Numan Kasap Yapay Zeka Destekli Eğitim

Etkileşimli Koni Dersi

Koninin Temel Elemanları

Bir parti organizatörü, kutlamalar için külah şeklinde şapkalar tasarlıyor. Bu şapkaların geometrik şekli olan koniyi doğru anlaması, hem estetik hem de malzeme hesaplaması açısından önemli. Koni, bir düzlemdeki dairesel bir bölgenin (tabanın) tüm noktalarının, bu düzlemin dışındaki bir noktaya (tepe noktasına) doğru parçalarıyla birleştirilmesiyle oluşan geometrik bir cisimdir. Eğer tepe noktasını taban dairesinin merkezine birleştiren doğru parçası (eksen) taban düzlemine dik ise, bu koniye dik dairesel koni denir. Genellikle "koni" denildiğinde bu tür kastedilir.

Koninin Temel Elemanları Diyagramı T (Tepe) l (Ana Doğru) h r O (Merkez)

Temel Elemanlar

Önemli Bağıntı: Dik dairesel konide yükseklik (h), taban yarıçapı (r) ve ana doğru (l) arasında Pisagor teoreminden gelen $\mathbf{l^2 = r^2 + h^2}$ veya $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ ilişkisi vardır. Bu, birçok koni probleminde kilit rol oynar.

Pekiştirme Testi: Temel Elemanlar

1. Bir dondurmacı, klasik külahlarını hazırlarken kullandığı geometrik şeklin temel özelliklerini düşünüyor. Külahın sivri ucu ile tabandaki dairesel açıklığın çevresi üzerindeki herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçasının adı nedir? Bu uzunluk, külahın ne kadar 'yatık' veya 'dik' olduğunu belirlemede önemli bir ölçüttür.

2. Bir trafik konisinin (dik dairesel koni şeklinde) taban yarıçapı 20 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 52 cm olarak ölçülüyor. Bu koninin yerden yüksekliğini (h) bulmak isteyen bir mühendis, hangi temel geometrik teoremi kullanmalı ve bu yükseklik yaklaşık kaç cm olur? (Hesap makinesi kullanabilirsiniz veya Pisagor üçgenlerini düşünebilirsiniz: 5-12-13 ilişkisini göz önünde bulundurun).

r=20 l=52 h=?

3. Bir parti şapkasının tepe noktasından taban dairesinin merkezine inen dikmenin uzunluğu 15 cm'dir. Bu ölçüm, koni şeklindeki şapkanın hangi temel elemanına karşılık gelir ve şapkanın neyini ifade eder?

4. Bir mimar, tasarladığı konik çatının maketini yapıyor. Maketin taban çapı 40 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 25 cm. Mimar, çatının yüksekliğini hesaplamak istiyor. Hangi adımları takip etmeli ve yükseklik kaç cm olur? (Pisagor üçgenlerini düşünün: 3-4-5 ilişkisi).

5. Bir huni (koni şeklinde) tasarlanırken, sıvının akacağı sivri uç noktasına ne ad verilir? Bu nokta, koninin diğer tüm yüzey noktalarının birleştiği yerdir ve koninin temel tanımlayıcılarından biridir.

6. Bir jeolog, volkanik bir dağın koni şeklindeki yapısını inceliyor. Dağın taban dairesinin yarıçapı yaklaşık 3 km, yüksekliği ise 4 km olarak ölçülüyor. Jeolog, dağın yamacından (ana doğrusu üzerinden) zirveye tırmanacak bir araştırma ekibinin kat edeceği mesafeyi (l) hesaplamak istiyor. Bu mesafe kaç km'dir ve hangi teoremle bulunur?

7. Aşağıdaki SVG diyagramında bir dik koninin temel elemanları olan yükseklik (h), yarıçap (r) ve ana doğru (l) arasındaki ilişkiyi gösteren dik üçgen vurgulanmıştır. Bu üçgenin kenarları arasındaki matematiksel bağıntı nedir?

l r h

8. Bir mühendis, konik bir yapının sağlamlığını test ederken, tepe noktasını taban merkezine birleştiren doğru parçasının (eksenin) taban düzlemine dik olup olmadığını kontrol ediyor. Eğer bu çizgi tabana dik ise, bu koni türüne ne ad verilir ve bu durum hangi elemanların uzunluklarını birbirine eşitler?

9. Bir çocuk parkına konulacak koni şeklindeki tırmanma duvarının taban yarıçapı 3 metre ve ana doğrusu 5 metredir. Duvarın tam ortasından tepeye çıkan bir destek direğinin (eksen/yükseklik) uzunluğu ne kadardır? Bu hesaplama hangi geometrik ilişkiye dayanır?

10. Bir koninin tepe noktası T, taban merkezi O, taban yarıçapı r ve ana doğrusu l'dir. TO doğru parçasının uzunluğu koninin hangi elemanına karşılık gelir ve TO, taban yarıçapı ve ana doğru arasındaki ilişki dik koniler için neden önemlidir?

Koninin Açınımı

Bir terzi, koni şeklinde bir palyaço şapkası yapmak için kumaş kesiyor. Şapkanın tabanı için dairesel bir parça kesecek, ancak yan yüzeyi için nasıl bir parça kesmesi gerektiğini düşünüyor. Dik dairesel koninin açınımı, tabanı oluşturan bir daire ve yan yüzeyi oluşturan bir daire diliminden meydana gelir. Bu daire diliminin özelliklerini bilmek, doğru kumaş parçasını kesmek için hayati önem taşır.

Koninin Açınımı Diyagramı α l l Yay Uzunluğu = $2\pi r$ r

Açınımın Özellikleri

Örnek: Taban yarıçapı $r=6$ cm ve ana doğrusu $l=10$ cm olan bir koninin açınımındaki daire diliminin merkez açısı ($\alpha$) kaç derecedir?

Formülü kullanalım: $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\alpha = \frac{3}{5} \times 360^\circ = 3 \times 72^\circ = 216^\circ$.

Açınımdaki yan yüzey, yarıçapı 10 cm ve merkez açısı 216° olan bir daire dilimidir.

Pekiştirme Testi: Koninin Açınımı

1. Bir kağıt üreticisi, parti şapkası yapmak için kullanılabilecek koni açınımları basıyor. Açınım, bir tam daire ve bir daire diliminden oluşuyor. Bu daire diliminin yarıçapı, oluşturulacak koninin hangi elemanına eşittir? Bu bilgi, dilimi doğru boyutlarda çizmek için temeldir.

2. Bir mühendis, koni şeklindeki bir anten parçasının yan yüzeyini metal levhadan kesecek. Koni parçasının taban yarıçapı 5 cm ve ana doğrusu 20 cm. Kesilecek daire diliminin yay uzunluğu ne kadar olmalıdır ki, levha kıvrıldığında tam olarak koninin taban çevresini sarsın?

3. Bir matematik öğretmeni, öğrencilerine koni açınımını anlatırken, ana doğrusu $l=12$ cm ve taban yarıçapı $r=4$ cm olan bir koni örneği veriyor. Öğrencilerden, bu koninin açınımındaki yan yüzeyi oluşturan daire diliminin merkez açısı $\alpha$'yı bulmalarını istiyor. Hangi formül kullanılmalı ve sonuç kaç derecedir?

α=? l=12 l=12 r=4

4. Bir kostüm tasarımcısı, koni şeklinde bir sihirbaz şapkası yapmak için siyah karton kullanıyor. Kestiği daire dilimi şeklindeki yan yüzey parçasının yarıçapının (yani şapkanın ana doğrusunun) 30 cm ve merkez açısının 180 derece olduğunu ölçüyor. Bu şapkanın taban yarıçapı kaç cm olacaktır? ($\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$ formülünü kullanın).

5. Yandaki SVG, yarıçapı $L$ olan bir daireden kesilen $\alpha$ merkez açılı bir daire dilimini göstermektedir. Bu dilim kıvrılarak bir koninin yan yüzeyi oluşturuluyor. Oluşan koninin taban çevresi, bu daire diliminin hangi kısmına eşittir?

α L L ?

6. Bir dondurma külahının (koni şeklinde) ana doğrusu 15 cm ve açınımındaki yan yüzeyi oluşturan daire diliminin merkez açısı 120 derecedir. Bu külahın içine sığacak dondurma topunun oturacağı dairesel açıklığın (tabanın) yarıçapı kaç cm'dir? ($\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$ formülünü kullanın).

7. Bir mühendis, koni şeklindeki bir yapının yan yüzeyini kaplamak için gereken malzeme miktarını hesaplarken, yan yüzey açınımının alan formülünü ($A_{yanal} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi l^2$) kullanıyor. Ancak $\alpha$ açısını bilmiyor, sadece taban yarıçapını ($r$) ve ana doğruyu ($l$) biliyor. $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$ ilişkisini kullanarak, yanal alan formülünü sadece $r$ ve $l$ cinsinden nasıl ifade edebilir?

8. Tam bir daire şeklindeki bir kartondan, merkezi etrafında 90 derecelik bir dilim kesilip çıkarılıyor. Kalan büyük dilim (270 derecelik) kıvrılarak bir koninin yan yüzeyi oluşturuluyor. Orijinal dairenin yarıçapı 8 cm ise (bu, koninin ana doğrusu olur), oluşan koninin taban yarıçapı kaç cm olur?

l=8 l=8 270°

9. Bir koninin açınımındaki yan yüzey olan daire diliminin yay uzunluğu $12\pi$ cm ve dilimin yarıçapı (koninin ana doğrusu) 10 cm'dir. Bu bilgilere göre, koninin taban yarıçapı ($r$) ve dilimin merkez açısı ($\alpha$) nedir?

10. Bir mühendis, $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$ formülünü kullanarak bir koni tasarlıyor. Eğer taban yarıçapını (r) sabit tutup ana doğruyu (l) artırırsa, yan yüzey açınımındaki daire diliminin merkez açısı ($\alpha$) nasıl değişir? Bu, koninin daha 'sivri' mi yoksa daha 'yayvan' mı olacağı anlamına gelir?

Silindirin Yüzey Alanı

Silindirin yüzey alanı, açınımındaki şekillerin alanları toplamıdır: İki taban dairesinin alanı ile yan yüzeyi oluşturan dikdörtgenin alanı.

Formüller

Örnek: Taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 7 cm olan dik dairesel silindirin yanal alanını ve toplam yüzey alanını bulunuz. ($\pi=3$ alınız)

Yanal Alan:

$A_{yanal} = 2\pi rh = 2 \times 3 \times 4 \times 7 = 24 \times 7 = 168 \text{ cm}^2$.

Taban Alanı (bir tanesi):

$A_{taban} = \pi r^2 = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \text{ cm}^2$.

Toplam Yüzey Alanı:

$A_{toplam} = 2 \times A_{taban} + A_{yanal} = 2 \times 48 + 168 = 96 + 168 = 264 \text{ cm}^2$.

Veya formülle:

$A_{toplam} = 2\pi r (r + h) = 2 \times 3 \times 4 (4 + 7) = 24 \times 11 = 264 \text{ cm}^2$.

Pekiştirme Testi: Koninin Yüzey Alanı

1. Bir çiftçi, tarlasını sulamak için aldığı **koni** şeklindeki (ucu kapalı) bir depolama tankının dışını paslanmaya karşı koruyucu bir boya ile kaplamak istiyor. Tankerin sadece yan yüzeyini boyayacak, tabanını boyamayacak. Tankerin taban yarıçapı 2 metre ve ana doğrusu 5 metre olduğuna göre, çiftçinin boyayacağı alan tam olarak koninin hangi kısmının alanıdır ve bu alanın formülü nedir?

2. Bir kimyager, laboratuvarda kullanmak üzere özel bir koni kap tasarlıyor. Kabın taban yarıçapı 6 cm olarak belirlenmiş. Kabın yan yüzeyini kaplamak için elinde tam olarak $240\pi$ cm$^2$'lik özel bir ısıya dayanıklı malzeme var. Malzemenin tam yetmesi için tasarlanan koni kabın **ana doğrusu (l)** en fazla kaç cm olmalıdır?

3. Bir heykeltıraş, taban çevresi tam olarak $18\pi$ cm olan koni şeklinde bir mermer blok kullanacak. Bloğun yüksekliği ise 12 cm. Heykeltıraş, bu mermer bloğun hem yan yüzeyini hem de alt tabanını özel bir cila ile parlatmak istiyor. Cilalanacak toplam yüzey alanı kaç cm$^2$'dir?

4. Bir firma, ürettiği koni şeklindeki hunilerin yan yüzey alanının $90\pi$ cm$^2$ olduğunu ve ana doğrusunun 15 cm olduğunu biliyor...

5. Bahçıvan Ali Bey, bahçesindeki ağaçları dondan korumak için kullandığı, tabanı olmayan koni şeklindeki koruma örtülerinden birinin yanal alanının $200\pi$ dm$^2$ olduğunu ve ana doğrusunun 20 dm olduğunu biliyor...

6. Bir mücevher tasarımcısı, koni şeklinde altın bir kolye ucu tasarlıyor. Kolye ucunun yarıçapı 0.5 cm ve yüksekliği 1.2 cm. Bu küçük koninin tüm yüzey alanını (alt taban dahil) hesaplamak için kullanılacak formül hangisidir ve önce hangi eleman bulunmalıdır?

7. Bir okulun çatısı, taban yarıçapı 8 metre ve ana doğrusu 10 metre olan bir koni şeklindedir...

8. Bir endüstriyel tesiste kullanılan konik bir filtrenin taban çapı 40 cm ve yüksekliği 15 cm'dir. Filtrenin yan yüzeyinin alanı ne kadardır? (Önce yarıçapı ve ana doğruyu bulun, $\pi \approx 3$ alınız).

Çap=40 h=15 class="options" id="koniAlan_q8_opts">

9. Bir kutlama için koni şeklinde, tabanı olmayan külahlar yapılıyor. Her bir külahın ana doğrusu 10 cm ve taban çevresi $12\pi$ cm'dir...

10. Ana doğrusu $l$ ve taban yarıçapı $r$ olan bir koninin toplam yüzey alanı $A = \pi r^2 + \pi r l$'dir. Eğer bu koninin tabanı olmasaydı (örneğin bir parti şapkası gibi), yüzey alanını veren formül ne olurdu ve bu alan geometrik olarak neyi ifade eder?

Yanal Alan = ?

Koninin Hacmi

Bir içecek firması, yeni çıkaracağı meyve suyu için koni şeklinde özel tasarım şişeler düşünüyor. Şişenin ne kadar sıvı alacağını bilmek, hem dolum makinelerini ayarlamak hem de etiket bilgilerini doğru yazmak için çok önemli. Koninin hacmi, yani içine alabileceği madde miktarı, aynı taban yarıçapına ve aynı yüksekliğe sahip bir silindirin hacminin şaşırtıcı bir şekilde tam olarak üçte biridir. Bu, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ formülü ile ifade edilir ve koninin tepeye doğru sivrilen yapısının doğal bir sonucudur.

Hacim Formülü

Taban yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan bir dik dairesel koninin hacmi ($V$):

$$V = \frac{1}{3} \times (\text{Taban Alanı}) \times (\text{Yükseklik})$$ $$V = \frac{1}{3} \times (\pi r^2) \times h$$ $$ \boxed{V = \frac{1}{3} \pi r^2 h} $$

Örnek 1: Taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 10 cm olan koni şeklindeki bir parti şapkasının iç hacmi kaç cm$^3$'tür? ($\pi=3$ alınız)

Koni hacim formülünü kullanalım:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3 \times 6^2 \times 10$

$V = 1 \times 36 \times 10 = 360 \text{ cm}^3$.

(Aynı taban ve yüksekliğe sahip silindirin hacmi $1080$ cm$^3$ olurdu, koni bunun üçte biridir).

Örnek 2: Bir huninin (koni şeklinde) hacmi $128\pi$ cm$^3$ ve yüksekliği 6 cm'dir. Huninin taban yarıçapı kaç cm'dir?

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$128\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 (6)$

$128\pi = 2\pi r^2$

$r^2 = \frac{128\pi}{2\pi} = 64$

$r = \sqrt{64} = 8$ cm.

Pekiştirme Testi: Koninin Hacmi

1. Bir arkeolog, kazıda bulduğu antik bir vazonun alt kısmının koni şeklinde olduğunu fark ediyor. Bu konik kısmın taban alanını 50 cm$^2$ ve bu kısmın yüksekliğini 12 cm olarak ölçüyor. Vazonun bu konik alt bölümünün iç hacmi yaklaşık olarak kaç cm$^3$'tür? Hangi formül kullanılır?

2. Bir çiftçi, tarlasından topladığı mısırları depolamak için koni şeklinde bir yığın oluşturuyor. Yığının taban yarıçapı 5 metre ve yığının (dik) yüksekliği 6 metredir. Bu mısır yığınının hacmi kaç metreküptür? ($\pi \approx 3$ alınız).

r=5 h=6

3. Bir mücevheratçı, $54\pi$ mm$^3$ hacminde saf altından koni şeklinde küçük bir parça yapmak istiyor. Parçanın yüksekliğinin 2 mm olması planlanıyor. Kullanılacak altının bu hacmi vermesi için koninin taban yarıçapı kaç mm olmalıdır?

4. Bir kafede satılan 'büyük boy' külah dondurmanın koni kısmının ana doğrusu 13 cm ve taban yarıçapı 5 cm'dir. Müşteri, bu külahın içine ne kadar dondurma sığabileceğini merak ediyor. Külahın iç hacmini hesaplamak için önce hangi bilgiye ihtiyaç vardır ve bu bilgi nasıl bulunur? Sonrasında hacim nasıl hesaplanır?

5. Aynı taban yarıçapına ($r=3$) ve aynı yüksekliğe ($h=5$) sahip bir silindir ve bir koni düşünün. Silindirin hacmi $V_{silindir} = \pi r^2 h$ ve koninin hacmi $V_{koni} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Bu iki cismin hacimleri arasındaki oran ($V_{koni} / V_{silindir}$) nedir? Bu oran neden sabittir?

6. Bir heykeltıraş, yonttuğu koni şeklindeki bir mermer kaidenin taban çevresinin $12\pi$ cm ve yüksekliğinin 8 cm olduğunu ölçüyor. Kaidenin yapımında kullanılan mermerin hacmini hesaplamak için öncelikle hangi geometrik ölçüyü bulması gerekir?

7. Bir çocuk, kumsalda oynarken yaptığı koni şeklindeki kumdan kalenin hacmini merak ediyor. Kalenin tabanına bir çubuk batırıp yarıçapını 10 cm, tam tepesine başka bir çubuk batırıp dik yüksekliğini 15 cm olarak ölçüyor. Kalenin hacmi yaklaşık kaç cm$^3$'tür? ($\pi \approx 3$ alınız).

8. Taban yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan bir koninin hacim formülü $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$'dir. Eğer koninin taban yarıçapı iki katına çıkarılır ($2r$) ancak yüksekliği aynı kalırsa, yeni hacim ($V_{yeni}$) ilk hacmin ($V_{ilk}$) kaç katı olur?

V_ilk V_yeni

9. Taban yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan bir koninin hacim formülü $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$'dir. Eğer koninin yüksekliği yarıya indirilir ($h/2$) ancak taban yarıçapı aynı kalırsa, yeni hacim ($V_{yeni}$) ilk hacmin ($V_{ilk}$) kaç katı olur?

10. Ana doğrusu $l=10$ cm ve taban yarıçapı $r=6$ cm olan bir koninin hacmini hesaplamak istiyoruz. Hacim formülü $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ olduğuna göre, bu formülü doğrudan kullanabilir miyiz, yoksa önce hangi elemanı hesaplamamız gerekir? Bu eleman nasıl bulunur?

Dik Üçgenin Kenarları Etrafında Döndürülmesiyle Koni Oluşturma

Bir seramik sanatçısı, çömlekçi tornasında kile şekil verirken, basit bir dik üçgen şeklindeki bir profili hızla döndürerek konik bir vazo oluşturabileceğini biliyor. Bir dik üçgenin, dik kenarlarından biri etrafında 360° döndürülmesiyle bir dik dairesel koni meydana gelir. Hangi dik kenarın döndürme ekseni olduğuna bağlı olarak oluşan koninin boyutları (yüksekliği, yarıçapı ve dolayısıyla ana doğrusu) değişir. Bu yöntem, özellikle torna tezgahlarında veya 3D modelleme yazılımlarında konik nesneler oluşturmak için sıklıkla kullanılır.

Dik Üçgenin Döndürülmesiyle Koni Oluşumu a (Eksen) b c (Hipotenüs) 360° h=a r=b l=c

Oluşan Koninin Boyutları

Kontrol: Oluşan koninin boyutları arasında her zaman $l^2 = r^2 + h^2$ (yani $c^2 = b^2 + a^2$) Pisagor bağıntısı geçerli olmalıdır, çünkü bu değerler orijinal dik üçgenin kenarlarıdır.

Örnek: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen veriliyor.

a) 6 cm'lik dik kenarı etrafında 360° döndürülürse oluşan koninin boyutları nedir?

Döndürme ekseni 6 cm'lik kenar olduğu için yükseklik $h = 6$ cm olur.

Diğer dik kenar (8 cm) taban yarıçapı olur: $r = 8$ cm.

Hipotenüs (ana doğru) $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm olur.

Hacim: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (8^2) (6) = \frac{1}{3}\pi \times 64 \times 6 = 128\pi \text{ cm}^3$.

b) 8 cm'lik dik kenarı etrafında 360° döndürülürse oluşan koninin boyutları nedir?

Döndürme ekseni 8 cm'lik kenar olduğu için yükseklik $h = 8$ cm olur.

Diğer dik kenar (6 cm) taban yarıçapı olur: $r = 6$ cm.

Hipotenüs (ana doğru) yine $l = 10$ cm olur.

Hacim: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6^2) (8) = \frac{1}{3}\pi \times 36 \times 8 = 96\pi \text{ cm}^3$.

Pekiştirme Testi: Dik Üçgeni Döndürme

1. Bir marangoz, torna tezgahında dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgen şeklindeki bir ahşap takozu, 12 cm'lik dik kenarı torna eksenine paralel olacak şekilde sabitliyor ve takozu hızla döndürerek konik bir parça elde ediyor. Oluşan koninin yüksekliği (h) ve taban yarıçapı (r) sırasıyla kaç cm olur?

12 9 Döndür

2. Bir metal işçisi, dik kenarları 5 cm ve bilinmeyen 'x' cm uzunluğunda olan bir dik üçgen levhayı, 5 cm'lik dik kenarı etrafında döndürerek bir koni oluşturuyor. Oluşan koninin ana doğrusunun (yani levhanın hipotenüsünün) 13 cm olduğu ölçülüyor. Levhanın bilinmeyen dik kenarı 'x' kaç cm'dir ve oluşan koninin taban yarıçapı ne olur?

3. Dik kenarları 7 cm ve 24 cm olan bir dik üçgen, 7 cm'lik dik kenarı etrafında 360 derece döndürülerek bir koni oluşturuluyor. Oluşan bu koninin ana doğrusu (l) kaç cm'dir? Bu uzunluk, orijinal dik üçgenin hangi kenarına karşılık gelir?

4. Bir mühendis, dik kenarları $a$ ve $b$ olan bir dik üçgeni, $a$ kenarı etrafında döndürerek bir koni oluşturuyor. Oluşan koninin hacmini $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ formülü ile hesaplamak istiyor. Bu formüldeki $r$ ve $h$ yerine $a$ ve $b$ cinsinden ne yazmalıdır?

5. Bir öğrenci, dik kenarları 6 birim ve 8 birim olan bir dik üçgeni, önce 6 birimlik kenarı etrafında döndürerek $V_1$ hacimli bir koni, sonra 8 birimlik kenarı etrafında döndürerek $V_2$ hacimli bir koni oluşturuyor. Bu iki hacmin oranı ($V_1 / V_2$) kaçtır?

6. İkizkenar bir dik üçgenin (dik kenarları eşit, örneğin $a$) dik kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle oluşan koninin yüksekliği (h) ve taban yarıçapı (r) arasındaki ilişki nedir? Bu durumda ana doğru (l) ne olur?

a a ?

7. Bir tasarımcı, dik kenarları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgeni, hipotenüsü etrafında 360 derece döndürerek farklı bir geometrik cisim oluşturuyor. Oluşan bu cisim tek bir koni midir, yoksa farklı bir yapı mı ortaya çıkar? Bu işlemin sonucu nedir?

8. Aşağıdaki SVG'de, 'h' dik kenarı etrafında döndürülen bir dik üçgen gösterilmiştir. Oluşan koninin yanal alanını ($\pi r l$) hesaplamak için $r$ ve $l$ yerine üçgenin kenarları cinsinden ne yazılmalıdır?

h r? l?

9. Bir dik üçgenin dik kenarları $a$ ve $b$, hipotenüsü $c$'dir. Üçgen $a$ kenarı etrafında döndürüldüğünde oluşan koninin hacmi $V_a$, $b$ kenarı etrafında döndürüldüğünde oluşan koninin hacmi $V_b$'dir. $V_a / V_b$ oranı nedir?

10. Bir öğretmen, öğrencilerine "Bir dik üçgeni hangi dik kenarı etrafında döndürürsek daha büyük hacimli bir koni elde ederiz?" diye soruyor. Dik kenarları 5 cm ve 10 cm olan bir üçgen örneği veriyor. Öğrencilerin doğru cevabı bulmak için neyi karşılaştırması gerekir?

Günlük Yaşamda Koni Problemleri

Parti şapkalarından dondurma külahlarına, mutfaktaki hunilerden yol kenarındaki trafik konilerine kadar koni şekli hayatımızın birçok alanında karşımıza çıkar. Mimari yapılarda konik çatılar, sanayide malzemelerin aktarılmasında kullanılan konik hazneler gibi daha pek çok örnek sayılabilir. Bu nedenle, koninin yüzey alanı ve hacim hesaplamalarını yapabilmek, günlük hayattaki veya mesleki hayattaki bazı pratik problemleri çözmemize yardımcı olur. Örneğin bir külahın ne kadar dondurma alacağını (hacim) veya bir konik çatıyı kaplamak için ne kadar malzeme gerektiğini (yanal alan) hesaplayabiliriz.

Örnek 1: Bir pastacı, üstü açık, koni şeklinde bir krema sıkma torbası kullanıyor. Torbanın ağız (taban) yarıçapı 8 cm ve ana doğrusu 17 cm'dir. Pastacının bu torbaya en fazla ne kadar krema doldurabileceğini (hacmini) hesaplayınız. ($\pi=3$ alınız).

Hacim için yüksekliği bulmamız gerekir:

$l^2 = r^2 + h^2 \implies 17^2 = 8^2 + h^2$

$289 = 64 + h^2 \implies h^2 = 225 \implies h = 15$ cm (8-15-17 üçgeni).

Hacim: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3 \times 8^2 \times 15$

$V = 1 \times 64 \times 15 = 960 \text{ cm}^3$.

Örnek 2: Bir yol bakım ekibi, yola yerleştirecekleri koni şeklindeki plastik dubaların dış yan yüzeylerini geceleri parlaması için reflektif bantla kaplayacaklar. Her bir dubanın taban yarıçapı 30 cm ve yüksekliği 40 cm'dir. Bir duba için kaç cm$^2$ reflektif bant gereklidir? ($\pi \approx 3.14$ alınız).

Gereken bant alanı, koninin yanal alanıdır. Önce ana doğruyu bulmalıyız:

$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ cm (3-4-5 üçgeninin 10 katı).

Yanal Alan: $A_{yanal} = \pi r l = (3.14) \times 30 \times 50$

$A_{yanal} = 3.14 \times 1500 = 4710 \text{ cm}^2$.

Pekiştirme Testi: Günlük Yaşam Problemleri

1. Bir sinema salonunda satılan, koni şeklindeki büyük boy patlamış mısır kutusunun ağız (taban) çapı 20 cm ve derinliği (yüksekliği) 24 cm'dir. Bu kutu tamamen dolduğunda kaç litre patlamış mısır alır? (1 litre = 1000 cm$^3$, $\pi \approx 3$ alınız). Hesaplamaya başlamadan önce hangi bilgiye dikkat etmelisiniz?

2. Bir bahçıvan, bitkilerine su vermek için kullandığı koni şeklindeki sulama kabının yan yüzeyinin alanını $136\pi$ cm$^2$ ve ana doğrusunu 17 cm olarak biliyor. Bahçıvanın kabın ağzına tam oturacak dairesel bir filtre alması gerekiyor. Bu filtrenin yarıçapı kaç cm olmalıdır?

3. Bir inşaat mühendisi, yapacağı köprünün ayakları için konik temel blokları tasarlıyor. Her bir bloğun taban yarıçapı 2 metre ve yüksekliği 3 metredir. Bir temel bloğu için kaç metreküp beton gereklidir? ($\pi \approx 3$ alınız).

r=2 h=3

4. Bir parti organizatörü, tanesi 1 TL'den satılan koni şeklindeki parti şapkaları alacaktır. Her şapkanın ana doğrusu 20 cm ve taban çevresi $24\pi$ cm'dir. Organizatör, şapkaların yapıldığı kartonun kalitesini merak ediyor ve bir şapkanın yüzey alanını hesaplamak istiyor (tabanı hariç). Bir şapkanın yanal alanı kaç cm$^2$'dir?

5. Bir cam ustası, ana doğrusu 25 cm ve yüksekliği 24 cm olan koni şeklinde bir avize parçası üretiyor. Bu parçanın taban dairesinin alanını hesaplamak için önce hangi uzunluğu bulmalıdır ve bu uzunluk kaç cm'dir?

6. Bir çiftçi, silodan aldığı buğdayı yere döktüğünde oluşan yığının yaklaşık olarak dik koni şeklinde olduğunu gözlemliyor. Yığının taban yarıçapını 2 metre, ana doğrusunu ise 2.5 metre olarak tahmin ediyor. Yığındaki buğdayın hacmini hesaplamak için önce yığının yüksekliğini bulması gerekiyor. Yükseklik kaç metredir?

7. Bir firma, aşağıdaki gibi konik filtreler üretiyor. Filtrenin yan yüzeyi özel bir malzemeden yapılıyor ve bu malzemenin alanı $A_{yanal}=\pi r l$ formülüyle hesaplanıyor. Eğer filtrenin yarıçapı ($r$) 3 cm ve ana doğrusu ($l$) 5 cm ise, bir filtre için kullanılan özel malzemenin alanı kaç cm$^2$'dir? ($\pi \approx 3.14$ alınız).

r=3 l=5

8. Bir kampçı, koni şeklindeki çadırının tabanını kaplamak için dairesel bir mat alacaktır. Çadırın ana doğrusu 2 metre ve yüksekliği 1.6 metredir. Kampçının alması gereken matın yarıçapı en az kaç metre olmalıdır? Bunun için önce çadırın taban yarıçapını hesaplaması gerekir.

9. Bir trafik görevlisi, yola koyduğu koni şeklindeki dubanın devrilmemesi için tabanını yeterince geniş tutması gerektiğini biliyor. Dubanın yüksekliği 70 cm ve hacmi $21000\pi$ cm$^3$ ise, dubanın taban yarıçapı kaç cm'dir? Hacim formülünü ($V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$) kullanarak $r$'yi bulun.

10. Bir şef, hazırladığı özel sosu müşteriye sunmak için koni şeklinde küçük bir kap kullanıyor. Kabın ağız yarıçapı 4 cm ve ana doğrusu 5 cm. Şef, bu kabın tüm iç yüzeyini (taban hariç, çünkü ağzı açık) başka bir sosla kaplamak istiyor. Kaplanacak bu alan (yanal alan) kaç cm$^2$'dir? ($\pi \approx 3$ alınız)

Genel Değerlendirme Testi (Koni)

Aşağıdaki 20 soru, koni konusundaki temel kavramları, formülleri ve problem çözme becerilerinizi farklı senaryolar üzerinden değerlendirmek amacıyla hazırlanmıştır. Tüm soruları yanıtladıktan sonra sonuçları görmek için butona tıklayınız.

1. Bir köy meydanına dikilecek olan anıtın üst kısmı, aşağıdaki SVG'de gösterildiği gibi dik dairesel koni şeklindedir. Koninin taban yarıçapı 3 metre ve ana doğrusu 5 metredir. Anıtın bu konik kısmının dış yan yüzeyine özel bir mozaik kaplama yapılacaktır. Kaplanacak alan kaç metrekaredir? ($\pi$ cinsinden bırakınız). Bu alan için hangi formül kullanılır?

r=3 l=5

2. Bir marangoz, yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 8 cm olan koni şeklinde bir ahşap parçasını tamamen verniklemek istiyor. Verniklenecek toplam yüzey alanı (taban dahil) kaç cm$^2$'dir? ($\pi \approx 3$ alınız). Hesaplama için önce hangi uzunluğu bulması gerekmektedir?

3. Bir mühendis, tasarladığı konik dişlinin hacminin $48\pi$ mm$^3$ ve taban yarıçapının 6 mm olduğunu biliyor. Dişlinin üretiminde kullanılacak malzemenin yüksekliğini belirlemek için koninin yüksekliğini (h) hesaplaması gerekiyor. Bu yükseklik kaç mm'dir?

4. Dik kenarları 15 cm ve 36 cm olan dik üçgen şeklindeki bir metal levha, 36 cm'lik dik kenarı etrafında hızla döndürülerek konik bir parça elde ediliyor. Oluşan koninin ana doğrusu (l) kaç cm olur? Bu uzunluk, orijinal üçgenin hangi kenarıdır?

5. Bir koninin açınımındaki yan yüzey, yarıçapı 18 cm olan bir daireden kesilmiş 200 derecelik bir daire dilimidir. Bu koninin taban yarıçapı (r) kaç cm'dir? ($\frac{\alpha}{360} = \frac{r}{l}$ formülünü kullanın).

6. Yüksekliği 12 cm ve ana doğrusu 15 cm olan koni şeklindeki bir huninin içine en fazla kaç cm$^3$ sıvı doldurulabilir? ($\pi \approx 3$ alınız). Hacim hesaplaması için önce hangi bilgi bulunmalıdır?

7. Dik kenarları 10 cm ve 24 cm olan bir dik üçgen, 10 cm'lik dik kenarı etrafında döndürülerek bir koni oluşturuluyor. Oluşan koninin toplam yüzey alanı (taban dahil) kaç cm$^2$'dir? ($\pi$ cinsinden bırakınız).

8. Bir koninin taban alanı $25\pi$ cm$^2$ ve yanal alanı $65\pi$ cm$^2$'dir. Bu koninin ana doğrusu kaç cm'dir? (İpucu: Önce yarıçapı bulun, sonra yanal alan formülünü kullanın).

9. Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir koni ile aynı yarıçap ve yüksekliğe sahip bir silindirin hacimleri oranı $V_{koni}/V_{silindir}$ nedir? Aşağıdaki SVG bu ilişkiyi görselleştirmeye çalışmaktadır.

10. Ana doğrusu 15 cm olan bir koninin açınımındaki yan yüzey olan daire diliminin merkez açısı 216 derecedir. Bu koninin yüksekliği kaç cm'dir? (Önce r'yi, sonra Pisagor'dan h'yi bulun).

11. Taban yarıçapı 1 birim olan bir dik koninin hacminin, ana doğrusunun uzunluğuna eşit olması için yüksekliği kaç birim olmalıdır? Yani $V=l$ olacak şekilde $h$ ne olmalıdır? ($\frac{1}{3}\pi r^2 h = \sqrt{r^2+h^2}$ denklemini çözün, $r=1$ alın).

12. Taban yarıçapı 2 cm, yüksekliği 3 cm olan koni şeklindeki bir oyuncak parçasının tüm yüzeyi boyanacaktır. Boyanacak toplam alan kaç cm$^2$'dir? ($\pi$ cinsinden bırakınız).

13. Bir koninin ana doğrusu, taban yarıçapının 3 katıdır. Bu koninin yanal alanının taban alanına oranı nedir? ($A_{yanal} / A_{taban}$ = ?)

14. Yüksekliği 15 birim, taban çevresi $16\pi$ birim olan bir koninin ana doğrusu (l) kaç birimdir? (Önce yarıçapı bulun).

h=15 l=? Ç=16π

15. Bir dik üçgen, hipotenüsü etrafında döndürülürse oluşan şekil nedir?

16. Bir koninin açınımındaki daire diliminin merkez açısı $\alpha = 60^\circ$ ve dilimin yarıçapı (koninin ana doğrusu) $l=18$ cm ise, koninin taban yarıçapı $r$ kaç cm'dir?

17. Hacmi $100$ metreküp olan koni şeklindeki bir kum yığınının yüksekliği 5 metre ise taban alanı kaç metrekaredir?

18. Taban yarıçapı 9 cm ve ana doğrusu 41 cm olan bir dik koninin yüksekliği kaç cm'dir?

19. Dik kenarları 1 ve $\sqrt{3}$ olan bir dik üçgen, 1 birimlik kenarı etrafında döndürülüyor. Oluşan koninin hacmi nedir? ($\pi$ cinsinden bırakınız).

1 $\sqrt{3}$

20. Yanal alanı $A_y$, taban alanı $A_t$ olan bir koninin toplam yüzey alanı $A_{toplam}$ nasıl ifade edilir?