ise, $|BG| = 2 \cdot |GE| = 2 \cdot 4 = 8$ cm'dir. Bu durumda $|BE| = |BG|+|GE| = 8+4=12$ cm olur.
Toplam uzunluk: $|AD|+|BE| = 15 + 12 = 27$ cm'dir.
2. BAC dik üçgeninde G ağırlık merkezi ve [AD] kenarortaydır. $|BC| = 24$ cm ise $|AG|$ kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 8
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).
$|AD| = |BC|/2 = 24/2 = 12$ cm'dir.
G ağırlık merkezi, kenarortayı 2:1 oranında böler. Yani $|AD|$'yi 3 parçaya ayırır, 2 parçasını A köşesine, 1 parçasını D noktasına verir.
$|AG| = \frac{2}{3} |AD| = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ cm'dir.
3. G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. [AD] kenarortay ve Alan(GDC) = 7 cm² ise, Alan(ABC) kaç cm²'dir?
Doğru Cevap: 42
Ağırlık merkezi (G) ve kenarların orta noktaları, üçgeni alanı birbirine eşit 6 küçük üçgene böler.
Bu alanlardan biri olan Alan(GDC)'nin 7 cm² olduğu verilmiştir.
Toplam Alan(ABC) bu küçük alanın 6 katına eşittir.
$Alan(ABC) = 6 \cdot Alan(GDC) = 6 \cdot 7 = 42$ cm².
4. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve $|GD|=3, |GE|=4, |GF|=5$ ise kenarortay uzunlukları toplamı $(|AD|+|BE|+|CF|)$ kaçtır?
Doğru Cevap: 36
Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler. Köşeye olan uzaklık, kenara olan uzaklığın 2 katıdır.
$|GD|=3 \implies |AG|=2 \cdot 3 = 6$. Toplam $|AD| = 3+6=9$.
$|GE|=4 \implies |BG|=2 \cdot 4 = 8$. Toplam $|BE| = 4+8=12$.
$|GF|=5 \implies |CG|=2 \cdot 5 = 10$. Toplam $|CF| = 5+10=15$.
Toplam uzunluk = $|AD| + |BE| + |CF| = 9 + 12 + 15 = 36$.
5. ABC üçgeninde [AD] kenarortaydır. $|AB|=6, |AC|=8$ ve $|AD|=5$ ise, $|BC|$ kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 10
Kenarortay uzunluk formülünü (Apollonius Teoremi) kullanırız: $|AB|^2 + |AC|^2 = 2(|AD|^2 + |BD|^2)$.
$|BC|=a$ ve D orta nokta olduğu için $|BD|=a/2$.
$6^2 + 8^2 = 2(5^2 + (a/2)^2)$.
$36+64 = 2(25 + a^2/4)$.
$100 = 50 + a^2/2$.
$50 = a^2/2 \implies a^2 = 100 \implies a=10$.
Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya bu kenarın uzantısına dik olarak çizilen doğru parçasına yükseklik denir. Üçgenin üç yüksekliği (veya uzantıları) tek bir noktada kesişir ve bu noktaya diklik merkezi (Orthocenter) denir.
Diklik merkezinin konumu üçgenin türüne göre değişir:
1. Bir ABC üçgeninde diklik merkezi B köşesi ise bu üçgen için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Doğru Cevap: B açısı 90° olan bir dik üçgendir.
Bir üçgenin diklik merkezi, yüksekliklerin kesişim noktasıdır. Eğer bu merkez üçgenin bir köşesi üzerinde ise, o köşe dik açı olmalıdır. Çünkü o köşeden çıkan kenarlar (AB ve BC) zaten birbirine diktir ve bu kenarlar aynı zamanda birer yüksekliktir. Üçüncü yükseklik de B köşesinden hipotenüse iner.
2. ABC dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve hipotenüse ait yükseklik $[BH]$'dır. $|AH|=4$ ve $|HC|=9$ ise yükseklik $|BH|=x$ kaçtır?
Doğru Cevap: 6
Dik üçgende hipotenüse inen yükseklik için Öklid bağıntısı (yükseklik teoremi) kullanılır. Yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
$|BH|^2 = |AH| \cdot |HC|$
$x^2 = 4 \cdot 9 = 36$
$x = \sqrt{36} = 6$.
3. Dar açılı bir ABC üçgeninde yüksekliklerin kesim noktası H'dir. $m(\angle ABC)=70^\circ$ ise $m(\angle AHC)$ kaç derecedir?
Doğru Cevap: 110°
A ve C köşelerinden inen yükseklikler sırasıyla [AD] ve [CE] olsun. Bunlar H'de kesişir. AEHD dörtgeninde E ve D açıları 90°'dir. Dörtgenin iç açıları toplamı 360° olduğundan, $m(\angle EHD)$ ile $m(\angle B)$'nin toplamı 180° olmalıdır.
$m(\angle AHC)$ ile $m(\angle EHD)$ ters açılar olduğu için eşittir. Dolayısıyla $m(\angle AHC) = 180^\circ - m(\angle B)$.
$m(\angle AHC) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
4. Geniş açılı bir üçgende diklik merkezi nerededir?
Doğru Cevap: Üçgenin dışındadır.
Geniş açılı üçgenlerde, dar açıların köşelerinden çıkan yükseklikler, karşı kenarların uzantılarına iner. Bu nedenle yüksekliklerin uzantıları üçgenin dışında, geniş açının arka tarafında kesişir.
5. ABC üçgeninde A'dan inen yükseklik $[AH]$'dır. $|BH|=5, |HC|=9$ ve $|AH|=12$ ise, ABC üçgeninin çevresi kaçtır?
Doğru Cevap: 42
Soruda verilenlerle iki dik üçgen oluşur: ABH ve AHC.
ABH dik üçgeninde Pisagor: $|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$. $|AB| = \sqrt{169} = 13$. (5-12-13 özel üçgeni)
AHC dik üçgeninde Pisagor: $|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$. $|AC| = \sqrt{225} = 15$. (9-12-15 özel üçgeni)
$|BC| = |BH|+|HC| = 5+9 = 14$.
Çevre = $|AB|+|AC|+|BC| = 13 + 15 + 14 = 42$.
Bir kenarın orta noktasından o kenara dik olarak çizilen doğrudur. Üçgenin üç kenar orta dikmesi tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır ve çevrel çemberin merkezi olarak adlandırılır.
Çevrel çember merkezinin konumu üçgenin türüne göre değişir:
1. Bir zincir marketin A, B ve C şubelerine eşit uzaklıkta bir depo kurulmak isteniyor. Bu deponun konumu geometrik olarak nasıl ifade edilir?
Doğru Cevap: ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi
Bir üçgenin köşelerine (A, B, C) eşit uzaklıkta olan nokta, o üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Çevrel çemberin merkezi ise kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır.
2. Bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O noktasıdır. Çemberin yarıçapı 10 cm ise $|OA|+|OB|+|OC|$ toplamı kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 30
Çevrel çemberin merkezi (O), üçgenin köşelerine (A, B, C) eşit uzaklıktadır ve bu uzaklık çemberin yarıçapına (R) eşittir.
Dolayısıyla $|OA| = R = 10$, $|OB| = R = 10$, $|OC| = R = 10$.
Toplam = $10 + 10 + 10 = 30$ cm.
3. Bir ABC üçgeninde O çevrel çemberin merkezidir. O noktasının [BC] kenarına uzaklığı 5 cm ve çevrel çemberin yarıçapı 13 cm ise, |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 24
Çevrel çemberin merkezi O'nun bir kenara olan uzaklığı, o kenarın orta noktasına çizilen dikmedir. BC'nin orta noktası D olsun. O halde $|OD| = 5$ cm ve $[OD] \perp [BC]$.
O noktasının C köşesine olan uzaklığı yarıçapa eşittir, yani $|OC|=13$ cm.
ODC bir dik üçgen olur. Pisagor teoreminden: $|OD|^2 + |DC|^2 = |OC|^2$.
$5^2 + |DC|^2 = 13^2 \implies 25 + |DC|^2 = 169 \implies |DC|^2 = 144 \implies |DC|=12$ cm.
D orta nokta olduğu için $|BC| = 2 \cdot |DC| = 2 \cdot 12 = 24$ cm.
4. Dar açılı bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O'dur. $m(\angle BAC) = 50^\circ$ ise, $m(\angle BOC)$ kaç derecedir?
Doğru Cevap: 100°
Çevrel çemberde, bir yayı gören merkez açının ölçüsü, aynı yayı gören çevre açının ölçüsünün iki katıdır. Bu kural, merkez noktanın üçgen içinde olduğu dar açılı üçgenler için geçerlidir.
$m(\angle BAC)$ çevre açısı BC yayını görür. $m(\angle BOC)$ merkez açısı da BC yayını görür.
Dolayısıyla, $m(\angle BOC) = 2 \cdot m(\angle BAC) = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.
5. $|AB|=|AC|=10$ ve $|BC|=12$ olan ikizkenar bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 6.25
A köşesinden BC'ye bir yükseklik [AH] inelim. İkizkenar üçgende bu yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. $|BH|=|HC|=6$.
ABH dik üçgeninde Pisagor'dan: $|AH|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AH|^2 = 100-36=64 \implies |AH|=8$. (6-8-10 üçgeni)
Çevrel çember yarıçapı formülü: $R = \frac{abc}{4 \cdot Alan}$.
Alan = $\frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$.
$R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6.25$.
Üçgende yardımcı elemanların kesişmesiyle oluşan dört temel merkez vardır. Bu merkezlerin her birinin kendine özgü geometrik özellikleri bulunur.
Oluşturan: Kenarortaylar
Özellik: Üçgenin denge noktasıdır. Kenarortayı 2:1 oranında böler.
Oluşturan: İç Açıortaylar
Özellik: Üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır.
Oluşturan: Yükseklikler
Özellik: Konumu üçgenin açılarına bağlıdır (içeride, köşede veya dışarıda).
Oluşturan: Kenar Orta Dikmeler
Özellik: Üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır.
Üçgenin yardımcı elemanları, teorik birer kavram olmanın ötesinde, gerçek dünyadaki birçok problemin çözümünde kullanılır.
Köprü ve gökdelen gibi büyük yapıların tasarımlarında, yüklerin dengeli bir şekilde dağıtılması hayati önem taşır. Mühendisler, yapıların ağırlık merkezini (kenarortayların kesim noktası) hesaplayarak tasarımlarını bu denge noktasına göre optimize ederler. Bu, yapının stabilitesini ve dayanıklılığını artırır.
Üç farklı yerleşim yerine (veya yola) eşit uzaklıkta bir tesis (hastane, okul, depo vb.) inşa edilmesi gerektiğinde geometriden faydalanılır. Eğer üç noktaya da eşit uzaklıkta olması isteniyorsa çevrel çemberin merkezi, üç yola da eşit uzaklıkta olması isteniyorsa iç teğet çemberin merkezi bulunur.
Bir futbol maçında kalecinin, topa ve kale direklerine göre en avantajlı pozisyonu alması gerekir. Bu ideal konum, topun ve iki kale direğinin oluşturduğu açının açıortayı üzerindedir. Bu sayede kaleci, her iki direğe de eşit açıyla gelen şutları karşılama şansını artırır.
Öğrendiklerinizi pekiştirmek için aşağıdaki alıştırmaları çözebilirsiniz.
1. Üçgen şeklindeki bir parkın A köşesindeki Atakan kırmızı yola, B köşesindeki Buğra mavi yola, C köşesindeki Cihan ise yeşil yola en kısa yoldan yürüyor. Atakan'ın yolu yeşil yol ile 20°, Buğra'nın yolu kırmızı yol ile 40°'lik açı yapıyor. Cihan'ın yolunun mavi yol ile yaptığı açı kaç derecedir?
Doğru Cevap: 30°
"En kısa yol" bir noktadan bir doğruya çizilen dikmedir, yani yüksekliktir. Bu durumda Atakan, Buğra ve Cihan'ın yolları üçgenin yükseklikleridir.
Atakan'ın yolu (A'dan BC'ye inen yükseklik [AD]) AC kenarı (yeşil yol) ile 20° yapıyorsa, ADC dik üçgeninde $m(\angle C) = 90 - 20 = 70^\circ$ olur.
Buğra'nın yolu (B'den AC'ye inen yükseklik [BE]) AB kenarı (kırmızı yol) ile 40° yapıyorsa, ABE dik üçgeninde $m(\angle A) = 90 - 40 = 50^\circ$ olur.
Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, $m(\angle B) = 180 - (70+50) = 60^\circ$ olur.
Cihan'ın yolu (C'den AB'ye inen yükseklik [CF]) BC kenarı (mavi yol) ile yaptığı açı, BCF dik üçgeninde $90 - m(\angle B)$'dir. Yani $90 - 60 = 30^\circ$'dir.
2. ABC üçgeni biçimindeki bir parkın kenarlarının orta noktalarına uzanan AT, BR ve CS yolları P noktasında kesişiyor. A'dan girip P'den dönerek B'den çıkan Ali 22m, B'den girip P'den dönerek C'den çıkan Banu 20m, C'den girip P'den dönerek A'dan çıkan Cem 18m yürüyor. Parkın içindeki yolların (AT, BR, CS) toplam uzunluğu kaç metredir?
Doğru Cevap: 45m
Yollar kenarortaylardır ve P noktası ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.
Ali'nin yolu: $|AP| + |PB| = 22$. Banu'nun yolu: $|BP| + |PC| = 20$. Cem'in yolu: $|CP| + |PA| = 18$.
Bu üç denklemi toplarsak: $2(|AP| + |BP| + |CP|) = 22+20+18 = 60$. Buradan $|AP| + |BP| + |CP| = 30$ bulunur.
Kenarortayların toplam uzunluğu: $|AT|+|BR|+|CS| = (|AP|+|PT|) + (|BP|+|PR|) + (|CS|+|SP|)$
$|PT|=|AP|/2$, $|PR|=|BP|/2$, $|SP|=|CP|/2$ olduğundan, toplam uzunluk $1.5 \times (|AP|+|BP|+|CP|)$'dir.
Toplam Uzunluk = $1.5 \times 30 = 45$ metre.
3. Eşkenar bir üçgen için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Yanlış olan: İç teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi farklı noktalardır.
Eşkenar üçgen, yüksek derecede simetriye sahip olduğu için tüm yardımcı elemanlar (bir köşeden çıkan açıortay, kenarortay ve yükseklik) aynı doğru parçasıdır. Dolayısıyla bunların kesim noktaları olan tüm merkezler (ağırlık merkezi, diklik merkezi, iç teğet çember merkezi, çevrel çember merkezi) tek bir noktada çakışır.
4. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, $[GD] \perp [BC]$, $|GD|=4$ ve $|BC|=12$ ise, ABG üçgeninin alanı kaç birim karedir?
Doğru Cevap: 24
Ağırlık merkezi, üçgeni 3 eşit alanlı üçgene böler: Alan(ABG)=Alan(BCG)=Alan(CAG).
BCG üçgeninin alanını bulursak soruyu çözebiliriz. G noktasından BC kenarına inen dikme [GD]'dir ve uzunluğu 4 birimdir.
Alan(GBC) = $\frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |GD| = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$.
Alan(ABG) = Alan(GBC) olduğu için, Alan(ABG) = 24 birim karedir.
5. ABC üçgeninde [AD] kenarortay, [AE] açıortaydır. $|AB|=6, |AC|=10$ ve $|BC|=8$ ise, $|DE|$ uzunluğu kaçtır?
Doğru Cevap: 1
[AD] kenarortay olduğu için D noktası BC'nin orta noktasıdır. $|BD| = |DC| = 8/2 = 4$.
[AE] açıortay olduğu için iç açıortay teoremini kullanırız: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BE|}{|EC|}$.
$\frac{6}{10} = \frac{|BE|}{|EC|} \implies \frac{3}{5} = \frac{|BE|}{|EC|}$.
$|BE|=3k, |EC|=5k$ dersek, $|BC|=|BE|+|EC|=8k=8 \implies k=1$.
Yani $|BE|=3$.
Bizden istenen $|DE|$ uzunluğu, $|BD|-|BE|$'dir. $|DE| = 4 - 3 = 1$.
6. Bir ABC dik üçgeninin diklik merkezi (H) ile ağırlık merkezi (G) arasındaki uzaklık 6 birim ise, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı (R) kaçtır?
Doğru Cevap: 9
Dik üçgende diklik merkezi (H) dik açının olduğu köşedir. Çevrel çemberin merkezi (O) ise hipotenüsün orta noktasıdır.
Dik köşeden hipotenüsün orta noktasına çizilen doğru parçası kenarortaydır [HO].
Ağırlık merkezi G, bu kenarortay üzerinde bulunur ve köşeden 2, kenardan 1 birim oranında böler. Yani $|HG|=2|GO|$.
Soruda $|HG|=6$ olarak verilmiş. O zaman $6=2|GO| \implies |GO|=3$.
Kenarortayın toplam uzunluğu $|HO| = |HG|+|GO| = 6+3=9$.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu (muhteşem üçlü), hipotenüsün yarısına, yani çevrel çemberin yarıçapına eşittir. Bu nedenle R = $|HO| = 9$.
7. ABC üçgeninde D, E, F sırasıyla BC, AC ve AB kenarlarının orta noktalarıdır. DEF üçgeninin çevresi 24 cm ise ABC üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
Doğru Cevap: 48
Bir üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçaları (orta tabanlar), birleştirmedikleri üçüncü kenara paralel ve uzunluğunun yarısıdır.
$|DE| = |AB|/2$, $|EF| = |BC|/2$, $|DF| = |AC|/2$.
DEF üçgeninin çevresi = $|DE|+|EF|+|DF| = (|AB|+|BC|+|AC|)/2$.
$24 = \text{Çevre}(ABC) / 2$.
$\text{Çevre}(ABC) = 24 \cdot 2 = 48$ cm.
8. Bir üçgenin merkezleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi her zaman doğru değildir?
Her zaman doğru olmayan: İç teğet çemberin merkezi, Euler doğrusu üzerindedir.
Euler doğrusu, Diklik Merkezi (H), Çevrel Çember Merkezi (O) ve Ağırlık Merkezini (G) içeren doğrudur. Bu üç merkez her zaman doğrusaldır.
Ancak İç Teğet Çember Merkezi (I), yalnızca ikizkenar (ve eşkenar) üçgenlerde bu doğru üzerinde yer alır. Çeşitkenar bir üçgende Euler doğrusu üzerinde değildir. Bu nedenle bu ifade her zaman doğru değildir.
9. ABC üçgeninde $|BC|=15$. BC kenarına ait yükseklik [AH]'ın uzunluğu 8, BC kenarına ait kenarortay [AD]'nin uzunluğu 10 ise, $|AC|^2 - |AB|^2$ farkının mutlak değeri kaçtır?
Doğru Cevap: 180
Bu soru için pratik bir teorem vardır: $|AC|^2 - |AB|^2 = 2 \cdot |BC| \cdot |HD|$.
Önce |HD| uzunluğunu bulmalıyız. [AH] yükseklik, [AD] kenarortay olduğu için AHD bir dik üçgendir.
Pisagor teoreminden: $|HD|^2 + |AH|^2 = |AD|^2 \implies |HD|^2 + 8^2 = 10^2 \implies |HD|^2 + 64 = 100 \implies |HD|^2=36 \implies |HD|=6$.
Şimdi formülde yerine koyalım: $|AC|^2 - |AB|^2 = 2 \cdot 15 \cdot 6 = 180$.
10. Alanı 48 birim kare olan bir ABC üçgeninde, iç teğet çemberin yarıçapı $r=3$ ise bu üçgenin çevresi kaç birimdir?
Doğru Cevap: 32
Üçgenin alanı, çevresinin yarısı (yarı çevre, u) ile iç teğet çemberin yarıçapının (r) çarpımına eşittir. Formül: $Alan = u \cdot r$.
Yarı çevre $u = \text{Çevre} / 2$.
$48 = u \cdot 3 \implies u = 48/3 = 16$.
Çevre = $2 \cdot u = 2 \cdot 16 = 32$.