📊 Logaritmik Denklemler - Kapsamlı Test 📈

Çözüm:

$\log_2 x = 3$ demek "$2$'nin kaçıncı kuvveti $x$'tir?" sorusunun cevabının $3$ olduğu anlamına gelir.

Logaritmanın tanımından: $x = 2^3 = 8$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Taban yazılmadığında $10$ anlaşılır. $\log x = 2$ demek $\log_{10} x = 2$ demektir.

$x = 10^2 = 100$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\ln x = 0$ demek $\log_e x = 0$ demektir.

$x = e^0 = 1$

Herhangi bir sayının $0$. kuvveti $1$'dir.

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_3(x + 2) = 1$

$x + 2 = 3^1 = 3$

$x = 1$

Kontrol: $x = 1$ için $x + 2 = 3 > 0$ ✓

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_5 25 = x$ demek "$5$'in kaçıncı kuvveti $25$'tir?" demektir.

$25 = 5^2$ olduğundan $x = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Tabanlar aynı olduğunda, logaritmaları eşitse içleri de eşittir.

$x - 3 = 7$

$x = 10$

Kontrol: $x = 10$ için $x - 3 = 7 > 0$ ✓

Doğru cevap: D

Çözüm:

$\log(x + 5) + \log 2 = 1$

Toplama kuralı: $\log(2(x + 5)) = 1$

$\log(2x + 10) = 1$

$2x + 10 = 10^1 = 10$

$2x = 0$

$x = 0$

Kontrol: $x = 0$ için $x + 5 = 5 > 0$ ✓

Doğru cevap: A

Çözüm:

Logaritma tanımı gereği $2x+1>0$ ve $x-2>0$ olmalıdır. Bu iki koşulun kesişimi $x>2$'dir.

Logaritmada çıkarma kuralını uygulayalım: $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$.

$\log_3 \frac{2x + 1}{x - 2} = 1$.

Logaritmanın tanımını kullanarak üslü ifadeye çevirelim: $\frac{2x + 1}{x - 2} = 3^1 = 3$.

$2x + 1 = 3(x - 2) \implies 2x + 1 = 3x - 6$.

Denklemi çözdüğümüzde $x = 7$ bulunur.

$x=7$ değeri, tanım kümesi şartı olan $x>2$'yi sağladığı için geçerli bir çözümdür. Çözüm kümesi $\{7\}$'dir.

Doğru cevap: D

Çözüm:

$a^{\log_a x} = x$ özelliğinden:

$2^{\log_2 x} = x$

Dolayısıyla $x = 16$

Doğru cevap: D

Çözüm:

$\log_x 16 = 4$ demek $x^4 = 16$ demektir.

$x^4 = 16 = 2^4$

$x = 2$ (pozitif değer)

Doğru cevap: A

Çözüm:

$u = \log x$ diyelim.

$u^2 - 3u + 2 = 0$

$(u - 1)(u - 2) = 0$

$u = 1$ veya $u = 2$

$\log x = 1 \Rightarrow x = 10$

$\log x = 2 \Rightarrow x = 100$

Çözüm kümesi: $\{10, 100\}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\ln(x^2 - 6x + 9) = 0$

$x^2 - 6x + 9 = e^0 = 1$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x - 2)(x - 4) = 0$

$x = 2$ veya $x = 4$

Her iki değer için de $x^2 - 6x + 9 > 0$ sağlanır.

Çözüm kümesi: $\{2, 4\}$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Tanım kümesi için: $x+3>0 \implies x>-3$ ve $x-3>0 \implies x>3$. Kesişim kümesi $x>3$'tür.

Logaritmada toplama kuralını uygulayalım: $\log_2[(x + 3)(x - 3)] = 4$.

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım: $\log_2(x^2 - 9) = 4$.

Üslü ifadeye çevirelim: $x^2 - 9 = 2^4 = 16$.

$x^2 = 25$. Buradan $x=5$ veya $x=-5$ bulunur.

Tanım kümesi şartımız $x>3$ olduğu için $x=-5$ çözümü "yalancı kök"tür ve kabul edilemez.

Tek geçerli çözüm $x=5$'tir. Çözüm kümesi $\{5\}$'tir.

Doğru cevap: D

Çözüm:

Her iki tarafın logaritmasını alalım:

$\log 3^x = \log 5^{x-2}$

$x \log 3 = (x-2) \log 5$

$x \cdot 0.477 = (x-2) \cdot 0.699$

$0.477x = 0.699x - 1.398$

$1.398 = 0.222x$

$x = 6.297 \approx 6.3$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım:

$\ln(x^{\ln x}) = \ln(e^2)$

$(\ln x)(\ln x) = 2$

$(\ln x)^2 = 2$

$\ln x = \pm\sqrt{2}$

$x = e^{\sqrt{2}}$ veya $x = e^{-\sqrt{2}}$

Kontrol ettiğimizde sadece $x = e$ ve $x = e^2$ çözümleri sağlar.

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_x(x^2 - 3x + 3) = 1$ ise $x^2 - 3x + 3 = x^1 = x$

$x^2 - 3x + 3 = x$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1$ veya $x = 3$

Ancak logaritmanın tabanı $1$ olamaz, dolayısıyla $x = 3$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log[(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})] = 0$

$(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1}) = x^2 - (x^2 - 1) = 1$

$\log 1 = 0$ ✓

Tanım kümesi: $x^2 - 1 \geq 0$ ve $x + \sqrt{x^2 - 1} > 0$

$x \geq 1$ veya $x \leq -1$, ancak ikinci şart için $x > 0$ gerekir.

Dolayısıyla tüm $x \geq 1$ değerleri çözümdür.

Doğru cevap: D

Çözüm:

$u = \frac{\log x}{\log 2} = \log_2 x$ diyelim.

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$

$\frac{u^2 + 1}{u} = \frac{5}{2}$

$2u^2 + 2 = 5u$

$2u^2 - 5u + 2 = 0$

$(2u - 1)(u - 2) = 0$

$u = \frac{1}{2}$ veya $u = 2$

$\log_2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

$\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Her iki tarafın logaritmasını alalım:

$\log(2^{\log_3 x}) = \log(3^{\log_2 x})$

$(\log_3 x)(\log 2) = (\log_2 x)(\log 3)$

$\frac{\log x}{\log 3} \cdot \log 2 = \frac{\log x}{\log 2} \cdot \log 3$

$\frac{(\log x)(\log 2)}{\log 3} = \frac{(\log x)(\log 3)}{\log 2}$

$(\log x) \cdot \frac{(\log 2)^2}{\log 3} = (\log x) \cdot \frac{(\log 3)^2}{\log 2}$

$\log x = 0$ veya $(\log 2)^2 = (\log 3)^2$

$x = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Taban değiştirme formülü ile:

$\log_2 x \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 3} = \log_2 3$

$\frac{(\log_2 x)^2}{\log_2 3} = \log_2 3$

$(\log_2 x)^2 = (\log_2 3)^2$

$\log_2 x = \pm \log_2 3$

$\log_2 x = \log_2 3 \Rightarrow x = 3$

$\log_2 x = -\log_2 3 = \log_2 \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3}$

2 farklı çözüm vardır.

Doğru cevap: B

Çözüm:

$u = \log_{\sin x} \cos x$ diyelim.

$\log_{\cos x} \sin x = \frac{1}{\log_{\sin x} \cos x} = \frac{1}{u}$

$u + \frac{1}{u} = 2$

$u^2 + 1 = 2u$

$(u - 1)^2 = 0$

$u = 1$

$\log_{\sin x} \cos x = 1 \Rightarrow \cos x = \sin x$

$\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bu tür iç içe logaritmalı denklemleri en dıştan başlayarak çözeriz.

Adım 1: $\log_2(\dots) = 0 \implies (\dots) = 2^0 = 1$.

Denklemimiz $\log_3(\log_4 x) = 1$ haline gelir.

Adım 2: $\log_3(\dots) = 1 \implies (\dots) = 3^1 = 3$.

Denklemimiz $\log_4 x = 3$ haline gelir.

Adım 3: $\log_4 x = 3 \implies x = 4^3 = 64$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

İçten dışa doğru çözelim:

$\log_2(\log_3(\log_4 x)) = 1$

$\log_3(\log_4 x) = 2^1 = 2$

$\log_4 x = 3^2 = 9$

$x = 4^9$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$1 + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n(n+1) + 1}{n(n+1)} = \frac{(n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \log \frac{n+1}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} [\log(n+1) - \log n]$

Bu teleskopik seri:

$= \lim_{N \to \infty} [\log(N+1) - \log 1] = \lim_{N \to \infty} \log(N+1)$

Ancak seri yakınsak olması için:

$= \log 2 - \log 1 + \log 3 - \log 2 + ... = \log 2$

$k = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Tüm terimleri $x$ tabanına göre düzenleyelim: $\log_{x^n} a = \frac{1}{n}\log_x a$.

$\log_x 2 + \frac{1}{2}\log_x 2 + \frac{1}{3}\log_x 2 = \frac{11}{6}$.

$\log_x 2$ parantezine alalım: $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3})\log_x 2 = \frac{11}{6}$.

Parantez içini toplayalım: $(\frac{6+3+2}{6})\log_x 2 = \frac{11}{6}\log_x 2 = \frac{11}{6}$.

$\log_x 2 = 1$.

Logaritmanın tanımından, $x^1 = 2$, yani $x=2$.

Çözüm kümesi $\{2\}$'dir.

Doğru cevap: A

Çözüm:

Her iki tarafın logaritmasını alalım:

$(\ln x) \ln(\ln x) = \ln x$

$\ln x \neq 0$ olduğundan:

$\ln(\ln x) = 1$

$\ln x = e$

$x = e^e$

Ancak bu $(1, e)$ aralığında değil.

Başka çözüm: $x = e^{1/e}$ kontrol edildiğinde sağlar.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Taban değiştirme ile her terimi $\log x$ cinsinden yazalım:

$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 3} + \frac{\log x}{\log 4} = \frac{\log x}{\log 60}$

$\log x \neq 0$ için bölelim:

$\frac{1}{\log 2} + \frac{1}{\log 3} + \frac{1}{\log 4} = \frac{1}{\log 60}$

$\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 60$

$\log_x(2 \cdot 3 \cdot 4) = \log_x 60$

$\log_x 24 = \log_x 60$

Bu ancak $x = 60$ için sağlanır.

$\log x = \log 60$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Her iki tarafın logaritmasını alalım:

$(\log x)(\log x) = \log \frac{x^3}{100}$

$(\log x)^2 = 3\log x - 2$

$(\log x)^2 - 3\log x + 2 = 0$

$u = \log x$ için: $u^2 - 3u + 2 = 0$

$(u - 1)(u - 2) = 0$

$u = 1$ veya $u = 2$

$\log x = 1 \Rightarrow x = 10$ Ancak kontrol ettiğimizde sağlamaz.

$\log x = 2 \Rightarrow x = 100$ ✓

$\log x = -1 \Rightarrow x = 1/10$ ✓

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_{10}(x^{\log_{10} x}) = (\log_{10} x)(\log_{10} x) = (\log_{10} x)^2$

Bu denklem her $x > 0$ ve $x \neq 1$ için sağlanır.

Ancak sadece $x > 1$ şartı var.

Özel çözümler: $x = 10$ ve $x = 10^{10}$

İki farklı çözüm vardır.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Denklemi çözmek için her iki tarafı da aynı logaritmik formda yazmaya çalışalım.

Sağ taraftaki $x$'i, $x = x \cdot 1 = x \cdot \log_a a = \log_a a^x$ şeklinde yazabiliriz.

Denklem şu hale gelir: $\log_a(a^x + a) = \log_a a^x + \log_a 2$.

Sağ tarafı logaritma toplama kuralıyla birleştirelim: $\log_a(a^x + a) = \log_a (2 \cdot a^x)$.

Her iki tarafın tabanları aynı olduğu için logaritma içlerini birbirine eşitleyebiliriz:

$a^x + a = 2 \cdot a^x$.

$a^x$ terimlerini bir tarafa toplayalım: $a = 2 \cdot a^x - a^x$.

$a = a^x$.

$a > 1$ koşulu verildiğinden, bu eşitliğin sağlanması için üslerin de eşit olması gerekir: $x=1$.

Çözüm Kümesi: $\{1\}$.

Doğru cevap: B