Etkileşimli Mantık Dersi

Önerme

Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s gibi harflerle gösterilir.

Önemli: Bir önermenin doğruluğuna ya da yanlışlığına o önermenin doğruluk değeri denir. Doğru önermeler 1 veya D ile, yanlış önermeler 0 veya Y ile gösterilir.

Önerme Örnekleri

Önerme Olan İfadeler:

"Bir hafta 7 gündür." (Doğru - 1)
"En küçük asal sayı 1'dir." (Yanlış - 0)
"Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." (Doğru - 1)
"$2^3 = 8$" (Doğru - 1)
"$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$" (Yanlış - 0)

Önerme Olmayan İfadeler:

"Başarılarının devamını dilerim." (Dilek)
"Bu akşam ne yapıyorsun?" (Soru)
"Pencereyi kapat!" (Emir)
"Ne güzel bir gün!" (Ünlem)

Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile elde edilen yeni önermeye bu önermenin değili (olumsuzu) denir. p önermesinin değili p' veya $\neg p$ sembolüyle gösterilir.

Değil Alma Tablosu

p	p'	(p')'
1	0	1
0	1	0

Özellikler:

$(p')' \equiv p$ (Çift değil alma)
$(1)' \equiv 0$
$(0)' \equiv 1$

Denk Önermeler

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. p önermesi q önermesine denk ise $p \equiv q$ şeklinde gösterilir.

Örnek:

p: "2 + 2 = 4" (Doğru - 1)

q: "En küçük pozitif tam sayı 1'dir." (Doğru - 1)

p ve q önermeleri denktir: $p \equiv q$

Pekiştirme Soruları: Önerme

Bileşik Önermeler

İki ya da daha fazla önermenin "ve", "veya", "ya da", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasından oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir.

Bağlaçlar ve Sembolleri:

Ve bağlacı: $\wedge$
Veya bağlacı: $\vee$
Ya da bağlacı: $\oplus$
İse bağlacı: $\Rightarrow$
Ancak ve ancak: $\Leftrightarrow$

Bileşik Önerme Örnekleri

Örnek 1:

p: "Bugün yağmur yağıyor."

q: "Hava soğuk."

Bileşik önermeler:

$p \wedge q$: "Bugün yağmur yağıyor ve hava soğuk."
$p \vee q$: "Bugün yağmur yağıyor veya hava soğuk."
$p \Rightarrow q$: "Bugün yağmur yağıyorsa hava soğuktur."

Pekiştirme Soruları: Bileşik Önermeler

Ve Bağlacı ($\wedge$) ve Veya Bağlacı ($\vee$)

Ve Bağlacı ($\wedge$)

p ve q bileşik önermesi $p \wedge q$ şeklinde gösterilir. Bu önerme, bileşenlerinin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Ve Bağlacı Doğruluk Tablosu

p	q	$p \wedge q$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Özellikler:

$p \wedge 0 \equiv 0$
$p \wedge 1 \equiv p$
$p \wedge p \equiv p$
$p \wedge p' \equiv 0$
$p \wedge q \equiv q \wedge p$ (Değişme özelliği)

Veya Bağlacı ($\vee$)

p veya q bileşik önermesi $p \vee q$ şeklinde gösterilir. Bu önerme, bileşenlerinden en az biri doğru iken doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

Veya Bağlacı Doğruluk Tablosu

p	q	$p \vee q$
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Özellikler:

$p \vee 0 \equiv p$
$p \vee 1 \equiv 1$
$p \vee p \equiv p$
$p \vee p' \equiv 1$
$p \vee q \equiv q \vee p$ (Değişme özelliği)

De Morgan Kuralı

De Morgan Kuralı:

$(p \vee q)' \equiv p' \wedge q'$
$(p \wedge q)' \equiv p' \vee q'$

Dağılma Özelliği

Dağılma Kuralları:

$p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
$p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)$

Pekiştirme Soruları: Ve/Veya Bağlaçları

Ya Da Bağlacı ($\oplus$)

p ya da q önermesi $p \oplus q$ şeklinde gösterilir. Ya da bağlacı ile bağlanmış önermenin oluşturduğu bileşik önerme, bileşenlerden sadece biri doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Ya Da Bağlacı Doğruluk Tablosu

p	q	$p \oplus q$
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Özellikler:

$p \oplus 0 \equiv p$
$p \oplus 1 \equiv p'$
$p \oplus p \equiv 0$
$p \oplus p' \equiv 1$
$p \oplus q \equiv q \oplus p$ (Değişme özelliği)

Örnek:

"Ya kahve içerim ya da çay içerim" ifadesi, hem kahve hem çay içildiğinde yanlış, sadece biri içildiğinde doğrudur.

Pekiştirme Soruları: Ya Da Bağlacı

İse Bağlacı ($\Rightarrow$) - Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin ise bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önerme $p \Rightarrow q$ şeklinde yazılır ve "p ise q" diye okunur.

$p \Rightarrow q$ önermesi, p doğru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olarak tanımlanır.

İse Bağlacı Doğruluk Tablosu

p	q	$p \Rightarrow q$
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Özellikler:

$p \Rightarrow 1 \equiv 1$
$1 \Rightarrow p \equiv p$
$p \Rightarrow 0 \equiv p'$
$0 \Rightarrow p \equiv 1$
$p \Rightarrow p \equiv 1$
$p \Rightarrow p' \equiv p'$
$p \Rightarrow q \equiv p' \vee q$

Karşıt, Ters ve Karşıt Ters

$p \Rightarrow q$ önermesi için:

Karşıtı: $q \Rightarrow p$
Tersi: $p' \Rightarrow q'$
Karşıt Tersi: $q' \Rightarrow p'$

Önemli: Bir önerme ile karşıt tersi birbirine denktir!

Pekiştirme Soruları: İse Bağlacı

Ancak ve Ancak Bağlacı ($\Leftrightarrow$) - İki Yönlü Koşullu Önerme

p ve q iki önerme olmak üzere, $(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$ önermesine iki yönlü koşullu önerme denir. $p \Leftrightarrow q$ şeklinde yazılır ve "p ancak ve ancak q" diye okunur.

$p \Leftrightarrow q$ önermesi, p ile q önermelerinin doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır.

Ancak ve Ancak Bağlacı Doğruluk Tablosu

p	q	$p \Leftrightarrow q$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Özellikler:

$p \Leftrightarrow 1 \equiv p$
$p \Leftrightarrow 0 \equiv p'$
$p \Leftrightarrow p \equiv 1$
$p \Leftrightarrow p' \equiv 0$
$p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$
$p \Leftrightarrow q \equiv q \Leftrightarrow p$ (Değişme özelliği)

Açık Önerme

İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenebilen ifadelere açık önerme denir.

Örnekler:

p(x): "x > 5" (x = 7 için doğru, x = 3 için yanlış)
q(x,y): "x + y = 10" (x = 3, y = 7 için doğru)

Niceleyiciler

Her ($\forall$): Evrensel niceleyici - "Her x için p(x) doğrudur" → $\forall x, p(x)$
Bazı ($\exists$): Varlıksal niceleyici - "En az bir x için p(x) doğrudur" → $\exists x, p(x)$

Açık Önermenin Değili:

$\exists x, p(x)$ açık önermesinin değili: $\forall x, p'(x)$
$\forall x, p(x)$ açık önermesinin değili: $\exists x, p'(x)$

Pekiştirme Soruları: Ancak ve Ancak / Açık Önerme

Etkileşimli Mantık Analizi

İki önermenin doğruluk değerlerini girerek, tüm bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplayabilirsiniz.

p değeri: q değeri:

Lütfen p ve q değerlerini seçip butona basın.

Nasıl Çalışıyor? Seçtiğiniz p ve q değerleri için aşağıdaki hesaplamalar yapılır:

Değil ('): Önermenin tersi alınır (1→0, 0→1)
Ve ($\wedge$): Her ikisi de doğru ise doğru
Veya ($\vee$): En az biri doğru ise doğru
Ya da ($\oplus$): Sadece biri doğru ise doğru
İse ($\Rightarrow$): İlki doğru, ikincisi yanlış değilse doğru
Ancak ve ancak ($\Leftrightarrow$): İkisi aynı değere sahipse doğru

Genel Test

Aşağıdaki sorular, mantık konusundaki genel anlayışınızı test etmek için derlenmiştir.

1. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir?

$3 + 5 = 8$ Ankara Türkiye'nin başkentidir. Güzel bir gün! $\pi < 4$

2. p = 0 ve q = 1 ise $(p' \wedge q) \vee p$ değeri nedir?

0 1 p q

3. $(p \vee q)'$ ifadesi neye denktir?

$p' \vee q'$ $p' \wedge q'$ $p \wedge q$ $p \vee q'$

4. $p \oplus q$ önermesi doğru olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$p \wedge q$ $p \vee q$ $p \Leftrightarrow q'$ $p' \wedge q'$

5. $(p \Rightarrow q) \wedge p$ önermesi yanlış ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

p = 1, q = 1 p = 1, q = 0 p = 0 p ve q belirsiz

6. "$\exists x \in \mathbb{N}, x^2 = 4$" açık önermesinin doğruluk değeri nedir?

Doğru Yanlış Belirsiz Önerme değil

7. p, q ve r önermeleri için $(p \Rightarrow q) \vee r$ önermesi yanlış ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$p \wedge q$ $p \vee r$ $q \Rightarrow r$ $p \oplus r$

8. $p \Leftrightarrow (p \vee q)$ ifadesi neye denktir?

$p$ $q$ $p \vee q'$ $p' \wedge q$

9. a ve b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere, $(a > 0 \wedge b < 0) \Rightarrow (a \cdot b < 0)$ önermesinin doğruluk değeri nedir?

Daima doğru Daima yanlış a ve b'ye bağlı Belirsiz

10. "$\forall x \in \mathbb{R}, x < x^2$" açık önermesinin değili nedir?

$\forall x \in \mathbb{R}, x \geq x^2$ $\exists x \in \mathbb{R}, x \geq x^2$ $\exists x \in \mathbb{R}, x < x^2$ $\forall x \in \mathbb{R}, x > x^2$