TYT Matematik - Mutlak Değer

📏 Mutlak Değer Nedir?

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığıdır.

📐 Tanım:

Bir x gerçel sayısının mutlak değeri |x| ile gösterilir ve:

|x| = x , eğer x ≥ 0

|x| = -x , eğer x < 0

🎯 İnteraktif Mutlak Değer Hesaplayıcı

Bir sayı girin ve mutlak değerini görün:

Sonuç burada görünecek...

Önemli: Mutlak değerin sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır. Negatif olamaz!

📝 Temel Kavram Soruları

Soru 1

Basit Hesaplama Kolay

|3| + |-4| - |-5| işleminin sonucu kaçtır?

1

2

3

4

💡 Açıklama:

|3| = 3, |-4| = 4, |-5| = 5

3 + 4 - 5 = 2

Soru 2

İçiçe İşlem Kolay

||-3 + 5| - 6| işleminin sonucu kaçtır?

1

2

3

4

💡 Açıklama:

İçten dışa doğru hesaplayalım:

-3 + 5 = 2

|2| - 6 = 2 - 6 = -4

|-4| = 4

Soru 3

İşaret Analizi Orta

x < 0 < y olduğuna göre, |x| + |y| + |x - y| ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

2x - 2y

-2x

2y

2y - 2x

💡 Açıklama:

x < 0 → |x| = -x

y > 0 → |y| = y

x < 0 < y → x - y < 0 → |x - y| = -(x - y) = y - x

Toplam: -x + y + (y - x) = 2y - 2x

⚙️ Mutlak Değerin Özellikleri

🔑 Temel Özellikler:

|x| ≥ 0 - Mutlak değer her zaman negatif olmayan bir sayıdır
|x| = 0 ⟺ x = 0 - Mutlak değeri sıfır olan tek sayı sıfırdır
|x| = |-x| - Bir sayı ile negatifinin mutlak değeri eşittir
|x · y| = |x| · |y| - Çarpımın mutlak değeri, mutlak değerlerin çarpımına eşittir
|x/y| = |x|/|y| (y ≠ 0) - Bölümün mutlak değeri, mutlak değerlerin bölümüne eşittir
||x|| = |x| - Mutlak değerin mutlak değeri kendisine eşittir

📝 Örnek: Uzaklık Kavramı

İki sayı arasındaki uzaklık: |a - b| = |b - a|

3 ile 7 arası uzaklık

|3 - 7| = |-4| = 4

-2 ile 5 arası uzaklık

|-2 - 5| = |-7| = 7

Üçgen Eşitsizliği: |x + y| ≤ |x| + |y|

Eşitlik durumu: x ve y aynı işaretli olduğunda gerçekleşir.

📝 Özellik Soruları

Soru 4

Sıfır Toplamı Orta

|3x - 6| + |6 - 2y| = 0 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

3

4

5

6

💡 Açıklama:

Mutlak değerler toplamı sıfır ise her biri sıfırdır:

|3x - 6| = 0 → 3x - 6 = 0 → x = 2

|6 - 2y| = 0 → 6 - 2y = 0 → y = 3

x + y = 2 + 3 = 5

Soru 5

Minimum Değer Zor

|x - 3| + |2x + 4| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

0

5

8

10

💡 Açıklama:

Kritik noktalar: x = 3 ve x = -2

x = -2 için: |-2 - 3| + |2(-2) + 4| = 5 + 0 = 5

Bu, minimum değerdir.

Soru 6

İşaret Analizi Orta

a, b, c gerçel sayıları için |a - b| + |c - b| = a - c olduğuna göre, sıralama nedir?

a < b < c

b < c < a

c < b < a

a < c < b

💡 Açıklama:

Verilen eşitlik ancak b, a ile c arasında olduğunda sağlanır.

c < b < a durumunda:

|a - b| = a - b, |c - b| = b - c

(a - b) + (b - c) = a - c ✓

🔢 Mutlak Değerli Denklemler

🎯 Denklem Çözme Kuralları:

1. |f(x)| = a denklemi:

a > 0 ise: f(x) = a veya f(x) = -a
a = 0 ise: f(x) = 0
a < 0 ise: Çözüm yoktur (∅)

2. |f(x)| = |g(x)| denklemi:

f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x)

3. |f(x)| = g(x) denklemi:

f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x)

⚠️ Sağlama yapılmalı!

🧮 Denklem Çözücü

|x - a| = b şeklinde bir denklem çözün:

Çözüm burada görünecek...

📝 Örnek Çözüm:

|2x - 5| = 3

İki durum vardır:

1) 2x - 5 = 3 → 2x = 8 → x = 4

2) 2x - 5 = -3 → 2x = 2 → x = 1

Çözüm kümesi: {1, 4}

📝 Denklem Soruları

Soru 7

Temel Denklem Kolay

|x + 2| = 5 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

-4

-2

1

2

💡 Açıklama:

x + 2 = 5 → x = 3

x + 2 = -5 → x = -7

Toplam: 3 + (-7) = -4

Soru 8

Uzaklık Denklemi Orta

Sayı doğrusu üzerinde a gerçel sayısının 3'e olan uzaklığı a + 7 birimdir. Buna göre, |a| kaçtır?

1

2

3

4

💡 Açıklama:

|a - 3| = a + 7

a + 7 > 0 olmalı → a > -7

a - 3 = a + 7 (imkansız) veya -(a - 3) = a + 7

-a + 3 = a + 7 → 2a = -4 → a = -2

|a| = |-2| = 2

Soru 9

Çift Mutlak Değer Zor

|2x + 1| = |5 - 3x| eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

5.6

6.0

6.4

6.8

💡 Açıklama:

1) 2x + 1 = 5 - 3x → 5x = 4 → x = 0.8

2) 2x + 1 = -(5 - 3x) → 2x + 1 = -5 + 3x → x = 6

Toplam: 0.8 + 6 = 6.8

➖ Mutlak Değerli Eşitsizlikler

🔑 Eşitsizlik Çözme Kuralları:

1. |f(x)| < a eşitsizliği:

a > 0 ise: -a < f(x) < a
a ≤ 0 ise: Çözüm yoktur (∅)

2. |f(x)| > a eşitsizliği:

a ≥ 0 ise: f(x) > a veya f(x) < -a
a < 0 ise: Tüm gerçel sayılar (ℝ)

3. a < |f(x)| < b eşitsizliği:

a < f(x) < b veya -b < f(x) < -a

📝 Örnek: Aralık Belirleme

|x - 2| < 3

-3 < x - 2 < 3

-1 < x < 5

Çözüm aralığı: (-1, 5)

Pratik Kural:

< veya ≤ → İçeride (aralık)

> veya ≥ → Dışarıda (birleşim)

📝 Eşitsizlik Soruları

Soru 10

Temel Eşitsizlik Kolay

|x| < 4 eşitsizliğini sağlayan x'in alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

-10

-6

0

6

💡 Açıklama:

-4 < x < 4

Tam sayılar: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Toplam: 0 (simetrik dağılım)

Soru 11

Çift Taraflı Orta

2 < |x - 1| < 5 eşitsizliğini sağlayan x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

1

2

3

4

💡 Açıklama:

2 < x - 1 < 5 veya -5 < x - 1 < -2

3 < x < 6 veya -4 < x < -1

Tam sayılar: 4, 5, -3, -2

Toplam: 4 + 5 + (-3) + (-2) = 4

Soru 12

Uygulamalı Zor

Bir kitabevinde satılan kalemlerin fiyatı en az 60 TL, en çok 100 TL'dir. Bu durumu ifade eden eşitsizlik hangisidir?

|x - 20| ≤ 80

|x - 20| < 80

|x - 80| < 20

|x - 80| ≤ 20

💡 Açıklama:

60 ≤ x ≤ 100

Orta nokta: (60 + 100)/2 = 80

Yarıçap: (100 - 60)/2 = 20

|x - 80| ≤ 20

Mutlak Değer

📏 Mutlak Değer Nedir?

📐 Tanım:

🎯 İnteraktif Mutlak Değer Hesaplayıcı

📝 Temel Kavram Soruları

Basit Hesaplama Kolay

💡 Açıklama:

İçiçe İşlem Kolay

💡 Açıklama:

İşaret Analizi Orta

💡 Açıklama:

⚙️ Mutlak Değerin Özellikleri

🔑 Temel Özellikler:

📝 Örnek: Uzaklık Kavramı

📝 Özellik Soruları

Sıfır Toplamı Orta

💡 Açıklama:

Minimum Değer Zor

💡 Açıklama:

İşaret Analizi Orta

💡 Açıklama:

🔢 Mutlak Değerli Denklemler

🎯 Denklem Çözme Kuralları:

🧮 Denklem Çözücü

📝 Örnek Çözüm:

📝 Denklem Soruları

Temel Denklem Kolay

💡 Açıklama:

Uzaklık Denklemi Orta

💡 Açıklama:

Çift Mutlak Değer Zor

💡 Açıklama:

➖ Mutlak Değerli Eşitsizlikler

🔑 Eşitsizlik Çözme Kuralları:

📝 Örnek: Aralık Belirleme

📝 Eşitsizlik Soruları

Temel Eşitsizlik Kolay

💡 Açıklama:

Çift Taraflı Orta

💡 Açıklama:

Uygulamalı Zor

💡 Açıklama:

📊 İstatistikler