İyi tanımlanmış farklı nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {a, b, c}
A = {x: x < 6, x ∈ ℕ} = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {x: x asal sayı ve x < 10} = {2, 3, 5, 7}
Bir okulda öğrencilerin katıldığı kulüpler küme olarak düşünülebilir:
1. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez?
Doğru cevap: C
"En güzel filmler" iyi tanımlanmış değildir çünkü güzellik subjektif bir kavramdır. Küme elemanları net ve objektif olarak belirlenebilmelidir.
2. "MATEMATİK" kelimesindeki harflerin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B
MATEMATİK kelimesindeki harfler: M, A, T, E, M, A, T, İ, K
Farklı harfler: {M, A, T, E, İ, K} → 6 eleman
3. A = {x: x² < 10, x ∈ ℤ} kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Doğru cevap: E
x² < 10 koşulunu sağlayan tam sayılar:
x = -3: (-3)² = 9 < 10 ✓
x = -2: (-2)² = 4 < 10 ✓
x = -1: (-1)² = 1 < 10 ✓
x = 0: 0² = 0 < 10 ✓
x = 1: 1² = 1 < 10 ✓
x = 2: 2² = 4 < 10 ✓
x = 3: 3² = 9 < 10 ✓
A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} → 7 eleman
4. Bir sınıftaki öğrencilerin telefon numaralarının son rakamları kümesi en fazla kaç elemanlı olabilir?
Doğru cevap: C
Telefon numaralarının son rakamı 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olabilir.
Rakamlar kümesi = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
En fazla 10 farklı eleman olabilir.
5. A = {x: 0 < x < 10, x tek sayı} kümesinin liste yöntemiyle gösterimi nedir?
Doğru cevap: A
0 < x < 10 aralığındaki tek sayılar: 1, 3, 5, 7, 9
A = {1, 3, 5, 7, 9}
Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elemanı ise "A kümesi B kümesinin alt kümesidir" denir ve A ⊆ B şeklinde gösterilir.
A = {1, 2, 3} kümesinin alt kümeleri:
∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}
Toplam: 2³ = 8 alt küme
Bir pizzacıda malzemeler: {Sucuk, Mantar, Biber, Zeytin}
Müşteri bu malzemelerden istediği kombinasyonu seçebilir. Toplam 2⁴ = 16 farklı pizza yapılabilir (malzemesiz pizza dahil).
1. A = {a, {b}, {a, b}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Doğru cevap: C
A kümesinin elemanları: a, {b}, {a, b}
b, A kümesinin elemanı değildir. {b} bir elemandır ama b değil.
Bu nedenle {b} ⊆ A ifadesi yanlıştır.
2. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Doğru cevap: C
C(5,3) = 5!/(3!×2!) = (5×4×3!)/(3!×2×1) = 20/2 = 10
5 elemandan 3'ünü seçmenin 10 farklı yolu vardır.
3. Bir kümenin eleman sayısı o kümenin bir elemanı ise bu kümeye "gizemli küme" denir. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi gizemli kümedir?
Doğru cevap: C
Gizemli kümeler:
• 1 elemanlı ve 1'i içeren: {1}
• 2 elemanlı ve 2'yi içeren: C(4,1) = 4 tane
• 3 elemanlı ve 3'ü içeren: C(4,2) = 6 tane
• 4 elemanlı ve 4'ü içeren: C(4,3) = 4 tane
• 5 elemanlı ve 5'i içeren: {1,2,3,4,5}
Toplam: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
4. Bir pastanede 5 çeşit pasta bulunmaktadır. Müşteri en az bir pasta almak koşuluyla kaç farklı seçim yapabilir?
Doğru cevap: D
5 elemanlı kümenin toplam alt küme sayısı: 2⁵ = 32
Boş küme hariç (en az bir pasta almalı): 32 - 1 = 31
5. (A ∩ B) ⊆ C ⊆ (A ∪ B) koşulunu sağlayan kaç farklı C kümesi vardır? (A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5})
Doğru cevap: B
A ∩ B = {2, 3}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
C kümesi {2, 3}'ü içermeli ve {1, 2, 3, 4, 5}'in alt kümesi olmalı
Eklenmesi opsiyonel elemanlar: {1, 4, 5}
3 elemanın alt küme sayısı: 2³ = 8
İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.
A ∩ B = {x: x ∈ A ve x ∈ B}
İki kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye birleşim kümesi denir.
A ∪ B = {x: x ∈ A veya x ∈ B}
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
Bir okulda futbol takımında 25, basketbol takımında 20 öğrenci var. Her iki takımda da 8 öğrenci varsa:
• Sadece futbol oynayanlar: 25 - 8 = 17
• Sadece basketbol oynayanlar: 20 - 8 = 12
• En az bir spor yapanlar: 17 + 8 + 12 = 37
1. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6} ise A ∩ B kümesi nedir?
Doğru cevap: B
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6}
Ortak elemanlar: 3 ve 4
A ∩ B = {3, 4}
2. s(A) = 5, s(B) = 7, s(A ∩ B) = 3 ise s(A ∪ B) kaçtır?
Doğru cevap: B
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 5 + 7 - 3 = 9
3. Bir sınıftaki 30 öğrenciden 20'si matematik, 15'i fizik dersinden başarılıdır. Her iki dersten de başarılı 10 öğrenci varsa, her iki dersten de başarısız kaç öğrenci vardır?
Doğru cevap: B
s(M ∪ F) = s(M) + s(F) - s(M ∩ F)
s(M ∪ F) = 20 + 15 - 10 = 25
Her iki dersten de başarısız: 30 - 25 = 5
4. A ve B ayrık kümeler, s(A) = 12, s(B) = 8 ise s(A ∪ B) kaçtır?
Doğru cevap: C
A ve B ayrık ise A ∩ B = ∅, s(A ∩ B) = 0
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 12 + 8 - 0 = 20
5. Bir kafeteryada çay içenlerin sayısı 40, kahve içenlerin sayısı 35'tir. Çay veya kahve içenlerin sayısı 60 ise, hem çay hem kahve içenlerin sayısı kaçtır?
Doğru cevap: C
s(Ç ∪ K) = s(Ç) + s(K) - s(Ç ∩ K)
60 = 40 + 35 - s(Ç ∩ K)
s(Ç ∩ K) = 75 - 60 = 15
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesidir.
A - B = {x: x ∈ A ve x ∉ B}
Evrensel küme E olmak üzere, A kümesinin tümleyeni:
A' = E - A = {x: x ∈ E ve x ∉ A}
Bir şirkette çalışanlar İngilizce (İ) ve Almanca (A) biliyor olsun:
• İngilizce bilip Almanca bilmeyenler: İ - A
• Hiçbir dil bilmeyenler: (İ ∪ A)'
• En az bir dil bilmeyenler: İ' ∪ A' = (İ ∩ A)'
1. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} ise A - B nedir?
Doğru cevap: B
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}
A'da olup B'de olmayan elemanlar: 1 ve 2
A - B = {1, 2}
2. A ve B evrensel küme E'nin alt kümeleri, s(A) + s(B) = 12, s(A') + s(B') = 18 ise s(E) kaçtır?
Doğru cevap: B
s(A) + s(A') = s(E) ve s(B) + s(B') = s(E)
s(A) + s(B) + s(A') + s(B') = 2s(E)
12 + 18 = 2s(E)
s(E) = 30/2 = 15
3. s(A - B) = 8, s(B - A) = 4, s(A ∩ B) = 3 ise s(A ∪ B) kaçtır?
Doğru cevap: C
s(A ∪ B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 8 + 4 + 3 = 15
4. Haftanın günlerinden P harfi ile başlayanlar A kümesini, İ harfi ile bitenler B kümesini oluşturuyor. s(A - B) kaçtır?
Doğru cevap: A
A = {Pazartesi, Perşembe, Pazar}
B = {Pazartesi, Salı, Çarşamba}
A - B = {Perşembe, Pazar} ama sadece Perşembe P ile başlayıp İ ile bitmez.
s(A - B) = 2
Düzeltme: Doğru cevap B
5. (A ∪ B)' = A' ∩ B' (De Morgan Kuralı) ifadesini doğrulayan en iyi örnek hangisidir?
Doğru cevap: A
(F ∪ B)' = "Ne futbol ne de basketbol oynayanlar"
F' ∩ B' = "Futbol oynamayanlar VE basketbol oynamayanlar"
İki ifade aynı kümeyi tanımlar.
Küme problemlerinde Venn şeması kullanarak çözüm yapmak oldukça faydalıdır.
30 kişilik bir sınıfta 20 kişi futbol, 15 kişi basketbol oynamaktadır. Her öğrenci en az bir spor yapmaktadır.
Soru: Her iki sporu da yapan kaç kişi vardır?
Çözüm:
s(F ∪ B) = 30 (herkes en az bir spor yapıyor)
s(F) = 20, s(B) = 15
s(F ∪ B) = s(F) + s(B) - s(F ∩ B)
30 = 20 + 15 - s(F ∩ B)
s(F ∩ B) = 5
24 kişilik bir sınıfta:
• Instagram kullananlar: 19 kişi
• TikTok kullananlar: 15 kişi
• Facebook kullananlar Instagram da kullanıyor
• Her üç uygulamayı kullananlar: 3 kişi
Bu bilgilerle çeşitli sorular çözülebilir.
1. 40 kişilik bir grupta İngilizce bilenlerin sayısı 25, Almanca bilenlerin sayısı 20'dir. Her iki dili de bilenlerin sayısı 10 ise, hiçbir dil bilmeyenlerin sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B
s(İ ∪ A) = s(İ) + s(A) - s(İ ∩ A)
s(İ ∪ A) = 25 + 20 - 10 = 35
Hiçbir dil bilmeyenler = 40 - 35 = 5
2. Bir otobüste 40 yolcu var. 26 yolcu tek çeşit içecek, geri kalanlar iki çeşit içecek aldı. Çay almayan 18, kahve almayan 24 kişi varsa, hem çay hem kahve alan kaç kişidir?
Doğru cevap: B
İki çeşit içecek alanlar = 40 - 26 = 14 kişi
Bu 14 kişi hem çay hem kahve almıştır.
Çay alanlar = 40 - 18 = 22
Kahve alanlar = 40 - 24 = 16
Kontrol: 22 + 16 - 14 = 24 tek çeşit + 14 iki çeşit = 38
Hiç içecek almayanlar = 40 - 38 = 2
Hem çay hem kahve alanlar = 14 - 2 = 12
Yeniden hesap: İki çeşit alan = 14, ama 2 kişi hiç almadıysa, 12 kişi hem çay hem kahve almıştır.
Aslında doğru cevap: 6
3. 50 kişilik bir turist grubunda herkes İngilizce, Almanca, Fransızca dillerinden en az ikisini biliyor. Her dili bilen 40 kişi varsa, üç dili de bilen kaç kişidir?
Doğru cevap: C
Her dili bilen 40 kişi, toplam 3×40 = 120 dil bilgisi
50 kişi en az 2 dil biliyor: minimum 50×2 = 100 dil bilgisi
Fazlalık: 120 - 100 = 20
Bu 20 fazlalık, 3. dili bilen kişilerden geliyor.
Üç dili de bilen: 20 kişi
4. Bir sınıfta dans kursuna katılanlar %40, gitar kursuna katılanlar %50, her ikisine katılanlar %10'dur. Hiçbirine katılmayan 4 öğrenci varsa, yalnız dans kursuna katılan kaç öğrencidir?
Doğru cevap: A
En az birine katılanlar: %40 + %50 - %10 = %80
Hiçbirine katılmayanlar: %20
%20 = 4 öğrenci → Toplam = 20 öğrenci
Yalnız dans: %40 - %10 = %30
%30 × 20 = 6 öğrenci
5. Bir şirkette 3 farklı proje var. Her projede 20 çalışan var. 16 kişi iki projede, 5 kişi üç projede çalışıyor. Yalnız bir projede çalışan kaç kişidir?
Doğru cevap: C
Toplam proje pozisyonu: 3 × 20 = 60
x: bir projede, y: iki projede, z: üç projede çalışan sayısı
x + 2y + 3z = 60 (pozisyon sayısı)
y = 16, z = 5
x + 2(16) + 3(5) = 60
x + 32 + 15 = 60
x = 13
Aşağıda iki kümenin elemanlarını girerek çeşitli küme işlemlerinin sonuçlarını görebilirsiniz.
Kümeleri girip butona basın...
Bu aracı kullanarak:
Kümeler konusundaki bilginizi 15 soruluk bu testle sınayın! Her sorunun çözümü hemen altında.
1. "KELEBEK" kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B
KELEBEK → K, E, L, E, B, E, K
Farklı harfler: {K, E, L, B} → 4 eleman
2. A = {1, 2, 3} kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Doğru cevap: D
n = 3 elemanlı kümenin alt küme sayısı = 2³ = 8
3. A ve B ayrık kümeler, s(A) = 4, s(B) = 5 ise s(A ∪ B) kaçtır?
Doğru cevap: C
A ve B ayrık ise A ∩ B = ∅ → s(A ∩ B) = 0
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B) = 4 + 5 - 0 = 9
4. Bir fotoğraf albümünde gelin bulunan 40, damat bulunan 35 fotoğraf var. Toplam 50 fotoğraf varsa, ikisinin birlikte bulunduğu fotoğraf sayısı kaçtır?
Doğru cevap: D
s(G ∪ D) = s(G) + s(D) - s(G ∩ D)
50 = 40 + 35 - s(G ∩ D)
s(G ∩ D) = 75 - 50 = 25
5. "KİTAP" kelimesinin harflerinden oluşan A kümesi, "KALEM" kelimesinin harflerinden oluşan B kümesi ise, A ∩ B kümesinin elemanları nelerdir?
Doğru cevap: B
KİTAP → A = {K, İ, T, A, P}
KALEM → B = {K, A, L, E, M}
A ∩ B = {K, A}
6. 24 kişilik sınıfta herkes uçak veya trenle seyahat etmiştir. Hiç uçağa binmeyen 10 kişi, yalnız uçağa binen kişi sayısı tren binenlerin yarısı kadar ise, hem uçak hem trenle seyahat eden kaç kişidir?
Doğru cevap: C
Uçağa binmeyen = Sadece tren = 10
Yalnız uçak = x, İkisi = y
Tren binenler = 10 + y
x = (10 + y)/2
x + y + 10 = 24
(10 + y)/2 + y + 10 = 24
10 + y + 2y + 20 = 48
3y = 18, y = 6
7. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8} ise A' kümesi nedir?
Doğru cevap: B
A = {2, 4, 6, 8} (çift sayılar)
A' = E - A = {1, 3, 5, 7} (tek sayılar)
8. A = {x: x tek rakam}, B = {x: x asal rakam} ise s(A ∩ B) kaçtır?
Doğru cevap: C
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {3, 5, 7} → 3 eleman
Düzeltme: 1 asal değil, doğru cevap 3 olmalı.
9. Bir pastanede satılan pasta çeşitleri: {Çikolatalı, Meyveli, Karamelli}. Ali bu pastalardan en az birini alacaktır. Kaç farklı seçim yapabilir?
Doğru cevap: C
3 elemanlı kümenin alt küme sayısı = 2³ = 8
Boş küme hariç (en az bir tane almalı) = 8 - 1 = 7
10. 30 kişilik grupta sabah yemeği yiyenler 20, öğle yemeği yiyenler 25 kişi. Herkes en az bir öğün yiyor. İki öğün de yiyen kaç kişidir?
Doğru cevap: C
s(S ∪ Ö) = 30 (herkes en az bir öğün yiyor)
s(S ∪ Ö) = s(S) + s(Ö) - s(S ∩ Ö)
30 = 20 + 25 - s(S ∩ Ö)
s(S ∩ Ö) = 45 - 30 = 15
11. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerindeki elemanlar toplanarak B kümesi oluşturuluyor. s(B) kaçtır?
Doğru cevap: B
2 elemanlı alt kümeler: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}
Toplamlar: 3, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 7, 8, 9
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → 7 eleman
Düzeltme: Doğru sayalım - B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → 7 eleman değil 6
12. Bir sosyal medya grubunda 500 üye var. 120 kişi sadece fotoğraf, 80 kişi sadece video, 50 kişi hem fotoğraf hem video paylaşıyor. Hiçbir şey paylaşmayan kaç kişi vardır?
Doğru cevap: D
Paylaşım yapanlar = 120 + 80 + 50 = 250
Hiçbir şey paylaşmayanlar = 500 - 250 = 250
13. Üç elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B
3 elemanlı kümenin 2 elemanlı alt kümeleri: C(3,2) = 3
3 elemanlı alt kümeleri: C(3,3) = 1
Toplam: 3 + 1 = 4
14. A, B, C kümeleri için A ⊆ B ⊆ C, s(A) = 3, s(C) = 7 ise s(B) en az kaç olabilir?
Doğru cevap: A
A ⊆ B ⊆ C olduğundan:
s(A) ≤ s(B) ≤ s(C)
3 ≤ s(B) ≤ 7
s(B) en az 3 olabilir (B = A durumunda)
15. Bir okulda öğrencilerin %60'ı İngilizce, %40'ı Almanca biliyor. İki dili de bilenlerin oranı en fazla yüzde kaç olabilir?
Doğru cevap: B
s(İ ∩ A) ≤ min{s(İ), s(A)}
s(İ ∩ A) ≤ min{60, 40} = 40
İki dili de bilenlerin oranı en fazla %40 olabilir.