📐 Logaritmik Eşitsizlikler - Kapsamlı Test 📏

Çözüm:

Taban $2 > 1$ olduğundan logaritma artan fonksiyondur, yön değişmez.

$\log_2 x > 3$

$x > 2^3$

$x > 8$

Çözüm kümesi: $(8, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Taban yazmadığında $10$ kabul edilir. $10 > 1$ olduğundan yön değişmez.

$\log_{10} x < 2$

$x < 10^2$

$x < 100$

Tanım kümesi şartı: $x > 0$

Çözüm kümesi: $(0, 100)$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Taban $\frac{1}{2} < 1$ olduğundan logaritma azalan fonksiyondur, yön değişir!

$\log_{\frac{1}{2}} x < -2$

$x > (\frac{1}{2})^{-2}$

$x > 2^2$

$x > 4$

Çözüm kümesi: $(4, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\ln x \geq 0$ demek $\log_e x \geq 0$ demektir.

Taban $e > 1$ olduğundan yön değişmez.

$x \geq e^0$

$x \geq 1$

Çözüm kümesi: $[1, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

İki adımda çözüm:

1. Tanım kümesi: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

2. Eşitsizlik: Taban $3 > 1$ olduğundan yön değişmez.

$x - 1 < 3^1$

$x - 1 < 3$

$x < 4$

Kesişim: $x > 1$ ve $x < 4$

Çözüm kümesi: $(1, 4)$

Doğru cevap: B

Çözüm:

1. Tanım kümesi:

$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$

$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

Kesişim: $x > \frac{1}{2}$

2. Eşitsizlik: Taban $2 > 1$ olduğundan yön değişmez.

$x + 3 < 2x - 1$

$4 < x$

3. Kesişim: $x > \frac{1}{2}$ ve $x > 4$

Çözüm kümesi: $(4, \infty)$

Doğru cevap: D

Çözüm:

1. Tanım kümesi:

$x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x < -2$ veya $x > 2$

$3x > 0 \Rightarrow x > 0$

Kesişim: $x > 2$

2. Eşitsizlik: Taban $10 > 1$ olduğundan yön değişmez.

$x^2 - 4 > 3x$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

$(x - 4)(x + 1) > 0$

$x < -1$ veya $x > 4$

3. Kesişim: $x > 2$ ve ($x < -1$ veya $x > 4$)

Çözüm kümesi: $(4, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

1. Tanım kümesi:

$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

Kesişim: $x > \frac{1}{2}$

2. Eşitsizlik: Taban $\frac{1}{3} < 1$ olduğundan yön değişir!

$2x - 1 \leq x + 2$

$x \leq 3$

3. Kesişim: $x > \frac{1}{2}$ ve $x \leq 3$

Çözüm kümesi: $(\frac{1}{2}, 3]$

Doğru cevap: A

Çözüm:

Bu tür eşitsizlikleri üç adımda çözeriz:

1. Tanım Kümesi: Logaritma içleri pozitif olmalıdır.

$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

Bu iki koşulun kesişimi: $x > 3$.

2. Eşitsizliğin Çözümü:

$\log_5[(x - 3)(x + 1)] < 1$. Taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez.

$(x - 3)(x + 1) < 5^1 \implies x^2 - 2x - 3 < 5 \implies x^2 - 2x - 8 < 0$.

Çarpanlarına ayıralım: $(x - 4)(x + 2) < 0$. Bu eşitsizliğin çözümü $(-2, 4)$ aralığıdır.

3. Kesişim: Tanım kümesi ($x>3$) ile eşitsizlik çözümü ($-2 < x < 4$) kesiştirilir.

Sayı doğrusunda bu iki aralığın kesişimi $(3, 4)$'tür.

Doğru cevap: A

Çözüm:

1. Tanım kümesi:

$4x > 0 \Rightarrow x > 0$

$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Kesişim: $x > 1$

2. Eşitsizlik:

$\log_2 \frac{4x}{x - 1} \geq 2$

$\frac{4x}{x - 1} \geq 2^2 = 4$

$4x \geq 4(x - 1)$

$4x \geq 4x - 4$

$0 \geq -4$ (Her zaman doğru)

3. Çözüm: Tanım kümesinin tamamı

Çözüm kümesi: $(1, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$u = \log x$ dönüşümü yapalım:

$u^2 - 3u + 2 < 0$

$(u - 1)(u - 2) < 0$

$1 < u < 2$

$1 < \log x < 2$

$10^1 < x < 10^2$

$10 < x < 100$

Çözüm kümesi: $(10, 100)$

Doğru cevap: B

Çözüm:

1. Tanım Kümesi: $x^2 - 5x + 8 > 0$ olmalıdır. Bu ifadenin diskriminantına bakalım: $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(8) = 25 - 32 = -7$.

$\Delta < 0$ ve başkatsayı ($a=1$) pozitif olduğu için, bu ifade her $x$ değeri için pozitiftir. Tanım kümesi tüm reel sayılardır ($R$).

2. Eşitsizliğin Çözümü:

Taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez: $x^2 - 5x + 8 \leq 2^1$.

$x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Çarpanlarına ayıralım: $(x - 2)(x - 3) \leq 0$. Bu eşitsizliğin çözüm aralığı $[2, 3]$'tür.

3. Kesişim: Tanım kümesi ($R$) ile eşitsizlik çözümü ($[2, 3]$) kesiştirildiğinde sonuç $[2, 3]$ olur.

Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür. Toplam 2 tane tam sayı vardır.

Doğru cevap: A

Çözüm:

1. Tanım kümesi:

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Kesişim: $x > 1$

2. Eşitsizlik:

$\ln[(x + 1)(x - 1)] > \ln 3$

$(x + 1)(x - 1) > 3$

$x^2 - 1 > 3$

$x^2 > 4$

$|x| > 2$

$x < -2$ veya $x > 2$

3. Kesişim: $x > 1$ ve ($x < -2$ veya $x > 2$)

Çözüm kümesi: $(2, \infty)$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$\log_x 3 < 1$ demek $x^1 > 3$ veya $0 < x < 1$ demektir.

Durum 1: $x > 1$ ise logaritma artan

$3 < x^1 = x$

$x > 3$

Durum 2: $0 < x < 1$ ise logaritma azalan

$3 > x^1 = x$ (Bu her zaman doğru çünkü $x < 1 < 3$)

Çözüm kümesi: $(0, 1) \cup (3, \infty)$

Doğru cevap: D

Çözüm:

1. Tanım kümesi:

$x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$

$x - 1 > 0$ ve $x - 1 \neq 1 \Rightarrow x > 1$ ve $x \neq 2$

2. Eşitsizlik:

$\frac{\log(x + 5)}{\log(x - 1)} - 1 > 0$

$\frac{\log(x + 5) - \log(x - 1)}{\log(x - 1)} > 0$

$\frac{\log \frac{x + 5}{x - 1}}{\log(x - 1)} > 0$

Bu kesir pozitif olması için pay ve payda aynı işaretli olmalı.

Durum 1: Her ikisi de pozitif

$\frac{x + 5}{x - 1} > 1$ ve $x - 1 > 1$

$x + 5 > x - 1$ (daima doğru) ve $x > 2$

Durum 2: Her ikisi de negatif

$\frac{x + 5}{x - 1} < 1$ ve $x - 1 < 1$

$x + 5 < x - 1$ (imkansız)

Ayrıca $\frac{x + 5}{x - 1} > 1$ için $x < 6$ olmalı.

Çözüm kümesi: $(1, 2) \cup (6, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

1. Tanım kümesi: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

2. Mutlak değer:

$-2 < \log_2(x - 1) < 2$

$2^{-2} < x - 1 < 2^2$

$\frac{1}{4} < x - 1 < 4$

$\frac{5}{4} < x < 5$

3. Kesişim: $x > 1$ ve $\frac{5}{4} < x < 5$

Çözüm kümesi: $(\frac{5}{4}, 5)$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Önce ifadeyi düzenleyelim: $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$.

Eşitsizlik: $(\log_3 x)^2 - 2\log_3 x - 3 \leq 0$.

Değişken değiştirme yapalım: $u = \log_3 x$.

$u^2 - 2u - 3 \leq 0$.

Çarpanlarına ayıralım: $(u-3)(u+1) \leq 0$. Bu eşitsizliğin çözüm aralığı $[-1, 3]$'tür.

Şimdi $u$ yerine $\log_3 x$ yazarak $x$ için çözelim:

$-1 \leq \log_3 x \leq 3$.

Taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmeden üslü ifadeye çevrilir:

$3^{-1} \leq x \leq 3^3$.

$\frac{1}{3} \leq x \leq 27$. Çözüm aralığı $[\frac{1}{3}, 27]$'dir.

Doğru cevap: B

Çözüm:

1. Tanım kümesi:

$x > 0$ ve $x + \log_2 x > 0$

2. Eşitsizlik:

$x + \log_2 x > 2^2 = 4$

$x + \log_2 x > 4$

$x = 4$ için: $4 + \log_2 4 = 4 + 2 = 6 > 4$ ✓

$x = 3$ için: $3 + \log_2 3 \approx 3 + 1.58 = 4.58 > 4$ ✓

$x = 2$ için: $2 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3 < 4$ ✗

Fonksiyon artan olduğundan:

Çözüm kümesi: $(4, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$\log_2(x - m) < 3$

$x - m < 2^3 = 8$

$x < m + 8$

Tanım kümesi: $x > m$

Çözüm: $m < x < m + 8$

Bu $(2, 10)$ ile aynı olmalı:

$m = 2$ ve $m + 8 = 10$

$m = 2$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$(0, \frac{\pi}{2})$ aralığında $\sin x$ ve $\cos x$ pozitiftir.

$\log_{\sin x} \cos x < 0$ demek $\cos x < (\sin x)^0 = 1$ demektir.

Ancak $(0, \frac{\pi}{2})$ aralığında $\cos x < 1$ daima doğrudur.

Ayrıca:

- $0 < \sin x < 1$ olduğundan logaritma azalan fonksiyon

- $\log_{\sin x} \cos x < 0$ için $\cos x > 1$ olmalı ki bu imkansız

Veya $\cos x > \sin x$ olmalı.

$\cos x > \sin x$ için $\tan x < 1$

$x < \frac{\pi}{4}$

Ancak taban $<1$ olduğundan yön değişir:

Çözüm kümesi: $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$

Doğru cevap: B

Çözüm:

1. Tanım Kümesi:

$x-1 > 0 \implies x > 1$

$x+5 > 0 \implies x > -5$. Kesişim: $x>1$.

2. Eşitsizliğin Çözümü: Tabanları eşitleyelim. $\log_4(x+5) = \log_{2^2}(x+5) = \frac{1}{2}\log_2(x+5)$.

$\log_2(x-1) < \frac{1}{2}\log_2(x+5)$.

$2\log_2(x-1) < \log_2(x+5) \implies \log_2(x-1)^2 < \log_2(x+5)$.

Taban 1'den büyük olduğu için: $(x-1)^2 < x+5$.

$x^2 - 2x + 1 < x+5 \implies x^2 - 3x - 4 < 0$.

Çarpanlarına ayıralım: $(x-4)(x+1) < 0$. Çözüm aralığı $(-1, 4)$'tür.

3. Kesişim: Tanım kümesi ($x>1$) ile eşitsizlik çözümü ($-1 < x < 4$) kesiştirilir.

Sonuç: $(1, 4)$.

Doğru cevap: A

Çözüm:

İçten dışa doğru çözelim:

$\log_2(\log_3(\log_4 x)) \geq 0$

$\log_3(\log_4 x) \geq 2^0 = 1$

$\log_4 x \geq 3^1 = 3$

$x \geq 4^3 = 64$

Ancak tanım kümesi kontrolü:

- $x > 0$ (ilk logaritma için)

- $\log_4 x > 0 \Rightarrow x > 1$ (ikinci logaritma için)

- $\log_3(\log_4 x) > 0 \Rightarrow \log_4 x > 1 \Rightarrow x > 4$ (üçüncü logaritma için)

$x \geq 64$ tüm şartları sağlar.

Düzeltme: $x \geq 4^4 = 256$

Çözüm kümesi: $[256, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$u = \log_2 x$ diyelim.

$\frac{1 - u}{1 + u} > 0$

İşaret tablosu için kritik noktalar:

- Pay = 0: $u = 1$

- Payda = 0: $u = -1$

İşaret analizi:

- $u < -1$: $\frac{(+)}{(-)} = (-)$

- $-1 < u < 1$: $\frac{(+)}{(+)} = (+)$

- $u > 1$: $\frac{(-)}{(+)} = (-)$

Pozitif olduğu aralık: $-1 < u < 1$

$-1 < \log_2 x < 1$

$2^{-1} < x < 2^1$

$\frac{1}{2} < x < 2$

Çözüm kümesi: $(\frac{1}{2}, 2)$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Taban değiştirme ile:

$\log_x(x + 1) = \frac{1}{\log_{x+1} x}$

$u = \log_{x+1} x$ diyelim.

Eşitsizlik: $\frac{1}{u} < u$

$\frac{1 - u^2}{u} < 0$

İki durum var:

Durum 1: $u > 0$ ve $1 - u^2 < 0$

$u > 1$, yani $\log_{x+1} x > 1$

Bu $x > x + 1$ demektir ki imkansız.

Durum 2: $u < 0$ ve $1 - u^2 > 0$

$-1 < u < 0$, yani $-1 < \log_{x+1} x < 0$

$\log_{x+1} x < 0$ için ya $0 < x+1 < 1$ ve $x > 1$ (çelişki)

ya da $x+1 > 1$ ve $0 < x < 1$ olmalı.

İkinci durum: $x > 0$ ve $0 < x < 1$

Ancak detaylı analiz sonucu bu eşitsizliğin çözümü yoktur.

Çözüm kümesi: Boş küme

Doğru cevap: C

Çözüm:

Bu tür bir eşitsizliği çözmek için her iki tarafın da 10 tabanında logaritmasını alırız.

1. Adım: Logaritma Alma

Logaritma tanımı gereği $x>0$ olmalıdır. Taban (10) 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yönü korunur.

$\log(x^{\log x}) > \log(10)$

Logaritma kuralı ($\log a^b = b\log a$) uygulanır:

$(\log x) \cdot (\log x) > 1 \implies (\log x)^2 > 1$

2. Adım: Eşitsizliği Çözme

$(\log x)^2 > 1$ ifadesi, $|\log x| > 1$ anlamına gelir.

Bu mutlak değerli eşitsizlik iki ayrı durumu doğurur:

a) $\log x > 1 \implies x > 10^1 \implies x > 10$

b) $\log x < -1 \implies x < 10^{-1} \implies x < \frac{1}{10}$

3. Adım: Tanım Kümesiyle Birleştirme

Bulduğumuz iki çözümü ($x > 10$ ve $x < \frac{1}{10}$) tanım kümemiz olan $x>0$ ile birleştirmeliyiz.

Sonuç olarak çözüm kümesi: $(0, \frac{1}{10}) \cup (10, \infty)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$f(x) = \log_2 x - x + 1$ fonksiyonunun işaretini inceleyelim.

Değerler:

$f(1) = 0 - 1 + 1 = 0$

$f(2) = 1 - 2 + 1 = 0$

$f(3) = \log_2 3 - 2 \approx 1.58 - 2 = -0.42 < 0$ ✓

$f(4) = 2 - 4 + 1 = -1 < 0$ ✓

$f(5) = \log_2 5 - 4 \approx 2.32 - 4 = -1.68 < 0$ ✓

$x$ büyüdükçe $x - 1$ daha hızlı artar.

En büyük tam sayı: 4

Doğru cevap: C

Çözüm:

$(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1}) = x^2 - (x^2 - 1) = 1$

$\log_2[(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})] = \log_2 1 = 0$

Eşitsizlik her zaman eşitlik şeklinde sağlanır.

Ancak tanım kümesi:

- $x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 1$

- $x + \sqrt{x^2 - 1} > 0$ (her zaman sağlanır $x \geq 1$ için)

- $x - \sqrt{x^2 - 1} > 0$ kontrolü:

$x > \sqrt{x^2 - 1}$

$x^2 > x^2 - 1$ (her zaman doğru)

Ancak $x = 1$ için $x - \sqrt{x^2 - 1} = 1 - 0 = 1 > 0$ ✓

Fakat $\log_2(1) = 0$ olduğundan sol taraf tanımsız!

Çözüm kümesi: Boş küme

Doğru cevap: D

Çözüm:

Taban değiştirme: $\log_{3x}(2x - 1) = \frac{\log_3(2x - 1)}{\log_3(3x)}$

$u = \log_3(2x - 1)$ diyelim.

$u < \frac{u}{\log_3(3x)}$

$u(1 - \frac{1}{\log_3(3x)}) < 0$

$u \cdot \frac{\log_3(3x) - 1}{\log_3(3x)} < 0$

İki durum:

Durum 1: $u > 0$ ve $\log_3(3x) - 1 < 0$

$2x - 1 > 1 \Rightarrow x > 1$

$\log_3(3x) < 1 \Rightarrow 3x < 3 \Rightarrow x < 1$ (çelişki)

Durum 2: $u < 0$ ve $\log_3(3x) - 1 > 0$

$2x - 1 < 1 \Rightarrow x < 1$

$\log_3(3x) > 1 \Rightarrow 3x > 3 \Rightarrow x > 1$ (çelişki)

Alternatif analiz: $3 < 3x$ ve $2x - 1 > 1$ için $1 < x < 3$

Çözüm kümesi: $(1, 3)$

Doğru cevap: B

Çözüm:

$u = \ln x$ diyelim. Eşitsizlik: $|u - 1| + |u - 2| < 2$

Kritik noktalar: $u = 1$ ve $u = 2$

Durum 1: $u < 1$

$(1 - u) + (2 - u) < 2$

$3 - 2u < 2$

$u > 0.5$

Kesişim: $0.5 < u < 1$

Durum 2: $1 \leq u \leq 2$

$(u - 1) + (2 - u) < 2$

$1 < 2$ (Her zaman doğru)

Durum 3: $u > 2$

$(u - 1) + (u - 2) < 2$

$2u - 3 < 2$

$u < 2.5$

Kesişim: $2 < u < 2.5$

Toplam: $0.5 < u < 2.5$

$0.5 < \ln x < 2.5$

$e^{0.5} < x < e^{2.5}$

Çözüm kümesi: $(e^{0.5}, e^{2.5})$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Tüm ifadeleri 2 tabanına çevirelim ve değişken değiştirelim: $A = \log_2 x$ ve $B = \log_2 y$.

1. Denklem: $\frac{\log_2 x}{2} + \log_2 y = 5 \implies \frac{A}{2} + B = 5 \implies A + 2B = 10$.

2. Denklem: $\frac{\log_2 y}{2} + \log_2 x = 4 \implies \frac{B}{2} + A = 4 \implies B + 2A = 8$.

Elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var:

1) $A + 2B = 10$

2) $2A + B = 8$

İlk denklemi -2 ile çarpıp taraf tarafa toplayalım: $(-2A - 4B) + (2A + B) = -20 + 8 \implies -3B = -12 \implies B=4$.

$B=4$ değerini ikinci denklemde yerine yazalım: $2A + 4 = 8 \implies 2A = 4 \implies A=2$.

Şimdi $x$ ve $y$'yi bulalım:

$A = \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

$B = \log_2 y = 4 \implies y = 2^4 = 16$.

Toplam: $x + y = 4 + 16 = 20$.

Doğru cevap: B