Normal konuşma sesi 60 dB olarak ölçülüyor. Bu sesin şiddeti kaç W/m²'dir? (Formül: $B = 10 \log(10^{12} \cdot I)$)
B: Ses düzeyi (dB), I: Ses şiddeti (W/m²)
Çözüm:
$B = 10 \log(10^{12} \cdot I)$
$60 = 10 \log(10^{12} \cdot I)$
$6 = \log(10^{12} \cdot I)$
$10^6 = 10^{12} \cdot I$
$I = 10^{-6}$ W/m²
Doğru cevap: B
Saf suyun pH değeri 7'dir. Saf suyun hidrojen iyonu konsantrasyonu kaç mol/L'dir?
[H⁺]: Hidrojen iyonu konsantrasyonu (mol/L)
Çözüm:
pH formülü: $pH = -\log[H^+]$
$7 = -\log[H^+]$
$\log[H^+] = -7$
$[H^+] = 10^{-7}$ mol/L
Doğru cevap: B
Richter ölçeğinde 5.0 büyüklüğündeki deprem, 4.0 büyüklüğündeki depremden kaç kat daha şiddetlidir?
Her 1 birim fark = 10 kat şiddet farkı
Çözüm:
Richter ölçeği logaritmiktir. Her 1 birim artış, 10 kat daha fazla şiddet demektir.
5.0 - 4.0 = 1.0 birim fark
Şiddet oranı = $10^1 = 10$ kat
Doğru cevap: B
Moore yasasına göre mikroçiplerdeki transistör sayısı her 2 yılda bir ikiye katlanır. 2020'de 10 milyar transistörlü bir işlemci, 2024'te kaç milyar transistör içerir?
t: yıl sayısı, her 2 yılda bir ikiye katlanma
Çözüm:
2020'den 2024'e 4 yıl var.
4 yıl = 2 dönem (her dönem 2 yıl)
Her dönemde 2 kat artış: $10 \times 2^2 = 10 \times 4 = 40$ milyar
Doğru cevap: C
Bir oktav (8 nota) yukarıdaki sesin frekansı, orijinal sesin frekansının kaç katıdır?
Çözüm:
Müzikte bir oktav yukarıdaki ses, frekansın 2 katıdır.
Örneğin: La notası 440 Hz ise, bir oktav yukarıdaki La 880 Hz'dir.
Bu logaritmik bir ilişkidir: 12 yarım ton = 1 oktav = 2 kat frekans
Doğru cevap: B
Bir konserde ses düzeyi 110 dB ölçülmüştür. Normal konuşma sesi 60 dB olduğuna göre, konser sesi normal konuşmadan kaç kat daha şiddetlidir?
Çözüm:
Desibel farkı: 110 - 60 = 50 dB
Her 10 dB fark, şiddette 10 kat fark demektir.
50 dB fark = 5 × 10 dB
Şiddet oranı = $10^5 = 100,000$ kat
Bu yüzden konserler işitme kaybına neden olabilir!
Doğru cevap: D
Limon suyunun pH değeri 2, sabunun pH değeri 10'dur. Limon suyundaki H⁺ konsantrasyonu sabundan kaç kat fazladır?
Çözüm:
Limon suyu: pH = 2, $[H^+] = 10^{-2}$ mol/L
Sabun: pH = 10, $[H^+] = 10^{-10}$ mol/L
Oran = $\frac{10^{-2}}{10^{-10}} = 10^8 = 100,000,000$ kat
Bu yüzden limon suyu çok asidik, sabun ise baziktir!
Doğru cevap: D
Radyum-226'nın yarılanma ömrü 1600 yıldır. 64 gram radyumdan 4800 yıl sonra kaç gram kalır?
t: geçen süre, t₁/₂: yarılanma ömrü
Çözüm:
Yarılanma sayısı = $\frac{4800}{1600} = 3$
3 yarılanma sonunda kalan miktar:
$64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ gram
Doğru cevap: C
Yıldız parlaklığı ölçeğinde (magnitude), her 1 birim fark 2.512 kat parlaklık farkı yaratır. 1. kadir yıldız, 6. kadir yıldızdan kaç kat daha parlaktır?
5 kadir fark = 100 kat
Çözüm:
Kadir farkı: 6 - 1 = 5
Parlaklık oranı = $(2.512)^5$
$2.512 \approx 10^{0.4}$ olduğundan:
$(10^{0.4})^5 = 10^2 = 100$ kat
Not: Kadir sayısı küçüldükçe yıldız daha parlaktır!
Doğru cevap: B
Bir şehrin nüfusu yıllık %3 oranında artıyor. Nüfusun iki katına çıkması için kaç yıl gerekir? ($\log 2 = 0.301$, $\log 1.03 = 0.0128$)
Çözüm:
$P_0 \times (1.03)^t = 2P_0$
$(1.03)^t = 2$
$t \times \log 1.03 = \log 2$
$t = \frac{\log 2}{\log 1.03} = \frac{0.301}{0.0128} = 23.5$ yıl
Doğru cevap: B
Bir fosilde C-14 miktarı, canlı organizmalardaki miktarın %12.5'i kadar bulunmuştur. C-14'ün yarılanma ömrü 5700 yıl olduğuna göre, fosil kaç yıllıktır?
Çözüm:
%12.5 = $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$
3 yarılanma gerçekleşmiş.
Fosil yaşı = 3 × 5700 = 17,100 yıl
Doğru cevap: C
Eşit tampereman müzik sisteminde ardışık iki yarım ses arasındaki frekans oranı $2^{1/12}$'dir. "Do" notasından ince "Si" notasına çıkarken (11 yarım ses), frekans yaklaşık olarak kaç katına çıkar? ($\log 2 \approx 0.301$)
Çözüm:
11 yarım seslik bir aralık için frekans oranı $K = (2^{1/12})^{11} = 2^{11/12}$'dir.
Bu değeri bulmak için her iki tarafın 10 tabanında logaritmasını alalım:
$\log K = \log(2^{11/12}) = \frac{11}{12} \log 2$
Verilen değeri yerine yazalım: $\log K = \frac{11}{12} \times 0.301 \approx 0.276$.
Şimdi $\log K \approx 0.276$ ise $K$'yı bulalım: $K \approx 10^{0.276}$.
Biliyoruz ki $10^{0.301} \approx 2$. Aradığımız değer olan $10^{0.276}$, $10^{0.301}$'den biraz küçük olduğu için, sonuç da 2'den biraz küçük olmalıdır. Şıklardaki en makul değer 1.89'dur.
Doğru cevap: B
Yıllık %5 faizle bankaya yatırılan paranın 3 katına çıkması için kaç yıl gerekir? ($\log 3 = 0.477$, $\log 1.05 = 0.021$)
Çözüm:
$P \times (1.05)^t = 3P$
$(1.05)^t = 3$
$t \times \log 1.05 = \log 3$
$t = \frac{0.477}{0.021} = 22.7$ yıl
Doğru cevap: B
pH'ı 4 olan asidik çözeltiye su eklenerek seyreltiliyor. Çözeltinin hacmi 100 kat artırılırsa yeni pH değeri ne olur?
Çözüm:
pH = 4 ise $[H^+] = 10^{-4}$ mol/L
100 kat seyreltme sonrası: $[H^+] = \frac{10^{-4}}{100} = 10^{-6}$ mol/L
Yeni pH = $-\log(10^{-6}) = 6$
Doğru cevap: C
İki ses kaynağının şiddetleri $I_1 = 10^{-8}$ W/m² ve $I_2 = 10^{-6}$ W/m²'dir. Bu iki sesin desibel cinsinden farkı kaçtır?
Çözüm:
$B_1 = 10\log(10^{12} \times 10^{-8}) = 10\log(10^4) = 40$ dB
$B_2 = 10\log(10^{12} \times 10^{-6}) = 10\log(10^6) = 60$ dB
Fark = 60 - 40 = 20 dB
Doğru cevap: B
Richter ölçeğinde deprem büyüklüğü $M = \log(\frac{A}{A_0})$ formülüyle hesaplanır. 6.5 büyüklüğündeki depremin genliği, 5.0 büyüklüğündeki depremin genliğinin kaç katıdır?
Büyüklük farkı → 10^fark = genlik oranı
Çözüm:
$6.5 = \log(\frac{A_1}{A_0})$ ve $5.0 = \log(\frac{A_2}{A_0})$
Çıkarma: $1.5 = \log(\frac{A_1}{A_2})$
$\frac{A_1}{A_2} = 10^{1.5} = 10^{3/2} = 10\sqrt{10} \approx 31.6$
Doğru cevap: C
Karbon-14 yöntemiyle bir fosilin yaşı, $t = \frac{\ln(N/N_0)}{-\ln 2} \times 5730$ formülüyle hesaplanır. Bir fosildeki Karbon-14 oranının ($N/N_0$), başlangıçtakinin %37'si olduğu tespit edilmiştir. Fosilin yaşı yaklaşık olarak kaç yıldır? (Hesaplama için $\ln 0.37 \approx -1$ ve $\ln 2 \approx 0.7$ kullanınız.)
Çözüm:
Formülde verilenleri yerine koyalım:
$N/N_0 = 0.37$ olarak verilmiştir.
$t = \frac{\ln(0.37)}{-\ln 2} \times 5730$.
Soruda verilen yaklaşımları kullanalım: $\ln 0.37 \approx -1$ ve $\ln 2 \approx 0.7$.
$t \approx \frac{-1}{-0.7} \times 5730 = \frac{1}{0.7} \times 5730 = \frac{5730}{0.7}$.
$t \approx \frac{57300}{7} \approx 8185.7$ yıl.
Not: $\ln 0.37 \approx -1$ yaklaşımı, oranın $1/e$'ye yakın olmasından kaynaklanır. Formüldeki $-\ln 2$ ise Karbon-14'ün yarılanma ömrü hesabından gelir.
Doğru cevap: B
Bakteri popülasyonu 20 dakikada ikiye katlanıyor. Başlangıçta 1000 bakteri varsa, 10^6 bakteriye ulaşması kaç saat sürer? ($\log 2 = 0.301$)
d: ikiye katlanma süresi
Çözüm:
$1000 \times 2^n = 10^6$
$2^n = 1000 = 10^3$
$n \times 0.301 = 3$
$n = 10$ (ikiye katlanma sayısı)
Süre = 10 × 20 dakika = 200 dakika = 3.33 saat
Doğru cevap: C
Sinyal gücü mesafeyle ters orantılı olarak azalır. 1 km'de 100 mW olan sinyal gücü 10 km'de kaç dB azalmıştır?
Çözüm:
Mesafe 10 kat artmış → Güç 100 kat azalmış
10 km'de güç = 1 mW
dB kaybı = $10\log(\frac{100}{1}) = 10 \times 2 = 20$ dB
Doğru cevap: B
Shannon entropisi $H = -\sum p_i \log_2 p_i$ formülüyle hesaplanır. Adil bir zarda (6 yüzlü) entropi kaç bit'tir? ($\log_2 6 = 2.585$)
Adil zar için: H = log₂ 6
Çözüm:
Adil zar için her yüzün olasılığı $p_i = \frac{1}{6}$
$H = -6 \times \frac{1}{6} \log_2 \frac{1}{6} = -\log_2 \frac{1}{6} = \log_2 6 = 2.585$ bit
Doğru cevap: B
Boltzmann entropisi $S = k \ln W$ formülüyle verilir. Sistem durumu 1'den $e^{23}$'e çıkarsa entropi değişimi kaç k birimdir?
ΔS = k ln(W₂/W₁)
Çözüm:
$\Delta S = S_2 - S_1 = k\ln(e^{23}) - k\ln(1)$
$= 23k - 0 = 23k$
Not: $\ln(e^n) = n$ ve $\ln(1) = 0$
Doğru cevap: B
İlaç konsantrasyonu $C(t) = C_0 e^{-kt}$ formülüyle azalır. Yarılanma süresi 4 saat olan ilacın %10'una düşmesi kaç saat sürer? ($\log 2 = 0.301$)
k = ln 2 / yarılanma süresi
Çözüm:
Yarılanma süresi 4 saat ise: $k = \frac{\ln 2}{4} = \frac{0.693}{4}$
%10'a düşmesi için: $0.1 = e^{-kt}$
$\ln 0.1 = -kt$
$-\ln 10 = -kt$
$t = \frac{\ln 10}{k} = \frac{2.303}{0.693/4} = \frac{2.303 \times 4}{0.693} = 13.3$ saat
Doğru cevap: B
Weber-Fechner yasasına göre bir uyarana karşı oluşan algı $S = k \cdot \ln(\frac{I}{I_0})$ formülüyle modellenir. Burada $k$ bir sabit, $I$ uyaran şiddeti ve $I_0$ başlangıç eşik değeridir. Başlangıçtaki algının $S_{ilk} = k$ birim olduğu bir durumda, uyaran şiddeti ($I$) 100 katına çıkarılırsa yeni algı ($S_{yeni}$) yaklaşık kaç $k$ birim olur? ($\ln 10 \approx 2.3$)
Çözüm:
1. Başlangıç Durumunu Anlama:
$S_{ilk} = k \cdot \ln(\frac{I_{ilk}}{I_0}) = k$. Bu eşitlikten $\ln(\frac{I_{ilk}}{I_0}) = 1$ sonucunu çıkarırız. Bu, başlangıçtaki uyaran şiddetinin $\frac{I_{ilk}}{I_0} = e$ olduğunu gösterir.
2. Yeni Durumu Hesaplama:
Yeni uyaran şiddeti 100 katına çıkıyor: $I_{yeni} = 100 \cdot I_{ilk}$.
Yeni algı: $S_{yeni} = k \cdot \ln(\frac{100 \cdot I_{ilk}}{I_0})$.
Logaritma kuralını kullanalım: $S_{yeni} = k \cdot \left[ \ln(100) + \ln(\frac{I_{ilk}}{I_0}) \right]$.
$\ln(\frac{I_{ilk}}{I_0}) = 1$ olduğunu biliyoruz. Yerine koyalım:
$S_{yeni} = k \cdot (\ln(100) + 1)$.
3. Sonucu Bulma:
$\ln(100) = \ln(10^2) = 2 \cdot \ln(10)$.
Verilen yaklaşımı kullanalım: $2 \cdot (2.3) = 4.6$.
$S_{yeni} = k \cdot (4.6 + 1) = 5.6k$.
Doğru cevap: C
Deniz derinliğinde ışık şiddeti $I = I_0 e^{-kd}$ formülüyle azalır. 10 metrede ışık %50 azalıyorsa, %1'e düşmesi için derinlik kaç metre olmalıdır? ($\log 2 = 0.301$)
d: derinlik, k: sönüm katsayısı
Çözüm:
10 metrede %50 kalıyor: $0.5 = e^{-10k}$
$k = \frac{\ln 2}{10} = \frac{0.693}{10} = 0.0693$
%1'e düşmesi için: $0.01 = e^{-kd}$
$\ln 0.01 = -kd$
$-\ln 100 = -kd$
$d = \frac{\ln 100}{k} = \frac{2 \times 2.303}{0.0693} = 66.4$ m
Doğru cevap: C
Sürekli bileşik faizde $A = Pe^{rt}$ formülü kullanılır. Yıllık %8 sürekli faizle paranın 4 katına çıkması kaç yıl sürer? ($\ln 2 = 0.693$)
r: faiz oranı, t: süre
Çözüm:
$4P = Pe^{0.08t}$
$4 = e^{0.08t}$
$\ln 4 = 0.08t$
$2\ln 2 = 0.08t$
$t = \frac{2 \times 0.693}{0.08} = \frac{1.386}{0.08} = 17.3$ yıl
Doğru cevap: B
Uranyum-238'in yarılanma ömrü 4.5 milyar yıldır. Dünya'nın yaşı 4.5 milyar yıl olduğuna göre, başlangıçtaki U-238'in yüzde kaçı günümüze ulaşmıştır?
1 yarılanma ömrü = %50 kalır
Çözüm:
Geçen süre = 1 yarılanma ömrü
Kalan miktar = $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2} = %50$
Bu nedenle Dünya'da hala bol miktarda U-238 bulunur.
Doğru cevap: C
Elo rating sisteminde kazanma olasılığı $P = \frac{1}{1 + 10^{(R_B - R_A)/400}}$ formülüyle hesaplanır. 2000 puanlı oyuncu, 2400 puanlı oyuncuya karşı kazanma olasılığı nedir?
400 puan fark = 10:1 kazanma oranı
Çözüm:
$P = \frac{1}{1 + 10^{(2400 - 2000)/400}} = \frac{1}{1 + 10^{400/400}} = \frac{1}{1 + 10}$
$P = \frac{1}{11} \approx 0.09 = %9$
400 puan farkı, 10:1 kazanma oranına denk gelir.
Doğru cevap: B
Henderson-Hasselbalch denklemi: $pH = pK_a + \log(\frac{[A^-]}{[HA]})$. pKa = 4.76 olan asetik asit çözeltisinde [A⁻]/[HA] = 10 ise pH kaçtır?
Tampon çözeltiler için
Çözüm:
$pH = 4.76 + \log(10) = 4.76 + 1 = 5.76$
Not: [A⁻]/[HA] = 10 olması, çözeltinin daha bazik olduğunu gösterir.
Doğru cevap: B
Tsiolkovsky roket denklemi: $\Delta v = v_e \ln(\frac{m_0}{m_f})$. Başlangıç kütlesi son kütlenin 8 katı olan roketin hız değişimi, egzoz hızının kaç katıdır? ($\ln 2 = 0.693$)
m₀: başlangıç kütlesi, mf: son kütle
Çözüm:
$\Delta v = v_e \ln(8) = v_e \ln(2^3) = 3v_e \ln(2)$
$= 3 \times 0.693 \times v_e = 2.08 v_e$
Hız değişimi egzoz hızının 2.08 katıdır.
Doğru cevap: B
Hubble yasasına göre evrenin yaşı $t = \frac{1}{H_0}$'dır. $H_0 = 70$ km/s/Mpc ise evrenin yaşı yaklaşık kaç milyar yıldır? (1 Mpc = $3.09 \times 10^{19}$ km, 1 yıl = $3.15 \times 10^7$ s)
H₀: Hubble sabiti, evrenin yaşı hesabı
Çözüm:
$t = \frac{1}{H_0} = \frac{1 \text{ Mpc}}{70 \text{ km/s}} = \frac{3.09 \times 10^{19} \text{ km}}{70 \text{ km/s}}$
$= \frac{3.09 \times 10^{19}}{70} \text{ s} = 4.41 \times 10^{17} \text{ s}$
Yıla çevir: $\frac{4.41 \times 10^{17}}{3.15 \times 10^7} = 1.4 \times 10^{10}$ yıl = 14 milyar yıl
Doğru cevap: B