🔄 Taban Değiştirme - Kapsamlı Test 🔀

Çözüm:

Bu soruyu iki farklı yolla çözebiliriz:

1. Yol (Değerleri Hesaplama): $\log_2 8 = 3$ (çünkü $2^3=8$) ve $\log_2 4 = 2$ (çünkü $2^2=4$).

Yerine koyarsak: $\frac{3}{2}$.

2. Yol (Taban Değiştirme Kuralı): $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$ kuralını uygularsak:

$\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2}\log_2 2 = \frac{3}{2}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Logaritmada taban ile sayının yeri değiştirildiğinde ifade çarpma işlemine göre tersi olur: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

Dolayısıyla $\log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}$.

İfade şöyle olur: $\log_3 5 \cdot \frac{1}{\log_3 5} = 1$.

Bu, $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ kuralının doğrudan bir uygulamasıdır.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Temel taban değiştirme kuralı olan $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ kullanılır.

Bu kurala göre taban (5) ile sayı (10) yer değiştirir:

$\frac{1}{\log_5 10} = \log_{10} 5$. (Taban 10 olduğunda genelde yazılmaz: $\log 5$)

Doğru cevap: B

Çözüm:

Logaritmanın temel özelliklerinden biri, taban ile sayının yer değiştirmesinin ifadenin çarpmaya göre tersini vermesidir.

$\log_y x = \frac{1}{\log_x y}$.

Madem $\log_2 3 = a$, o zaman $\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{a}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

İstenen ifadeyi, verilen bilginin tabanı olan 10 tabanına çevirelim.

Taban değiştirme formülü: $\log_2 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 2}$.

Biliyoruz ki $\log_{10} 10 = 1$ ve soruda $\log 2 \approx 0.301$ verilmiş.

Yerine koyarsak: $\frac{1}{0.301} \approx 3.322...$

Doğru cevap: C

Çözüm:

İstenen ifadeyi, verilen bilginin tabanı olan 2 tabanına çevirelim:

$\log_5 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 5}$.

Pay: $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$.

Payda: $\log_2 5 = a$ olarak verilmiş.

Sonuç: $\frac{3}{a}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Önce $\log_3 10$ ifadesini bulalım. Verilen bilgilerin tabanı 3 olduğu için bu daha kolaydır.

$\log_3 10 = \log_3 (2 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 5 = a + b$.

Bizden istenen ifade $\log_{10} 3$, bulduğumuz ifadenin çarpmaya göre tersidir.

$\log_{10} 3 = \frac{1}{\log_3 10} = \frac{1}{a+b}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

İstenen ifadeyi, verilen bilginin tabanı olan 4 tabanına çevirelim:

$\log_{20} 16 = \frac{\log_4 16}{\log_4 20}$.

Pay: $\log_4 16 = \log_4 4^2 = 2$.

Payda: $\log_4 20 = \log_4 (4 \cdot 5) = \log_4 4 + \log_4 5 = 1 + a$.

Sonuç: $\frac{2}{1+a}$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

İfadeyi 10 tabanına çevirelim: $\log_6 5 = \frac{\log 5}{\log 6}$.

Pay ve paydayı verilenler cinsinden bulalım:

$\log 5 = \log\left(\frac{10}{2}\right) = \log 10 - \log 2 = 1 - 0.301 = 0.699$.

$\log 6 = \log(2 \cdot 3) = \log 2 + \log 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778$.

Değerleri yerine yazalım: $\log_6 5 = \frac{0.699}{0.778} \approx 0.898$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Paydadaki ifadeyi 3 tabanına çevirelim: $9 = 3^2$ olduğundan,

$\log_9 7 = \log_{3^2} 7 = \frac{1}{2}\log_3 7$.

İfadeyi yeniden yazalım: $\frac{\log_3 7}{\frac{1}{2}\log_3 7}$.

$\log_3 7$ terimleri sadeleşir ve geriye $\frac{1}{1/2} = 2$ kalır.

Doğru cevap: B

Çözüm:

İstenen ifadeyi, verilenlerin ortak tabanı olan 2 tabanına çevirelim: $\log_{10} 6 = \frac{\log_2 6}{\log_2 10}$.

Pay: $\log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + a$.

Payda: $\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + \log_2 5$.

$\log_2 5$'i bulmak için zincir kuralını kullanalım: $\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b = ab$.

Payda böylece $1 + ab$ olur.

Sonuç: $\frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{1+a}{1+ab}$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

İstenen ifadeyi, verilenlerin tabanı olan 2 tabanına çevirelim: $\log_6 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 6}$.

Pay: $\log_2 15 = \log_2(3 \cdot 5) = \log_2 3 + \log_2 5 = a + b$.

Payda: $\log_2 6 = \log_2(2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + a$.

Sonuç: $\frac{a+b}{1+a}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Ortak çarpanlar 2 ve 3 olduğu için 2 tabanına çevirelim ve $\log_2 3 = x$ diyelim.

Verilen: $\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{\log_2(2 \cdot 3^2)}{\log_2(2^2 \cdot 3)} = \frac{1 + 2\log_2 3}{2 + \log_2 3} = \frac{1+2x}{2+x} = a$.

Bu denklemden $x$'i $a$ cinsinden çekelim: $1 + 2x = a(2+x) \implies 1+2x = 2a+ax \implies x(2-a) = 2a-1 \implies x = \frac{2a-1}{2-a}$.

İstenen: $\log_{18} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 18} = \frac{\log_2 2^4}{1+2x} = \frac{4}{1+2x}$.

$x$ değerini yerine yazalım: $\frac{4}{1+2\left(\frac{2a-1}{2-a}\right)} = \frac{4}{\frac{(2-a) + 2(2a-1)}{2-a}} = \frac{4(2-a)}{2-a+4a-2} = \frac{4(2-a)}{3a}$.

Doğru cevap: D

Çözüm:

Tüm logaritmaları 2 tabanına çevirelim: $\log_2 a + \frac{1}{2}\log_2 a + \frac{1}{3}\log_2 a = \frac{11}{3}$.

$\log_2 a$ parantezine alalım: $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3})\log_2 a = \frac{11}{3}$.

Parantez içini toplayalım: $(\frac{6+3+2}{6})\log_2 a = \frac{11}{6}\log_2 a = \frac{11}{3}$.

$\log_2 a = \frac{11}{3} \cdot \frac{6}{11} = 2$.

$\log_2 a = 2 \implies a = 2^2 = 4$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

İfadeyi 3 tabanına çevirelim: $\log_6 30 = \frac{\log_3 30}{\log_3 6}$.

Verilenler: $\log_3 5 = b$ ve $\log_2 3 = a \implies \log_3 2 = \frac{1}{a}$.

Pay: $\log_3 30 = \log_3(2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = \frac{1}{a} + 1 + b = \frac{1+a+ab}{a}$.

Payda: $\log_3 6 = \log_3(2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \frac{1}{a} + 1 = \frac{1+a}{a}$.

Sonuç: $\frac{(1+a+ab)/a}{(1+a)/a} = \frac{1+a+ab}{1+a}$.

Doğru cevap: D

Çözüm:

Zincir kuralını kullanarak: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.

$\log_2 7 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 7$

$= p \cdot q \cdot r = pqr$

Doğru cevap: B

Çözüm:

İfadeyi 10 tabanına çevirelim: $\log_{15} 12 = \frac{\log 12}{\log 15}$.

Pay: $\log 12 = \log(2^2 \cdot 3) = 2\log 2 + \log 3 = 2a + b$.

Payda: $\log 15 = \log(3 \cdot 5) = \log 3 + \log 5$.

$\log 5$'i bulmak için $\log 5 = \log(\frac{10}{2}) = \log 10 - \log 2 = 1 - a$ kuralını kullanırız.

Payda: $\log 15 = b + (1-a) = 1-a+b$.

Sonuç: $\frac{2a+b}{1-a+b}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bu soruyu iki yolla çözebiliriz.

1. Yol (Zincir Kuralı): Önce $\log_a c$ değerini bulalım.

$\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = 2 \cdot 3 = 6$.

Şimdi istenen ifadeyi düzenleyelim: $\log_{\sqrt{a}} c = \log_{a^{1/2}} c = \frac{1}{1/2} \log_a c = 2 \log_a c$.

Sonuç: $2 \cdot 6 = 12$.

2. Yol (Üslü İfadeye Çevirme):

$\log_a b = 2 \implies b = a^2$.

$\log_b c = 3 \implies c = b^3$. $b$ yerine $a^2$ yazarsak: $c = (a^2)^3 = a^6$.

İstenen ifade: $\log_{\sqrt{a}} c = \log_{a^{1/2}} a^6 = \frac{6}{1/2} \log_a a = 12 \cdot 1 = 12$.

Doğru cevap: D

Çözüm:

Denklemde değişken değiştirme yapalım. $\log_a b = x$ olsun. Bu durumda $\log_b a = \frac{1}{x}$ olur.

Denklemimiz şu hale gelir: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$.

Paydaları eşitleyip denklemi düzenlersek:

$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2(x^2 + 1) = 5x \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: $(2x - 1)(x - 2) = 0$.

Denklemin kökleri $x = \frac{1}{2}$ ve $x = 2$'dir.

Şimdi soruda verilen koşulları kullanarak doğru kökü bulmalıyız:

1. $a > 1$: Bu, $\log_a$ fonksiyonunun artan bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. Yani, logaritmanın içine yazılan büyük sayı, daha büyük bir sonuç verir.

2. $a > b$: Artan bir fonksiyonda bu koşulun logaritmasını alırsak eşitsizlik yön değiştirmez: $\log_a a > \log_a b$.

Biliyoruz ki $\log_a a = 1$. O halde $1 > \log_a b$ olmalıdır.

Yani aradığımız $x = \log_a b$ değeri 1'den küçük olmalıdır.

Bulduğumuz kökler ($2$ ve $\frac{1}{2}$) arasından 1'den küçük olanı $\frac{1}{2}$'dir.

Doğru cevap: A

Çözüm:

$\log 75$ ifadesini asal çarpanlarına ayırarak yazalım.

$\log 75 = \log(3 \cdot 25) = \log(3 \cdot 5^2)$.

Logaritma kurallarını uygulayalım: $\log 3 + \log 5^2 = \log 3 + 2\log 5 = b + 2\log 5$.

$\log 5$ değerini verilen $\log 2$ cinsinden bulmalıyız: $\log 5 = \log(\frac{10}{2}) = \log 10 - \log 2 = 1 - a$.

Bulduğumuz değeri yerine yazalım:

$b + 2(1-a) = b + 2 - 2a$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Verilen eşitliklerden her bir değişkeni $k$ cinsinden yazalım:

$\log_2 x = k \implies x = 2^k$

$\log_3 y = k \implies y = 3^k$

$\log_5 z = k \implies z = 5^k$

Bu ifadeleri $xyz = 1$ denkleminde yerine koyalım:

$2^k \cdot 3^k \cdot 5^k = 1$

$(2 \cdot 3 \cdot 5)^k = 1 \implies 30^k = 1$.

Bir sayının (1 hariç) 0. kuvveti 1'e eşittir. Dolayısıyla $k=0$ olmalıdır.

Doğru cevap: A

Çözüm:

$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ kuralını kullanarak her bir terimin tabanını değiştirelim:

$\log_n 2 + \log_n 3 + \log_n 4 = 1$.

Tabanlar aynı olduğu için toplama kuralını (logaritma içleri çarpılır) uygulayalım:

$\log_n(2 \cdot 3 \cdot 4) = 1 \implies \log_n 24 = 1$.

Logaritmanın tanımından, $n^1 = 24$, yani $n = 24$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Bu, logaritmanın zincir kuralı özdeşliğidir.

$pqr = \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a$.

Zincir kuralına göre aradaki terimler sadeleşir ve ifade $\log_a a$'ya eşit olur.

$\log_a a = 1$ olduğundan, $pqr=1$'dir. Bu, $a,b,c$ ne olursa olsun geçerli bir özdeşliktir.

Doğru cevap: B

Çözüm:

İfadeyi 2 tabanına çevirelim: $\log_{42} 56 = \frac{\log_2 56}{\log_2 42}$.

Önce zincir kuralıyla $\log_2 7$ değerini bulalım: $\log_2 7 = \log_2 3 \cdot \log_3 7 = a \cdot b = ab$.

Pay: $\log_2 56 = \log_2(8 \cdot 7) = \log_2(2^3 \cdot 7) = 3 + \log_2 7 = 3 + ab$.

Payda: $\log_2 42 = \log_2(2 \cdot 3 \cdot 7) = \log_2 2 + \log_2 3 + \log_2 7 = 1 + a + ab$.

Sonuç: $\frac{3+ab}{1+a+ab}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

İstenen ifadeyi, verilen bilgilerin tabanı olan 6 tabanına çevirelim: $\log_{25} 12 = \frac{\log_6 12}{\log_6 25}$.

Pay: $\log_6 12 = \log_6(2 \cdot 6)$ bu şekilde ayrılamaz. $12 = 2^2 \cdot 3$ şeklinde ayıralım.

Önce $\log_6 3$'ü bulalım: $\log_6 6 = 1 \implies \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3 = p + \log_6 3 = 1 \implies \log_6 3 = 1-p$.

Şimdi payı hesaplayalım: $\log_6 12 = \log_6(2^2 \cdot 3) = 2\log_6 2 + \log_6 3 = 2p + (1-p) = p+1$.

Payda: $\log_6 25 = \log_6(5^2) = 2\log_6 5 = 2q$.

Sonuç: $\frac{p+1}{2q}$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayalım:

$(\log x + \log y) + (\log x - \log y) = 3 + 1$.

$2\log x = 4 \implies \log x = 2$.

Bulduğumuz bu değeri denklemlerden birinde yerine yazalım. Örneğin, ilk denklemde:

$2 + \log y = 3 \implies \log y = 1$.

Şimdi istenen ifadeyi hesaplayalım: $\log_x y = \frac{\log y}{\log x} = \frac{1}{2}$.

Doğru cevap: A

Çözüm:

Zincir kuralını art arda uygulayarak:

$\log_2 11 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 11$.

$= p \cdot q \cdot r \cdot s = pqrs$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Zincir kuralını kullanarak ifadeleri çarpalım:

$ab = \log_4 5 \cdot \log_5 32 = \log_4 32$.

Bu ifadeyi hesaplamak için ortak bir taban (2 tabanı) kullanalım:

$\log_4 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 4} = \frac{5}{2}$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Logaritma içindeki iki ifadenin eşlenik olduğuna dikkat edelim. Çarpımlarını kontrol edelim:

$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Bu demektir ki $7-4\sqrt{3} = \frac{1}{7+4\sqrt{3}}$.

Şimdi istenen ifadenin logaritmasını alalım:

$\log(7-4\sqrt{3}) = \log\left(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}\right) = \log(7+4\sqrt{3})^{-1}$.

Logaritma kuralından üs başa gelir: $-1 \cdot \log(7+4\sqrt{3}) = -a$.

Doğru cevap: A

Çözüm:

Denklemin sağ tarafındaki $x$'i logaritmik olarak yazalım: $x = x \cdot \log_a a = \log_a a^x$.

Denklem şu hale gelir: $\log_a(a^x + 1) = \log_a a^x + \log_a 2$.

Sağ tarafı toplama kuralıyla birleştirelim: $\log_a(a^x + 1) = \log_a(2 \cdot a^x)$.

Tabanlar aynı olduğu için içleri eşitleyebiliriz: $a^x + 1 = 2 \cdot a^x$.

$1 = 2 \cdot a^x - a^x \implies 1 = a^x$.

$a > 1$ olduğundan, bu eşitliği sağlayan tek $x$ değeri $0$'dır.

Çözüm Kümesi: $\{0\}$.

Doğru cevap: A