$\log_2 8$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$\log_2 8$ ifadesi "2'nin kaçıncı kuvveti 8'dir?" sorusunu sorar.
$2^3 = 8$ olduğundan, $\log_2 8 = 3$
Doğru cevap: C
$\log_5 1$ değeri kaçtır?
Çözüm:
Her pozitif taban için $\log_a 1 = 0$ kuralı geçerlidir.
Çünkü $a^0 = 1$ (a ≠ 0)
Doğru cevap: B
$\log_3 3$ değeri kaçtır?
Çözüm:
Her pozitif taban için $\log_a a = 1$ kuralı geçerlidir.
Çünkü $a^1 = a$
Doğru cevap: C
$\log_{10} 100$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$\log_{10} 100$ ifadesi "10'un kaçıncı kuvveti 100'dür?" sorusunu sorar.
$10^2 = 100$ olduğundan, $\log_{10} 100 = 2$
Doğru cevap: B
$\ln e$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$\ln$ doğal logaritmadır ve tabanı e'dir.
$\ln e = \log_e e = 1$ (çünkü $\log_a a = 1$)
Doğru cevap: C
$\log_2 32$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$32 = 2^5$ olduğunu biliyoruz.
$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$
Doğru cevap: C
$\log_5 125$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$125 = 5^3$ olduğunu biliyoruz.
$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$
Doğru cevap: C
$2^{\log_2 7}$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$a^{\log_a x} = x$ kuralını kullanırız.
$2^{\log_2 7} = 7$
Doğru cevap: C
$f(x) = \log_3(x-2)$ fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözüm:
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır.
$x - 2 > 0$
$x > 2$
Doğru cevap: B
$\ln e^3$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$\ln e^3 = \log_e e^3 = 3$
Genel kural: $\log_a a^n = n$
Doğru cevap: C
$\log_4 64$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$64 = 4^3$ olup olmadığını kontrol edelim:
$4^3 = 64$ ✓
O halde $\log_4 64 = 3$
Doğru cevap: C
$\log_9 3$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$9 = 3^2$ olduğunu biliyoruz.
$9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$
Dolayısıyla $\log_9 3 = \frac{1}{2}$
Doğru cevap: B
$\log(\log 10^{10})$ değeri kaçtır?
Çözüm:
İçten dışa doğru çözelim:
$\log 10^{10} = 10$
$\log(\log 10^{10}) = \log 10 = 1$
Doğru cevap: B
$f(x) = \log_2(x^2 - 4)$ fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözüm:
$x^2 - 4 > 0$ olmalı
$(x-2)(x+2) > 0$
İşaret tablosu yaparsak: $x < -2$ veya $x > 2$
Tanım kümesi: $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$
Doğru cevap: B
$3^{\log_3 5}$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$a^{\log_a x} = x$ kuralını kullanırız.
$3^{\log_3 5} = 5$
Doğru cevap: C
$\log_{\sqrt{2}} 8$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$\sqrt{2} = 2^{1/2}$ ve $8 = 2^3$
$(\sqrt{2})^x = 8$ denklemini çözelim:
$(2^{1/2})^x = 2^3$
$2^{x/2} = 2^3$
$x/2 = 3$, dolayısıyla $x = 6$
Doğru cevap: D
$\log_4(\log_3 9)$ değeri kaçtır?
Çözüm:
İçten dışa çözelim:
$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$
$\log_4 2 = ?$
$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$ olduğundan
$\log_4 2 = \frac{1}{2}$
Doğru cevap: B
$f(x) = \log_5(2x + 3)$ ve $f(a) = 2$ ise $a$ kaçtır?
Çözüm:
$f(a) = 2$ ise $\log_5(2a + 3) = 2$
$2a + 3 = 5^2 = 25$
$2a = 22$
$a = 11$
Doğru cevap: C
$\ln(e^{\sqrt{3}})$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$\ln(e^{\sqrt{3}}) = \sqrt{3} \cdot \ln(e)$
$\ln(e) = 1$ olduğundan
$\ln(e^{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}$
Doğru cevap: B
$5^{\ln 5} = e^x$ ise $x$ kaçtır?
Çözüm:
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım:
$\ln(5^{\ln 5}) = \ln(e^x)$
$(\ln 5) \cdot (\ln 5) = x$
$x = (\ln 5)^2$
Doğru cevap: C
$f(x) = \log_x 64$ ve $f(a) = 3$ ise $a$ kaçtır?
Çözüm:
$f(a) = 3$ ise $\log_a 64 = 3$
Bu demektir ki $a^3 = 64$
$a^3 = 4^3$
$a = 4$
Doğru cevap: B
$\log_{27} 9$ değeri kaçtır?
Çözüm:
$27 = 3^3$ ve $9 = 3^2$
$27^x = 9$ denklemini çözelim:
$(3^3)^x = 3^2$
$3^{3x} = 3^2$
$3x = 2$, dolayısıyla $x = \frac{2}{3}$
Doğru cevap: B
$f(x) = \log_3(-x^2 - 4x + 5)$ fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritmanın içinin pozitif olması gerekir.
Yani, $-x^2 - 4x + 5 > 0$ olmalıdır.
Eşitsizliği daha kolay çözmek için her iki tarafı -1 ile çarpalım (bu durumda eşitsizlik yön değiştirir):
$x^2 + 4x - 5 < 0$
Şimdi ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $(x+5)(x-1) < 0$.
Bu eşitsizliğin kökleri $x=-5$ ve $x=1$'dir. İşaret tablosu incelendiğinde veya parabolün kollarının yukarı doğru olduğu düşünüldüğünde, ifadenin negatif olduğu bölge kökler arasıdır.
Dolayısıyla, tanım kümesi $(-5, 1)$ aralığıdır.
Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır: $\{-4, -3, -2, -1, 0\}$.
Bu tam sayıların toplamı: $(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -10$.
Doğru cevap: B
$\log(\log(\log 10^{1000}))$ değeri kaçtır?
Çözüm:
İçten dışa çözelim:
$\log 10^{1000} = 1000$
$\log(\log 10^{1000}) = \log 1000 = \log 10^3 = 3$
$\log(\log(\log 10^{1000})) = \log 3$
Doğru cevap: C
$a^{\log_a b} = 12$ ve $b^{\log_b a} = 3$ ise $a + b$ kaçtır?
Çözüm:
$a^{\log_a b} = b$ olmalı, ama $b = 12$ verilmiş
$b^{\log_b a} = a$ olmalı, ama $a = 3$ verilmiş
Dolayısıyla $a = 3$ ve $b = 12$
$a + b = 3 + 12 = 15$
Doğru cevap: D
$\log_2(\log_3(\log_4 x)) = 1$ ise $x$ kaçtır?
Çözüm:
Dıştan içe doğru çözelim:
$\log_2(\log_3(\log_4 x)) = 1$
$\log_3(\log_4 x) = 2^1 = 2$
$\log_4 x = 3^2 = 9$
$x = 4^9$
Doğru cevap: C
$f(x) = \log_{x+1}(x^2 - 1)$ fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözüm:
Şartlar:
1) $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1$ veya $x > 1$
2) $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
3) $x + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$
Bu üç şartın kesişimi: $x > 1$
Ancak $x^2 - 1 = (x+1)$ olduğunda sorun var:
$x^2 - 1 = x + 1 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$
$(x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 2$ (x > 1 için)
x = 2'de logaritmanın içi ve tabanı eşit olur, bu tanımsızdır.
Tanım kümesi: $(1, \infty) \setminus \{2\}$
Doğru cevap: B
$\log_6 2 = a$ ve $\log_6 5 = b$ ise $\log_6 15 - \log_6 4$ ifadesinin değeri nedir?
Çözüm:
$\log_6 15 - \log_6 4 = \log_6 \frac{15}{4}$
$15 = 3 \times 5$ ve $4 = 2^2$
$\log_6 \frac{15}{4} = \log_6 \frac{3 \times 5}{2^2}$
$= \log_6 3 + \log_6 5 - 2\log_6 2$
$6 = 2 \times 3$ olduğundan $\log_6 6 = 1$
$\log_6 2 + \log_6 3 = 1$
$\log_6 3 = 1 - \log_6 2 = 1 - a$
Sonuç: $(1 - a) + b - 2a = 1 + b - 2a$
Doğru cevap: C
$e^{\ln(\ln e)} = ?$
Çözüm:
İçten dışa çözelim:
$\ln e = 1$
$\ln(\ln e) = \ln 1 = 0$
$e^{\ln(\ln e)} = e^0 = 1$
Doğru cevap: A
$\log_2 3 = a$ ise $\log_{12} 18$ ifadesinin $a$ cinsinden değeri nedir?
Çözüm:
Taban değiştirme formülünü kullanalım:
$\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12}$
$18 = 2 \times 3^2$ ve $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$
$\log_2 18 = \log_2 2 + 2\log_2 3 = 1 + 2a$
$\log_2 12 = 2\log_2 2 + \log_2 3 = 2 + a$
$\log_{12} 18 = \frac{1 + 2a}{2 + a}$
Doğru cevap: B