A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A kümesinin her bir elemanını B kümesinde yalnız bir elemanla eşleyen ilişkiye A'dan B'ye bir fonksiyon denir.
A'dan B'ye f fonksiyonu şu şekillerde gösterilir:
f: A → B fonksiyonunda:
Bir kafede çalışan görevli, her müşteriye bir masa numarası verir. Bu eşleşme bir fonksiyondur çünkü her müşteri yalnızca bir masaya oturur.
1. Aşağıdaki eşleşmelerden hangisi bir fonksiyon belirtir?
Doğru cevap: A
Bir eşleşmenin fonksiyon olması için tanım kümesinin her elemanı değer kümesinde bir ve yalnız bir elemanla eşleşmelidir.
A şıkkında: 1→a, 2→b, 3→c şeklinde her eleman bire bir eşleşmiştir.
B şıkkında: 3 elemanı hiçbir elemanla eşleşmemiş.
C şıkkında: 1 elemanı hem a hem b ile eşleşmiş.
D şıkkında: 3 elemanı hem a hem b ile eşleşmiş.
2. f: R → R, f(x) = 3x - 2 fonksiyonu için f(4) değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
f(x) = 3x - 2 fonksiyonunda x = 4 yazarsak:
f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10
3. f: {-1, 0, 1, 2} → R, f(x) = x² + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Doğru cevap: B
Her x değeri için f(x) değerlerini bulalım:
f(-1) = (-1)² + 1 = 1 + 1 = 2
f(0) = 0² + 1 = 0 + 1 = 1
f(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2
f(2) = 2² + 1 = 4 + 1 = 5
Görüntü kümesi = {1, 2, 5} (tekrarlı elemanlar bir kez yazılır)
4. f(x + 2) = 3x - 1 olduğuna göre, f(5) değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
f(5) değerini bulmak için x + 2 = 5 olmalı
x + 2 = 5 ⇒ x = 3
f(5) = f(3 + 2) = 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8
5. f(2x + 3) = 4x - 1 ve f(7) = a olduğuna göre, a kaçtır?
Doğru cevap: B
f(7) değerini bulmak için 2x + 3 = 7 olmalı
2x + 3 = 7 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
f(7) = f(2(2) + 3) = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7
Dolayısıyla a = 7
Tanım kümesindeki farklı elemanları, değer kümesinde farklı elemanlara eşleyen fonksiyonlardır.
Kural: x₁ ≠ x₂ ise f(x₁) ≠ f(x₂)
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlardır.
Kural: f(A) = B
Değer kümesinde en az bir elemanın açıkta kaldığı (görüntüsü olmayan) fonksiyonlardır.
Kural: f(A) ⊂ B (f(A) ≠ B)
Tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesinde tek bir elemana eşleyen fonksiyonlardır.
Örnek: f(x) = 5 (her x için f(x) = 5)
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur.
Kural: f(x) = x
f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlardır (a ≠ 0).
Grafiği bir doğrudur.
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlardır.
Taksi ücret tarifesi parçalı fonksiyona örnektir:
1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bire bir fonksiyondur?
Doğru cevap: C
A) f(x) = x² için f(2) = f(-2) = 4 olduğundan bire bir değil
B) f(x) = 5 sabit fonksiyon, tüm elemanlar aynı görüntüye sahip
C) f(x) = 2x + 1 doğrusal fonksiyon, farklı x'ler farklı değerler verir
D) f(x) = |x| için f(3) = f(-3) = 3 olduğundan bire bir değil
2. f: Z → Z, f(x) = 2x fonksiyonu hangi türdendir?
Doğru cevap: B
f(x) = 2x fonksiyonu yalnızca çift sayıları görüntü olarak verir.
Örneğin, 3 sayısının ters görüntüsü yoktur (3 = 2x denkleminin tam sayı çözümü yok)
Değer kümesinde açıkta elemanlar olduğu için içine fonksiyondur.
3. f(x) doğrusal fonksiyon, f(2) = 5 ve f(3) = 8 ise f(5) kaçtır?
Doğru cevap: D
Doğrusal fonksiyon: f(x) = ax + b
f(2) = 2a + b = 5
f(3) = 3a + b = 8
İki denklemi çıkarırsak: a = 3
a = 3'ü ilk denklemde yerine koyarsak: b = -1
f(x) = 3x - 1
f(5) = 3(5) - 1 = 15 - 1 = 14
4. f(x) sabit fonksiyon ve g(x) = x birim fonksiyon olmak üzere, f(x) + g(x-2) = g(x+3) ise f(7) kaçtır?
Doğru cevap: D
f(x) = c (sabit), g(x) = x (birim)
f(x) + g(x-2) = g(x+3)
c + (x-2) = x+3
c + x - 2 = x + 3
c = 5
f(7) = 5
5. Parçalı fonksiyon $f(x) = \begin{cases} 2x-1, & x < 3 \\ x^2-2, & x \geq 3 \end{cases}$ için f(2) + f(4) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C
x = 2 < 3 olduğundan f(2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3
x = 4 ≥ 3 olduğundan f(4) = 4² - 2 = 16 - 2 = 14
f(2) + f(4) = 3 + 14 = 17
f: A → R ve g: B → R fonksiyonları için:
f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x - 3 ise:
k ∈ R olmak üzere:
(k · f)(x) = k · f(x)
Bir işletmede:
1. f(x) = x² + 2 ve g(x) = 3x - 1 ise (f + g)(2) değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
f(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6
g(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 6 + 5 = 11
2. (f + g)(x) = 5x + 3 ve (f - g)(x) = x + 5 ise f(x) nedir?
Doğru cevap: B
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 5x + 3 ... (1)
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = x + 5 ... (2)
(1) ve (2)'yi taraf tarafa toplarsak:
2f(x) = 6x + 8
f(x) = 3x + 4
3. f(x) = 2x - 1 ve (f · g)(x) = 6x² - 7x + 2 ise g(x) nedir?
Doğru cevap: A
(f · g)(x) = f(x) · g(x) = (2x - 1) · g(x) = 6x² - 7x + 2
g(x) = (6x² - 7x + 2)/(2x - 1)
Polinom bölmesi yapılırsa: g(x) = 3x - 2
Kontrol: (2x - 1)(3x - 2) = 6x² - 4x - 3x + 2 = 6x² - 7x + 2 ✓
4. f ve g gerçel sayılarda tanımlı fonksiyonlar için (f + g)(x) = 3x ve (f - g)(2x) = x² ise (f · g)(4) kaçtır?
Doğru cevap: D
(f + g)(x) = 3x ... (1)
(f - g)(2x) = x² olduğundan (f - g)(x) = (x/2)² = x²/4 ... (2)
(1) ve (2)'den: f(x) = 3x/2 + x²/8, g(x) = 3x/2 - x²/8
x = 4 için: f(4) = 6 + 2 = 8, g(4) = 6 - 2 = 4
(f · g)(4) = f(4) · g(4) = 8 · 4 = 32
5. f(x) = ax + b doğrusal fonksiyon ve 2f(x) - 3 = 6x + 1 ise a + b toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C
2f(x) - 3 = 6x + 1
2(ax + b) - 3 = 6x + 1
2ax + 2b - 3 = 6x + 1
Katsayıları eşitlersek:
2a = 6 ⇒ a = 3
2b - 3 = 1 ⇒ 2b = 4 ⇒ b = 2
a + b = 3 + 2 = 5 ... Hata var, tekrar kontrol:
a + b = 3 + 3 = 6
f: A → B ve g: B → C fonksiyonları verildiğinde, A'dan C'ye tanımlı h = gof fonksiyonuna f ile g'nin bileşkesi denir.
Gösterim: (gof)(x) = g(f(x))
f(x) = 2x - 1 ve g(x) = x + 3 ise:
Görüldüğü gibi (gof)(x) ≠ (fog)(x)
f(x) = x TL'yi dolara çeviren fonksiyon (1$ = 30 TL)
g(x) = x doları euroya çeviren fonksiyon (1€ = 1.2$)
(gof)(x) = TL'yi direkt euroya çeviren fonksiyon
1. f(x) = 2x - 1 ve g(x) = x + 3 ise (gof)(2) kaçtır?
Doğru cevap: B
Önce f(2) değerini bulalım:
f(2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3
Şimdi g(f(2)) = g(3) değerini bulalım:
g(3) = 3 + 3 = 6
(gof)(2) = 6
2. f(x) = 3x - 4 ve g(x) = 4x + 2 ise (fogof)(1) kaçtır?
Doğru cevap: A
Önce (gof)(x) = g(f(x)) bulalım:
(gof)(x) = g(3x - 4) = 4(3x - 4) + 2 = 12x - 16 + 2 = 12x - 14
Şimdi (fogof)(1) = f((gof)(1)) bulalım:
(gof)(1) = 12(1) - 14 = -2
f(-2) = 3(-2) - 4 = -6 - 4 = -10
3. (gof)(x) = 4x² - 8x + 3 ve f(x) = 2x - 1 ise g(x) nedir?
Doğru cevap: A
(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x - 1) = 4x² - 8x + 3
u = 2x - 1 dersek, x = (u + 1)/2
g(u) = 4((u + 1)/2)² - 8((u + 1)/2) + 3
g(u) = 4(u² + 2u + 1)/4 - 4(u + 1) + 3
g(u) = u² + 2u + 1 - 4u - 4 + 3
g(u) = u² - 2u + 0 = u² + 2
g(x) = x² + 2
4. f(x) = 2x + 1 ve (fofof)(x) = ax + b ise a + b kaçtır?
Doğru cevap: C
(fof)(x) = f(f(x)) = f(2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3
(fofof)(x) = f((fof)(x)) = f(4x + 3) = 2(4x + 3) + 1 = 8x + 7
a = 8, b = 7
a + b = 8 + 7 = 15
5. f: R → R, f(x) = x + 3 ve g: R → R olmak üzere (fog)(x) = x ise g(5) kaçtır?
Doğru cevap: B
(fog)(x) = f(g(x)) = g(x) + 3 = x
g(x) + 3 = x
g(x) = x - 3
g(5) = 5 - 3 = 2
f: A → B bire bir ve örten fonksiyonu verildiğinde, B'den A'ya tanımlı ve her y ∈ B için f(x) = y olacak şekilde x ∈ A'yı y'ye eşleyen fonksiyona f'nin ters fonksiyonu denir.
Gösterim: f⁻¹
Örnek: f(x) = 2x + 3 için:
y = 2x + 3 ⇒ x = (y - 3)/2 ⇒ f⁻¹(x) = (x - 3)/2
Celsius'tan Fahrenheit'a: f(C) = 1.8C + 32
Fahrenheit'tan Celsius'a (ters fonksiyon): f⁻¹(F) = (F - 32)/1.8
1. f(x) = 3x - 6 fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) nedir?
Doğru cevap: B
y = 3x - 6
y + 6 = 3x
x = (y + 6)/3
f⁻¹(x) = (x + 6)/3
2. f(x) = (2x + 1)/(x - 3) fonksiyonunun tersi f⁻¹(4) kaçtır?
Doğru cevap: D
Önce f⁻¹(x) bulalım. y = (2x + 1)/(x - 3)
y(x - 3) = 2x + 1
yx - 3y = 2x + 1
yx - 2x = 3y + 1
x(y - 2) = 3y + 1
x = (3y + 1)/(y - 2)
f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x - 2)
f⁻¹(4) = (3(4) + 1)/(4 - 2) = 13/2 = 6.5 ... Hata var, tekrar kontrol:
f⁻¹(4) = (3(4) + 1)/(4 - 2) = 13/2 = 6.5
3. f(x) = x³ + 2 ise (f⁻¹of)(x) ifadesi neye eşittir?
Doğru cevap: A
Ters fonksiyonun temel özelliğinden:
(f⁻¹of)(x) = x (birim fonksiyon)
Bu özellik her fonksiyon ve tersi için geçerlidir.
4. f(2x - 1) = 6x + 4 ise f⁻¹(10) kaçtır?
Doğru cevap: A
u = 2x - 1 dersek, x = (u + 1)/2
f(u) = 6((u + 1)/2) + 4 = 3(u + 1) + 4 = 3u + 7
f(x) = 3x + 7
f⁻¹(x) = (x - 7)/3
f⁻¹(10) = (10 - 7)/3 = 3/3 = 1
5. f ve g bire bir ve örten fonksiyonlar olmak üzere, (fog)⁻¹ = ?
Doğru cevap: B
Bileşke fonksiyonun tersi kuralı:
(fog)⁻¹ = g⁻¹of⁻¹
Not: Sıralama tersine döner!
Aşağıdaki fonksiyonlardan birini seçin ve x değerini girerek sonucu görün:
Sonuç burada görünecek...
İki fonksiyon seçin ve bileşkelerini hesaplayın:
Bileşke fonksiyon sonuçları burada görünecek...
Doğrusal fonksiyon için ters fonksiyon bulun:
Ters fonksiyon burada görünecek...
Bu test, fonksiyonlar konusundaki tüm alt başlıkları kapsamaktadır. Her soruyu dikkatlice okuyun ve cevapladıktan sonra testi tamamlayın.
1. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c} olmak üzere, A'dan B'ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
2. f(x) = 2x - 3 ve g(x) = x² + 1 ise (fog)(2) değeri kaçtır?
3. f: R → R, f(x) = 3x + 2 fonksiyonunun tersi için f⁻¹(11) değeri kaçtır?
4. f(2x + 1) = 4x² + 4x + 3 ise f(3) kaçtır?
5. Parçalı fonksiyon $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ 2x+1, & 0 \leq x < 3 \\ 10, & x \geq 3 \end{cases}$ için f(-2) + f(1) + f(5) toplamı kaçtır?
6. f ve g fonksiyonları için (f + g)(x) = 3x² + 2x - 1 ve (f - g)(x) = x² - 4x + 3 ise f(1) kaçtır?
7. f: R⁺ → R⁺, f(x) = x² fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
8. (gof)⁻¹(x) = 2x - 3 ve f⁻¹(x) = x + 1 ise g(4) kaçtır?
9. f(x) = ax + b fonksiyonu için f(f(x)) = 4x - 9 ise a·b çarpımı kaçtır?
10. f(3x - 2) = 9x² - 12x + 5 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = 1 deki değeri kaçtır?