🎯 Saymanın Temel Kuralları ve Permütasyon 🎯

Toplama Yoluyla Sayma

Ayrık iki işlemden birinci işlem a farklı şekilde, ikinci işlem b farklı şekilde gerçekleşiyorsa, birinci veya ikinci işlem a + b farklı şekilde gerçekleşir.

Önemli: Toplama kuralı, birbirine alternatif olan (aynı anda yapılamayan) durumlar için kullanılır. "VEYA" bağlacı toplama kuralının göstergesidir.

Örnek 1:

Bir kitaplıkta 5 roman ve 3 hikaye kitabı vardır. Bir kitap seçmek isteyen Ahmet, 1 roman veya 1 hikaye kitabını kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm: Roman seçme: 5 farklı şekilde
Hikaye seçme: 3 farklı şekilde
Toplam: 5 + 3 = 8 farklı şekilde

Örnek 2:

Ankara'dan İstanbul'a 4 farklı otobüs firması, 3 farklı uçak seferi vardır. Bir kişi Ankara'dan İstanbul'a kaç farklı şekilde gidebilir?

Çözüm: Otobüsle gitme: 4 farklı şekilde
Uçakla gitme: 3 farklı şekilde
Toplam: 4 + 3 = 7 farklı şekilde

Gerçek Yaşam Örneği - Restoran Menüsü:

Bir restoranda öğle menüsünde:

  • 4 çeşit pizza
  • 3 çeşit hamburger
  • 2 çeşit salata

Sadece bir ana yemek seçecek müşteri toplam 4 + 3 + 2 = 9 farklı seçenek arasından seçim yapabilir.

Pekiştirme Soruları

1. Bir mağazada 6 farklı gömlek ve 4 farklı kazak var. Ali bir gömlek veya bir kazak almak istiyor. Kaç farklı seçim yapabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

Gömlek seçme: 6 farklı şekilde

Kazak seçme: 4 farklı şekilde

Toplam: 6 + 4 = 10 farklı seçim

3. Bir pizzacıda 8 farklı malzeme var. En az 2, en fazla 4 malzemeli pizza siparişi verilebiliyor. Bir müşteri malzemelerin sırası önemli olmak üzere (önce konan altta kalır) kaç farklı pizza siparişi verebilir?

Çözüm:

Doğru cevap: D

2 malzemeli: P(8,2) = 8 × 7 = 56

3 malzemeli: P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336

4 malzemeli: P(8,4) = 8 × 7 × 6 × 5 = 1.680

Toplam: 56 + 336 + 1.680 = 2.072

En yakın seçenek: 2.632

4. Bir otelde 5 tek kişilik ve 3 çift kişilik oda var. 8 kişilik bir grup, her odada en fazla kapasitesi kadar kişi kalacak şekilde yerleşecek. Kaç farklı yerleşim yapılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

5 tek + 3 çift = 5 + 6 = 11 kişi kapasiteli, 8 kişi yerleşecek

2 tek kişilik, 3 çift kişilik oda dolu olacak

8 kişiden 2'sini tek kişilik odalara: P(8,2) = 56

Kalan 6 kişiyi çift kişilik odalara: 6!/2!×2!×2! = 720/8 = 90

Tek kişilik odaları seçme: C(5,2) = 10

Toplam yaklaşık: 2.520

5. Bir şifreleme sisteminde 3 harf ve 3 rakam kullanılıyor. Şifre şu kurallara göre oluşturulacak: İlk ve son karakter harf olmalı, hiçbir harf veya rakam tekrar etmemeli. Kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: D

H _ _ _ _ H formatında (H: harf)

İlk harf: 26 seçenek

Son harf: 25 seçenek

Kalan 1 harf için: 24 seçenek

3 rakam için: P(10,3) = 720

Ortadaki 4 pozisyonu doldurma: 4! = 24

Toplam: 26 × 25 × 24 × 720 × 24/(4!) = 2.246.400

Etkileşimli Sayma ve Permütasyon Hesaplayıcı

Aşağıdaki araçları kullanarak çeşitli sayma problemlerini çözebilirsiniz.

Permütasyon Hesaplayıcı

Tekrarlı Permütasyon

Sonuçlar burada görünecek...

Kullanım Örnekleri:

  • Yarışma sıralaması: 10 kişiden ilk 3'ü seçmek için P(10,3)
  • Kelime oluşturma: MATEMATIK kelimesinin farklı dizilişleri
  • Plaka hesaplama: Farklı plaka kombinasyonları

Genel Test

Saymanın temel kuralları ve permütasyon konularını kapsayan 15 soruluk bu testi çözerek kendinizi sınayın!

1. Bir kitaplıkta 7 farklı roman ve 5 farklı hikaye kitabı var. Bir öğrenci 1 roman veya 1 hikaye kitabı seçecek. Kaç farklı seçim yapabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

Toplama kuralı: 7 + 5 = 12

2. Bir öğrencinin 4 farklı pantolonu ve 6 farklı tişörtü var. Bir pantolon ve bir tişört giyerek kaç farklı kıyafet kombinasyonu oluşturabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

Çarpma kuralı: 4 × 6 = 24

3. P(7, 3) değeri kaçtır?

Çözüm:

Doğru cevap: C

P(7, 3) = 7 × 6 × 5 = 210

4. ADANA kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 5 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: A

ADANA: A(3), D(1), N(1)

5! / 3! = 120 / 6 = 20

5. Bir sınıftan 3 kişilik bir komisyon kurulacak. Başkan, sekreter ve üye seçilecek. 20 kişilik sınıfta bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

P(20, 3) = 20 × 19 × 18 = 6.840

6. 5 farklı renkte bayrak yan yana direğe asılacak. Kırmızı bayrak başta veya sonda olmak şartıyla kaç farklı şekilde asılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

Kırmızı başta: 1 × 4! = 24

Kırmızı sonda: 1 × 4! = 24

Toplam: 24 + 24 = 48

7. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

Çift sayı: son rakam 0, 2 veya 4

Son rakam 0: İlk rakam 4 seçenek, ikinci 3 seçenek → 4 × 3 = 12

Son rakam 2 veya 4: İlk rakam 3 seçenek (0 olamaz), ikinci 3 seçenek → 2 × 3 × 3 = 18

Toplam: 12 + 18 = 30

8. Bir toplantıda 6 kişi tokalaşacak. Herkes birbiriyle bir kez tokalaşırsa toplam kaç tokalaşma olur?

Çözüm:

Doğru cevap: B

C(6, 2) = 6 × 5 / 2 = 15

Not: Bu aslında kombinasyon sorusudur.

9. 3 matematik, 2 fizik ve 2 kimya kitabı bir rafa dizilecek. Aynı branştan kitaplar yan yana olmak şartıyla kaç farklı diziliş yapılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: D

Matematik: 3! = 6, Fizik: 2! = 2, Kimya: 2! = 2

Grupların sırası: 3! = 6

Toplam: 6 × 2 × 2 × 6 = 72

10. PERMÜTASYON kelimesindeki harflerden kaç tanesi farklıdır?

Çözüm:

Doğru cevap: D

PERMÜTASYON: P-E-R-M-Ü-T-A-S-Y-O-N

Tüm harfler farklı, toplam 11 harf.

11. Bir yarışmada 12 yarışmacıdan ilk 4'ü finale kalacak ve finalde sıralanacak. Bu durum kaç farklı şekilde gerçekleşebilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

P(12, 4) = 12 × 11 × 10 × 9 = 11.880

12. 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 beyaz top düz bir sıra halinde kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

6! / (3! × 2! × 1!) = 720 / (6 × 2 × 1) = 60

13. Bir şifre sistemi 4 karakterden oluşuyor. İlk iki karakter harf (tekrar edebilir), son iki karakter farklı rakamlar olmalı. Kaç farklı şifre oluşturulabilir? (26 harf var)

Çözüm:

Doğru cevap: B

Harfler: 26 × 26 = 676

Rakamlar: P(10, 2) = 10 × 9 = 90

Toplam: 676 × 90 = 60.840

14. Bir futbol takımında 3 kaleci, 8 defans, 7 orta saha ve 4 forvet oyuncusu var. 1 kaleci, 4 defans, 4 orta saha ve 2 forvet olmak üzere 11 kişilik takım kaç farklı şekilde kurulabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

C(3,1) × C(8,4) × C(7,4) × C(4,2)

= 3 × 70 × 35 × 6 = 44.100

Not: Burada kombinasyon kullanılır. En yakın seçenek B.

15. Bir öğrenci 10 soruluk çoktan seçmeli sınavda (her soru 5 seçenekli) art arda gelen 3 sorunun cevabının farklı olmasını istiyor. İlk 3 soruyu bu kurala göre kaç farklı şekilde cevaplayabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

1. soru: 5 seçenek

2. soru: 4 seçenek (1. sorudan farklı)

3. soru: 3 seçenek (1. ve 2. sorudan farklı)

Toplam: 5 × 4 × 3 = 60

Test Sonucunuz

0/15

Çarpma Yoluyla Sayma

İki işlemden birinci işlem a farklı şekilde ve ikinci işlem birinci işleme bağlı olarak b farklı şekilde gerçekleşiyorsa, birinci ve ikinci işlem a × b farklı şekilde gerçekleşir.

Önemli: Çarpma kuralı, ardışık yapılan veya aynı anda gerçekleşen durumlar için kullanılır. "VE" bağlacı çarpma kuralının göstergesidir.

Örnek 1:

Ali'nin 3 farklı gömleği ve 4 farklı pantolonu var. Ali bir gömlek ve bir pantolon giyerek kaç farklı kıyafet kombinasyonu oluşturabilir?

Çözüm: Gömlek seçme: 3 farklı şekilde
Pantolon seçme: 4 farklı şekilde
Toplam: 3 × 4 = 12 farklı kombinasyon

Örnek 2:

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol vardır. A'dan C'ye B üzerinden kaç farklı yoldan gidilebilir?

Çözüm: A'dan B'ye: 3 farklı yol
B'den C'ye: 4 farklı yol
Toplam: 3 × 4 = 12 farklı yol

Gerçek Yaşam Örneği - Menü Seçimi:

Bir restoranda set menü hazırlanıyor:

Her gruptan birer tane seçilerek: 3 × 5 × 4 = 60 farklı menü oluşturulabilir.

Çarpma kuralını kullanırken, her aşamadaki seçim sayısını belirleyin ve bunları çarpın. Aşamalar birbirine bağlıysa (ardışık seçimler) çarpma kuralı kullanılır.

Pekiştirme Soruları

1. Bir lokantada 4 çeşit çorba, 6 çeşit ana yemek ve 3 çeşit tatlı var. Her gruptan birer tane seçilerek kaç farklı menü oluşturulabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: D

Çorba: 4 çeşit, Ana yemek: 6 çeşit, Tatlı: 3 çeşit

Toplam menü sayısı: 4 × 6 × 3 = 72

2. Rakamları farklı 3 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

Yüzler basamağı: 1-9 arası (0 olamaz) → 9 seçenek

Onlar basamağı: Yüzler hariç 0-9 arası → 9 seçenek

Birler basamağı: Kullanılan 2 rakam hariç → 8 seçenek

Toplam: 9 × 9 × 8 = 648

3. 12 kişilik bir sınıfta bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

Başkan seçimi: 12 kişiden biri → 12 seçenek

Başkan yardımcısı: Kalan 11 kişiden biri → 11 seçenek

Toplam: 12 × 11 = 132

4. Bir şifre 2 harf ve 3 rakamdan oluşacaktır. Önce harfler sonra rakamlar yazılacak şekilde, tekrar kullanmadan kaç farklı şifre oluşturulabilir? (Türk alfabesinde 29 harf vardır)

Çözüm:

Doğru cevap: D

1. harf: 29 seçenek

2. harf: 28 seçenek (tekrar yok)

1. rakam: 10 seçenek

2. rakam: 9 seçenek

3. rakam: 8 seçenek

Toplam: 29 × 28 × 10 × 9 × 8 = 604.800

5. Bir futbol maçının sonucu berabere olmadığına göre, 5 maçlık bir serinin sonuçları kaç farklı şekilde olabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

Her maç için 2 sonuç var (Takım A kazanır veya Takım B kazanır)

5 maç için: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32 farklı sonuç

Permütasyon

n tane elemanın r'li sıralanışına n'nin r'li permütasyonu denir ve P(n,r) ile gösterilir.

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$
Özel Durumlar:

Örnek 1:

10 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir?

Çözüm: P(10, 3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 × 9 × 8 = 720

Örnek 2:

5 farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm: P(5, 5) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Gerçek Yaşam Örneği - Yarışma Sıralaması:

Bir yetenek yarışmasında 15 yarışmacı var. Finale kalacak ilk 3 kişi sırayla sahneye çıkacak.

P(15, 3) = 15 × 14 × 13 = 2.730 farklı şekilde finale kalma ve sıralama olabilir.

Pekiştirme Soruları

1. P(6, 2) değeri kaçtır?

Çözüm:

Doğru cevap: C

P(6, 2) = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6 × 5 = 30

2. 4 farklı Matematik ve 3 farklı Türkçe kitabı olan Aslı, bu kitapları bir rafa aynı branştan olanlar yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizebilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

Matematik kitapları kendi arasında: 4! = 24

Türkçe kitapları kendi arasında: 3! = 6

İki grup yer değiştirebilir: 2! = 2

Toplam: 4! × 3! × 2! = 24 × 6 × 2 = 288

3. Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yan yana fotoğraf çektirecektir. Anne ve baba yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilirler?

Çözüm:

Doğru cevap: C

Anne ve babayı tek bir birim olarak düşünelim.

4 birim (anne-baba, 3 çocuk) dizilişi: 4! = 24

Anne ve baba kendi aralarında: 2! = 2

Toplam: 4! × 2! = 24 × 2 = 48

4. ANKARA kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 6 harfli anlamlı veya anlamsız kaç kelime yazılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

ANKARA kelimesinde 3 tane A, diğer harfler farklı.

Tekrarlı permütasyon: 6! / 3! = 720 / 6 = 120

5. 8 kişilik bir grupta A ve B isimli iki arkadaş vardır. Bu 8 kişi düz bir sıra halinde A ile B'nin arasında en az 2 kişi olacak şekilde kaç farklı biçimde sıralanabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

Toplam diziliş: 8! = 40.320

A ve B yan yana: 7! × 2! = 5.040 × 2 = 10.080

A ve B arasında 1 kişi: 6 × 6! × 2! = 6 × 720 × 2 = 8.640

Kabul edilmeyen: 10.080 + 8.640 = 18.720

İstenen: 40.320 - 18.720 = 21.600

(En yakın seçenek C: 20.160)

Tekrarlı Permütasyon

n tane elemanın n₁ tanesi aynı, n₂ tanesi aynı, ..., nᵣ tanesi aynı iken (n₁ + n₂ + ... + nᵣ = n) bu elemanların farklı sıralanış sayısı:

$$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_r!}$$

Örnek 1:

ISTANBUL kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm: I-S-T-A-N-B-U-L → 8 harf

Tekrar eden harf yok, hepsi farklı.

8! = 40.320 farklı kelime

Örnek 2:

TESTERE kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm: T-E-S-T-E-R-E → 7 harf

T: 2 tane, E: 3 tane, S: 1 tane, R: 1 tane

7! / (2! × 3!) = 5040 / (2 × 6) = 5040 / 12 = 420

Gerçek Yaşam Örneği - Bayrak Dizilimi:

Bir törende 3 kırmızı, 2 beyaz ve 1 mavi bayrak yan yana dizilecektir.

Farklı diziliş sayısı: 6! / (3! × 2! × 1!) = 720 / (6 × 2 × 1) = 60

Pekiştirme Soruları

1. ANTALYA kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

ANTALYA: A-N-T-A-L-Y-A

A: 3 tane, diğerleri birer tane

7! / 3! = 5040 / 6 = 840

2. "112233" sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: D

1: 2 tane, 2: 2 tane, 3: 2 tane

6! / (2! × 2! × 2!) = 720 / (2 × 2 × 2) = 720 / 8 = 90

3. 2 fizik, 3 kimya ve 4 biyoloji kitabı bir rafa dizilecektir. Aynı branştaki kitaplar özdeştir. Kimya kitapları yan yana olmak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

3 kimya kitabını tek blok olarak düşünelim.

2 fizik + 1 kimya bloğu + 4 biyoloji = 7 birim

7! / (2! × 4!) = 5040 / (2 × 24) = 5040 / 48 = 105

4. MATEMATIK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek M harfi ile başlayan kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

MATEMATIK: M(2), A(2), T(2), E(1), İ(1), K(1)

M ile başlasın, geriye: M(1), A(2), T(2), E(1), İ(1), K(1)

8! / (2! × 2!) = 40320 / 4 = 10080

M harfi 2 tane olduğu için yarısı M ile başlar: 10080 / 3 ≈ 3360

5. 3 kırmızı, 2 beyaz ve 2 mavi top düz bir sıra halinde dizilecektir. İki uçta farklı renkte toplar bulunmak şartıyla kaç farklı diziliş yapılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

Toplam diziliş: 7! / (3! × 2! × 2!) = 5040 / 24 = 210

İki uçta aynı renk olanlar:

- İki uçta kırmızı: 5! / (1! × 2! × 2!) = 120 / 4 = 30

- İki uçta beyaz veya mavi olamaz (sadece 2'şer tane var)

İstenen: 210 - 30 = 180

Problem Çözümü

Sayma kuralları ve permütasyon konularını birleştiren gerçek yaşam problemlerini inceleyelim.

Problem 1: Telefon Numarası

Bir ülkede telefon numaraları 10 haneden oluşuyor. İlk hane 0 olamaz ve son iki hane aynı olmalıdır. Kaç farklı telefon numarası oluşturulabilir?

Çözüm:

İlk hane: 1-9 arası → 9 seçenek

2-8. haneler: Her biri 0-9 arası → 10⁷ seçenek

Son iki hane aynı: 0-9 arası → 10 seçenek

Toplam: 9 × 10⁷ × 10 = 9 × 10⁸ = 900.000.000

Problem 2: Takım Seçimi

Bir voleybol takımında 12 oyuncu var. Sahaya 6 oyuncu çıkacak ve bunlardan biri kaptan olacak. Kaç farklı şekilde takım sahaya çıkabilir?

Çözüm:

Önce kaptan seç: 12 seçenek

Sonra diğer 5 oyuncuyu seç: C(11,5) = 462

Toplam: 12 × 462 = 5.544

Not: Burada kombinasyon kullanıyoruz çünkü oyuncuların sahada sırası önemli değil.

Gerçek Yaşam Örneği - Plaka Sistemi:

Türkiye'de araç plakaları il kodu + harf + sayı şeklindedir.

Örnek: 34 ABC 123

İstanbul için (34 kodu sabit):

Pekiştirme Soruları

1. Bir şirketin güvenlik kodu 2 büyük harf ve 4 rakamdan oluşuyor. Harfler başta, rakamlar sonda ve hiçbiri tekrar etmeyecek şekilde kaç farklı kod oluşturulabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: C

Harfler: P(26,2) = 26 × 25 = 650

Rakamlar: P(10,4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040

Toplam: 650 × 5.040 = 3.276.000

2. Bir sınıfta 15 öğrenci var. Sınıf başkanı, başkan yardımcısı ve yazman seçilecek. Aynı kişi birden fazla göreve seçilemez. Ayşe mutlaka seçilecekse, kaç farklı şekilde seçim yapılabilir?

Çözüm:

Doğru cevap: B

Ayşe başkan: Diğer 2 görev için P(14,2) = 14 × 13 = 182

Ayşe yardımcı: Diğer 2 görev için P(14,2) = 14 × 13 = 182

Ayşe yazman: Diğer 2 görev için P(14,2) = 14 × 13 = 182

Toplam: 3 × 182 = 546