🔢 Logaritma Özellikleri - Kapsamlı Test 🧮

Çözüm:

Temel logaritma özelliğini kullanırız: $\log_a a^n = n$

$\log_5 5^7 = 7$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Temel logaritma özelliğini kullanırız: $a^{\log_a x} = x$

$4^{\log_4 9} = 9$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$27 = 3^3$ olduğunu biliyoruz.

$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_a a^n = n$ özelliğini kullanırız.

$\log_7 7^x = x = 5$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$a^{\log_a x} = x$ özelliğini kullanırız.

$e^{\ln 12} = 12$ (çünkü $\ln$ tabanı $e$'dir)

Doğru cevap: C

Çözüm:

Üs alma özelliğini kullanırız: $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$

$\log_2 16^3 = 3 \cdot \log_2 16$

$16 = 2^4$ olduğundan $\log_2 16 = 4$

$3 \cdot 4 = 12$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\sqrt{125} = 125^{1/2}$ ve $125 = 5^3$

$\log_5 \sqrt{125} = \log_5 (5^3)^{1/2} = \log_5 5^{3/2}$

$= \frac{3}{2}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$16 = 4^2$ olduğundan $\log_{16} 4 = \log_{4^2} 4$

Tabandaki üs özelliği: $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

$\log_{4^2} 4 = \frac{1}{2} \log_4 4 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

$\log_3 3^{-4} = -4$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$e^2 \cdot e^3 = e^{2+3} = e^5$

$\ln(e^5) = 5 \cdot \ln(e) = 5 \cdot 1 = 5$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$ ve $8 = 2^3$

$\log_{2^{1/2}} 2^3 = ?$

Tabandaki üs özelliği: $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$

$\log_{2^{1/2}} 2^3 = \frac{3}{1/2} \log_2 2 = 6 \cdot 1 = 6$

Doğru cevap: D

Çözüm:

İçten dışa doğru çözelim:

$\log(10^{10}) = 10 \cdot \log 10 = 10 \cdot 1 = 10$

$\log(\log(10^{10})) = \log 10 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$a^{\log_a x} = x$ özelliğini kullanırız:

$2^{\log_2 5} = 5$

$5^{\log_5 3} = 3$

$5 + 3 = 8$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Logaritma zincir kuralını kullanırız:

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$

$4 = 2^2$ olduğundan $\log_2 4 = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\sqrt[3]{27} = 27^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$

$\log_3 3 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$729 = 3^6$ ve $32 = 2^5$

$\log_2 3^6 \cdot \log_3 2^5 = 6 \log_2 3 \cdot 5 \log_3 2$

$= 30 \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$

$\log_a b \cdot \log_b a = 1$ özelliğinden:

$= 30 \cdot 1 = 30$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $8 = 2^3$

$\log_{2^2} 3 \cdot \log_{3^2} 2^3$

$= \frac{1}{2} \log_2 3 \cdot \frac{3}{2} \log_3 2$

$= \frac{3}{4} \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$

$= \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

İçten dışa doğru çözelim:

$\ln(e^{e^2}) = e^2 \cdot \ln(e) = e^2 \cdot 1 = e^2$

$\ln(\ln(e^{e^2})) = \ln(e^2) = 2 \cdot \ln(e) = 2 \cdot 1 = 2$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$125 = 5^3$ ve $32 = 2^5$

$\log_{5^3} 2^5 = \frac{1}{3} \log_5 2^5 = \frac{5}{3} \log_5 2 = \frac{5a}{3}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Logaritma zincir kuralını kullanırız:

$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d = \log_a d$

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8$

$8 = 2^3$ olduğundan $\log_2 8 = 3$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log_2 x = \log_4 y = \log_8 z = k$ diyelim.

$x = 2^k$, $y = 4^k = 2^{2k}$, $z = 8^k = 2^{3k}$

$xyz = 2^k \cdot 2^{2k} \cdot 2^{3k} = 2^{6k} = 8 = 2^3$

$6k = 3 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$

$x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$, $y = 2^1 = 2$, $z = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$

$x + y + z = \sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{2} = 2 + 3\sqrt{2} = 2 + 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{2} = \frac{14}{3}$

Doğru cevap: D

Çözüm:

$2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3$

$3^y = 4 \Rightarrow y = \log_3 4$

$4^z = 5 \Rightarrow z = \log_4 5$

$xyz = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5$

Zincir kuralından: $= \log_2 5$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Taban değiştirme formülünü kullanırız:

$\log_6 45 = \frac{\log_3 45}{\log_3 6}$

$45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$

$\log_3 45 = \log_3(3^2 \times 5) = 2 + \log_3 5 = 2 + a$

$6 = 2 \times 3$

$\log_3 6 = \log_3(2 \times 3) = \log_3 2 + 1 = b + 1$

$\log_6 45 = \frac{a + 2}{1 + b}$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log_{x^2} 27 = \frac{3}{4}$

$(x^2)^{3/4} = 27$

$x^{3/2} = 27 = 3^3$

$x^{3/2} = 3^3$

$x = 3^{3 \cdot 2/3} = 3^2 = 9$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Pay kısmı zincir kuralı ile:

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot ... \cdot \log_{63} 64 = \log_2 64$

$64 = 2^6$ olduğundan $\log_2 64 = 6$

Sonuç: $\frac{\log_2 64}{\log_2 64} = \frac{6}{6} = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$9 = 3^2$ olduğundan $\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$

$3^{\frac{1}{2} \log_3 x} = 5$

$3^{\log_3 x^{1/2}} = 5$

$x^{1/2} = 5$

$x = 25$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log_a b = x$ diyelim. O zaman $\log_b a = \frac{1}{x}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{5}{2}$

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$(2x - 1)(x - 2) = 0$

$x = \frac{1}{2}$ veya $x = 2$

Çarpımları: $\frac{1}{2} \times 2 = 1$

Doğru cevap: A

Çözüm:

$25 = 5^2$ ve $49 = 7^2$

$\log_{25} 49 = \log_{5^2} 7^2 = \frac{2}{2} \log_5 7 = \log_5 7$

$5^{\log_5 7 - \log_5 7} = 5^0 = 1$

Doğru cevap: A

Çözüm:

$\log_4(x+1) = \log_{2^2}(x+1) = \frac{1}{2}\log_2(x+1)$

$\log_2(x-1) + \frac{1}{2}\log_2(x+1) = 2$

$\log_2(x-1) + \log_2(x+1)^{1/2} = 2$

$\log_2[(x-1)\sqrt{x+1}] = 2$

$(x-1)\sqrt{x+1} = 4$

x = 3'ü deneyelim: $(2)\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$ ✓

Doğru cevap: B

Çözüm:

Taban değiştirme kullanarak her şeyi 2 tabanına çevirelim:

$\log_{14} 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 14}$

$15 = 3 \times 5$ ve $14 = 2 \times 7$

$\log_2 15 = \log_2 3 + \log_2 5 = p + \log_2 5$

$\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = pq$ (zincir kuralı)

$\log_2 15 = p + pq = p(1 + q)$

$\log_2 14 = \log_2 2 + \log_2 7 = 1 + \log_2 7$

$\log_2 7 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 7 = pqr$

$\log_2 14 = 1 + pqr$

$\log_{14} 15 = \frac{p(1 + q)}{1 + pqr} = \frac{1 + pq}{1 + pqr}$ (p ile sadeleşince)

Doğru cevap: B