Gerçek Hayat Uygulamaları ve İleri Düzey Sorular
Bir buzdolabında x ve y ürünlerinin uygun saklama sıcaklıkları (°C) sırasıyla |x - 3| < 7 ve |y - 1| < 3 eşitsizliklerini sağlamaktadır. Buzdolabının sıcaklığı (T) hangi aralıkta ayarlanırsa iki ürün de bozulmaz?
x ürünü için: |x - 3| < 7 → -7 < x - 3 < 7 → -4 < x < 10.
y ürünü için: |y - 1| < 3 → -3 < y - 1 < 3 → -2 < y < 4.
Her iki ürünün de bozulmaması için sıcaklığın (T) bu iki aralığın kesişiminde olması gerekir.
Kesişim aralığı: (-4, 10) ∩ (-2, 4) = (-2, 4). Yani, -2 < T < 4 olmalıdır.
Seçeneklerde verilen aralıklardan sadece [-2, 3] aralığı bu kesişim kümesinin bir alt kümesidir ve bu aralıktaki her sıcaklık uygundur.
Ahmet ve Burcu'nun evleri ile okul aynı cadde üzerindedir. Ahmet'in evinin okula uzaklığı 50 metre, Burcu'nun evinin okula uzaklığı 30 metre olduğuna göre, evleri arasındaki uzaklığı (x) ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?
İki durum mümkündür:
1. Evler okulun aynı tarafındadır. Bu durumda aralarındaki uzaklık: |50 - 30| = 20 metre olur.
2. Evler okulun farklı taraflarındadır. Bu durumda aralarındaki uzaklık: 50 + 30 = 80 metre olur.
Yani aradığımız denklem x=20 ve x=80 çözümlerini vermelidir.
D seçeneğindeki |x - 50| = 30 denklemini çözelim:
x - 50 = 30 → x = 80
x - 50 = -30 → x = 20.
Bu denklem her iki durumu da sağladığı için doğru cevaptır.
Bir kahve paketi (500g ± 30g) ve bir kahve kreması paketi (250g ± 20g) satılmaktadır. Her ikisinden birer tane alan bir müşterinin aldığı toplam ürün miktarını (x) gram cinsinden ifade eden eşitsizlik nedir?
Kahve ağırlığı: 500 ± 30 → [470, 530] aralığındadır.
Krema ağırlığı: 250 ± 20 → [230, 270] aralığındadır.
Toplam ağırlığın en az değeri: 470 + 230 = 700g.
Toplam ağırlığın en çok değeri: 530 + 270 = 800g.
Yani toplam ağırlık x, [700, 800] aralığındadır. Bu aralığı mutlak değerle ifade etmek için orta noktayı ve yarıçapı bulalım:
Orta Nokta: (700 + 800) / 2 = 750.
Yarıçap (sapma): (800 - 700) / 2 = 50.
Bu durum, |x - OrtaNokta| ≤ Yarıçap şeklinde yazılır: |x - 750| ≤ 50.
a ve b gerçel sayıları için a · b < 0 ve 0 < a - b olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
1. Veri: a · b < 0. Bu, a ve b'nin zıt işaretli olduğu anlamına gelir. (Biri pozitif, diğeri negatif).
2. Veri: 0 < a - b. Bu, a - b'nin pozitif olduğu, yani a > b anlamına gelir.
Bu iki koşulu birleştirelim: a, b'den büyük ve zıt işaretliler. Büyük olan sayının pozitif, küçük olanın ise negatif olması gerekir. Dolayısıyla, a pozitif (a > 0) ve b negatif (b < 0) olmalıdır.
Sıralama: b < 0 < a.
||x - 4| - 6| = 2 denklemini sağlayan farklı x gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
En dıştaki mutlak değeri kaldırarak denklemi iki ayrı duruma ayırırız:
Durum 1: |x - 4| - 6 = 2
→ |x - 4| = 8
→ Bu da x - 4 = 8 (yani x = 12) ve x - 4 = -8 (yani x = -4) çözümlerini verir.
Durum 2: |x - 4| - 6 = -2
→ |x - 4| = 4
→ Bu da x - 4 = 4 (yani x = 8) ve x - 4 = -4 (yani x = 0) çözümlerini verir.
Denklemin çözüm kümesi {-4, 0, 8, 12} olarak bulunur.
Bu değerlerin çarpımı, köklerden biri 0 olduğu için doğrudan 0'dır: (-4) × 0 × 8 × 12 = 0.
f(x) = |x - 1| + |x - 3| + |x - 5| fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bu fonksiyon, sayı doğrusu üzerindeki bir x noktasının 1, 3 ve 5 noktalarına olan uzaklıkları toplamını ifade eder.
Uzaklıklar toplamının minimum olması için x, bu noktaların ortancası (medyanı) olmalıdır. {1, 3, 5} kümesinin medyanı 3'tür.
Dolayısıyla fonksiyon, en küçük değerini x = 3 noktasında alır:
f(3) = |3 - 1| + |3 - 3| + |3 - 5| = |2| + |0| + |-2| = 2 + 0 + 2 = 4.
Sağlıklı bir insanın kan şekeri değeri (x), açlık durumunda 85 mg/dL olmalıdır. Doktor, bu değerdeki ±15 mg/dL sapmayı normal kabul etmektedir. Sağlıklı bir bireyin kan şekeri değer aralığını ifade eden mutlak değerli eşitsizlik hangisidir?
İstenen değer (merkez nokta) 85'tir. Kabul edilebilir sapma (yarıçap) ise 15'tir.
Bir x değerinin bir merkez noktasına olan uzaklığının, belirli bir yarıçaptan küçük veya eşit olması |x - merkez| ≤ yarıçap şeklinde ifade edilir.
Bu durumda eşitsizlik: |x - 85| ≤ 15 olur.
Bir fabrikada üretilen 100 cm uzunluğundaki bir metal çubuğun (x), kalite kontrolünden geçebilmesi için uzunluğunun en fazla 0.2 cm sapma göstermesi gerekmektedir. Kalite kontrolünden **geçemeyen** bir çubuğun uzunluğunu ifade eden eşitsizlik hangisidir?
İdeal uzunluk (merkez nokta) 100 cm'dir. İzin verilen sapma (yarıçap) 0.2 cm'dir.
Çubuğun kalite kontrolünden geçmesi için gereken koşul: |x - 100| ≤ 0.2'dir.
Soru, kalite kontrolünden geçemeyen çubukları sorduğu için bu koşulun tam tersini almalıyız.
Yani, sapmanın izin verilen değerden büyük olması gerekir: |x - 100| > 0.2.
Bir denizaltı, su yüzeyinin 200 metre altında (derinlik -200 m olarak kabul edilir) görev yapmaktadır. Güvenlik prosedürleri gereği, bu derinlikten en fazla 40 metre yukarı veya aşağı yönde hareket edebilir. Denizaltının bulunabileceği güvenli derinlik aralığını (x) gösteren mutlak değerli eşitsizlik hangisidir?
Denizaltının merkez derinliği -200 metredir. İzin verilen sapma (yarıçap) 40 metredir.
Güvenli derinlik (x) ile merkez derinlik (-200) arasındaki fark en fazla 40 olmalıdır.
Bu durum |x - (-200)| ≤ 40 şeklinde ifade edilir.
Sadeleştirirsek: |x + 200| ≤ 40 elde ederiz.
150 kg ağırlığındaki bir kişi diyetisyene gidiyor. Diyetisyen "3 ay sonunda 30 ila 50 kg arasında zayıflayacaksın" diyor. Bu kişinin 3 ay sonundaki ağırlığını (x) ifade eden eşitsizlik nedir?
En az zayıflama: 30 kg. Son ağırlık: 150 - 30 = 120 kg.
En çok zayıflama: 50 kg. Son ağırlık: 150 - 50 = 100 kg.
Kişinin son ağırlığı (x) [100, 120] kg aralığında olacaktır. Bu aralığı mutlak değerle ifade edelim:
Orta Nokta: (100 + 120) / 2 = 110.
Yarıçap (sapma): (120 - 100) / 2 = 10.
Eşitsizlik: |x - 110| ≤ 10.
| Jüri | A Yarışmacısı | B Yarışmacısı |
|---|---|---|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 92 | 88 |
| 3 | 88 | x |
Üç jürinin verdiği puanların ortalamasına göre kazanan belirleniyor. B yarışmacısının kazanması için 3. jürinin verdiği x puanı **en az** kaç olmalıdır?
A yarışmacısının puanları toplamı: 85 + 92 + 88 = 265.
A'nın ortalaması: 265 / 3.
B yarışmacısının puanları toplamı: 90 + 88 + x = 178 + x.
B'nin ortalaması: (178 + x) / 3.
B'nin kazanması için ortalamasının A'dan büyük olması gerekir:
(178 + x) / 3 > 265 / 3
Paydaları sadeleştirirsek: 178 + x > 265 → x > 265 - 178 → x > 87.
87'den büyük olan en küçük tam sayı 88'dir. Dolayısıyla x en az 88 olmalıdır.
Bir sayı doğrusu üzerinde bulunan bir x sayısının -4'e olan uzaklığı, aynı sayının 10'a olan uzaklığının yarısına eşittir. Bu koşulu sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
x'in -4'e uzaklığı: |x - (-4)| = |x + 4|.
x'in 10'a uzaklığı: |x - 10|.
Problemdeki ifadeyi denkleme dökelim: |x + 4| = (1/2) * |x - 10|.
Bu denklemi çözmek için iki durumu inceleriz:
Durum 1: x + 4 = (1/2)(x - 10) → 2x + 8 = x - 10 → x = -18.
Durum 2: x + 4 = -(1/2)(x - 10) → 2x + 8 = -x + 10 → 3x = 2 → x = 2/3.
Bulunan x değerleri: -18 ve 2/3.
Bu değerlerin toplamı: -18 + 2/3 = -54/3 + 2/3 = -52/3.