➕ Logaritmada Dört İşlem - Kapsamlı Test ➖

Çözüm:

Logaritmada toplama kuralı: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

$\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 (4 \times 8) = \log_2 32$

$32 = 2^5$ olduğundan $\log_2 32 = 5$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Logaritmada çıkarma kuralı: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$

$\log_3 27 - \log_3 9 = \log_3 \frac{27}{9} = \log_3 3 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_5 5 = 1$ ve $\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$

$\log_5 5 + \log_5 25 = 1 + 2 = 3$

Alternatif çözüm: $\log_5 (5 \times 25) = \log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log 100 - \log 10 = \log \frac{100}{10} = \log 10 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Önemli kural: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$

$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_6 2 + \log_6 18 = \log_6 (2 \times 18) = \log_6 36$

$36 = 6^2$ olduğundan $\log_6 36 = 2$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log_4 48 - \log_4 3 = \log_4 \frac{48}{3} = \log_4 16$

$16 = 4^2$ olduğundan $\log_4 16 = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$

$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

$\frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{3}{2}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Logaritma zincir kuralı: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

$\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log 20 + \log 5 = \log(20 \times 5) = \log 100 = \log 10^2 = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$4 = 2^2$, $25 = 5^2$, $8 = 2^3$ olarak yazalım

$\log_{2^2} 5 \cdot \log_{5^2} 2^3 = \frac{1}{2}\log_2 5 \cdot \frac{3}{2}\log_5 2$

$= \frac{3}{4} \cdot (\log_2 5 \cdot \log_5 2) = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Taban değiştirme kuralından: $\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$

$\frac{\log_2 36}{\log_2 6} = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Önce tabanları eşitleyelim: $\log_9 36 = \log_{3^2} 6^2 = \frac{2}{2}\log_3 6 = \log_3 6$

$\log_3 8 + \log_3 6 = \log_3(8 \times 6) = \log_3 48$

Doğru cevap: D

Çözüm:

$\log 40 - \log 2 + \log 5 = \log\frac{40}{2} + \log 5 = \log 20 + \log 5$

$= \log(20 \times 5) = \log 100 = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ kuralını kullanırız

$\frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10} = \log_{10} 2 + \log_{10} 5$

$= \log_{10}(2 \times 5) = \log_{10} 10 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_6 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 6}$ (taban değiştirme)

$12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$ ve $6 = 2 \times 3$

$\log_2 12 = \log_2(2^2 \times 3) = 2 + \log_2 3 = 2 + a$

$\log_2 6 = \log_2(2 \times 3) = 1 + \log_2 3 = 1 + a$

$\log_6 12 = \frac{a+2}{a+1}$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Pay: $\log_3 8 + \log_9 36 = \log_3 8 + \log_{3^2} 6^2 = \log_3 8 + \log_3 6$

$= \log_3(8 \times 6) = \log_3 48$

Payda: $\log_3 16 + 1 = \log_3 16 + \log_3 3 = \log_3(16 \times 3) = \log_3 48$

Sonuç: $\frac{\log_3 48}{\log_3 48} = 1$

Doğru cevap: D

Çözüm:

Zincir kuralını kullanarak:

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 32 = \log_2 32$

$32 = 2^5$ olduğundan $\log_2 32 = 5$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ kuralını kullanarak:

$\log_{48} 3 + \log_{48} 2 + \log_{48} 8$

$= \log_{48}(3 \times 2 \times 8) = \log_{48} 48 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_{35} 20 = \frac{\log_5 20}{\log_5 35}$

$20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5$

$\log_5 20 = \log_5(2^2 \times 5) = 2\log_5 2 + 1 = 2a + 1$

$35 = 5 \times 7$

$\log_5 35 = \log_5(5 \times 7) = 1 + \log_5 7 = 1 + b$

$\log_{35} 20 = \frac{2a+1}{b+1}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Logaritma tanımından dolayı $x-1 > 0$ ve $x+1 > 0$ olmalıdır, yani $x > 1$ olmalıdır.

Logaritma toplama kuralını uygulayalım: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_2[(x-1)(x+1)] = 3$.

$\log_2(x^2 - 1) = 3$.

Logaritmanın tanımını kullanarak üslü ifadeye çevirelim: $x^2 - 1 = 2^3 = 8$.

$x^2 = 9$.

Buradan $x=3$ veya $x=-3$ bulunur. Ancak başlangıçtaki tanım kümesi şartımız $x>1$ olduğu için, $x=-3$ çözüm olamaz.

Tek çözüm $x=3$'tür.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Denklemi çözmek için tüm logaritmaları aynı tabana (2 tabanına) çevirmeliyiz.

$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2}\log_2 x$

$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3}\log_2 x$

Denklemde yerine yazalım: $\log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 x + \frac{1}{3}\log_2 x = 11$.

$\log_2 x$ parantezine alalım: $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3})\log_2 x = 11$.

Parantez içindeki kesirleri toplayalım: $(\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6})\log_2 x = \frac{11}{6}\log_2 x = 11$.

$\log_2 x = 11 \cdot \frac{6}{11} \implies \log_2 x = 6$.

Son olarak, $x = 2^6 = 64$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Tüm ifadeleri 2'nin kuvvetleri cinsinden yazalım (logaritma tabanı 10'dur).

Pay: $\log 8 + \log 4 = \log(2^3) + \log(2^2) = 3\log 2 + 2\log 2 = 5\log 2$.

Payda: $\log 2\sqrt{2} = \log(2^1 \cdot 2^{1/2}) = \log(2^{3/2}) = \frac{3}{2}\log 2$.

İfade: $\frac{5\log 2}{\frac{3}{2}\log 2}$.

$\log 2$ terimleri sadeleşir: $\frac{5}{3/2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

İstenen ifadeyi, verilenlerin tabanı olan 2 tabanına çevirelim: $\log_{10} 36 = \frac{\log_2 36}{\log_2 10}$.

Payı hesaplayalım: $\log_2 36 = \log_2(4 \cdot 9) = \log_2(2^2 \cdot 3^2) = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 = 2 + 2\log_2 3 = 2 + 2p = 2(1+p)$.

Paydayı hesaplayalım: $\log_2 10 = \log_2(2 \cdot 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + \log_2 5$.

$\log_2 5$'i bulmak için zincir kuralını kullanalım: $\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = p \cdot q = pq$.

Dolayısıyla payda: $1 + pq$.

Sonuç: $\frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{2(1+p)}{1+pq}$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Logaritmada taban değiştirme kuralının bir sonucu olarak $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ eşitliği vardır.

Bu kuralı her bir terime uygulayalım:

$\log_{30} 2 + \log_{30} 3 + \log_{30} 5$.

Tabanlar aynı olduğu için toplama kuralını uygulayabiliriz:

$\log_{30} (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_{30} 30$.

$\log_a a = 1$ olduğundan, sonuç 1'dir.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Tanım kümesi için: $x+5>0 \implies x>-5$ ve $x^2-25>0 \implies x>5$ veya $x<-5$. Kesişim kümesi $x>5$'tir.

Tüm terimleri 6 tabanına getirelim: $\log_{36}(x^2 - 25) = \log_{6^2}(x^2-25) = \frac{1}{2}\log_6(x^2 - 25)$.

Denklem: $\log_6(x+5) - \frac{1}{2}\log_6(x^2 - 25) = \frac{1}{2}$.

Denklemi 2 ile çarpalım: $2\log_6(x+5) - \log_6(x^2 - 25) = 1$.

$\log_6(x+5)^2 - \log_6(x^2 - 25) = 1$.

$\log_6\left(\frac{(x+5)^2}{x^2 - 25}\right) = 1$. İki kare farkından: $\log_6\left(\frac{(x+5)(x+5)}{(x-5)(x+5)}\right) = 1$.

Sadeleştirme yaparsak: $\log_6\left(\frac{x+5}{x-5}\right) = 1$.

$\frac{x+5}{x-5} = 6^1 = 6$.

$x+5 = 6(x-5) \implies x+5 = 6x-30 \implies 5x = 35 \implies x=7$.

Bulduğumuz $x=7$ değeri, tanım kümesi şartı olan $x>5$'i sağladığı için geçerli bir çözümdür.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Bu, logaritmada "zincir kuralı" olarak bilinen özelliğin bir uygulamasıdır: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.

Bu kuralı ardışık olarak uyguladığımızda, aradaki terimler sadeleşir:

$(\log_2 3 \cdot \log_3 4) \cdot \log_4 5 \cdot \dots = (\log_2 4) \cdot \log_4 5 \cdot \dots$

Bu sadeleşme en sona kadar devam eder ve geriye sadece ilk taban ve son sayı kalır:

$\log_2 32$.

$32 = 2^5$ olduğundan, $\log_2 2^5 = 5$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Pay ve paydayı ayrı ayrı hesaplayalım.

Pay (Zincir Kuralı): $\log_4 7 \cdot \log_7 8 = \log_4 8$.

$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2}$.

Payda: $\log_9 3 = \log_{3^2} 3^1 = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2}$.

İfade: $\frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

Doğru cevap: D

Çözüm:

Tanım kümesi için logaritma içleri pozitif olmalıdır: $x-3>0 \implies x>3$, $x-2>0 \implies x>2$, ve $x+13>0 \implies x>-13$. Bu üç şartın kesişimi $x>3$'tür.

Denklemin sol tarafını birleştirelim: $\log[(x-3)(x-2)] = \log(x+13)$.

Tabanlar aynı olduğu için içleri eşitleyebiliriz: $(x-3)(x-2) = x+13$.

$x^2 - 5x + 6 = x + 13$.

Denklemi sıfıra eşitleyelim: $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Çarpanlarına ayıralım: $(x-7)(x+1) = 0$.

Kökler $x=7$ ve $x=-1$'dir.

Ancak tanım kümesi şartımız $x>3$ olduğundan, $x=-1$ kökünü alamayız. Bu kök "yalancı kök"tür.

Geçerli olan tek çözüm $x=7$'dir.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Bu ifade, logaritmanın en temel ve en zarif kurallarından biri olan zincir kuralının doğrudan bir uygulamasıdır.

Kural şöyledir: $\log_x y \cdot \log_y z = \log_x z$.

Bu kuralı ifademize uygulayalım:

İlk iki terimi çarpalım: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.

Şimdi bu sonucu üçüncü terimle çarpalım: $(\log_a c) \cdot \log_c a$.

Tekrar zincir kuralını uygularsak: $\log_a a$.

Bir sayının kendisi tabanındaki logaritması daima 1'dir. Yani, $\log_a a = 1$.

Not: Bu bir özdeşliktir. Soruda kafa karıştırmak için verilen fazladan bilgiler (örneğin bu terimlerin toplamı) sonucu değiştirmez.

Doğru cevap: D