Trigonometride toplam ve fark formülleri, iki açının toplamı veya farkının trigonometrik değerlerini, bu açıların ayrı ayrı trigonometrik değerleri cinsinden ifade etmemizi sağlar. Bu formüller, karmaşık açıların hesaplanmasında ve trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesinde kritik öneme sahiptir.
Temel Toplam ve Fark Formülleri:
İşaret Kuralı:
Sinüs formülünde işaretler aynı kalır (toplam→toplam, fark→fark)
Kosinüs formülünde işaretler değişir (toplam→fark, fark→toplam)
Tanjant formülünde payda işareti ters döner
Birim çember üzerinde α açısından sonra β açısı kadar daha döndüğümüzde:
Örnek: sin 75° = ?
75° = 45° + 30° olarak yazabiliriz:
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30°
= (√2/2) · (√3/2) + (√2/2) · (1/2)
= (√6 + √2)/4
İki farklı frekanstaki ses dalgası birleştiğinde, toplam ve fark formülleri ortaya çıkan yeni dalganın özelliklerini belirler. Müzik aletlerinin akort edilmesinde ve ses mühendisliğinde bu formüller kullanılır. Örneğin, 440 Hz (La notası) ve 444 Hz frekansları birleştiğinde oluşan "vuruş" (beat) frekansı bu formüllerle hesaplanır.
1. sin 75° değeri nedir?
Doğru cevap: B
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30°
= $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
= $\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
2. cos 15° değeri nedir?
Doğru cevap: A
cos 15° = cos(45° - 30°)
= cos 45° · cos 30° + sin 45° · sin 30°
= $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
= $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
3. cos 28° · cos 32° - sin 28° · sin 32° = ?
Doğru cevap: B
cos α · cos β - sin α · sin β = cos(α + β) formülünden:
cos 28° · cos 32° - sin 28° · sin 32° = cos(28° + 32°)
= cos 60° = $\frac{1}{2}$
4. $\frac{\tan 15° + \tan 30°}{1 - \tan 15° \cdot \tan 30°}$ = ?
Doğru cevap: B
Tanjant toplam formülünden:
$\frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β} = \tan(α + β)$
$\frac{\tan 15° + \tan 30°}{1 - \tan 15° \cdot \tan 30°} = \tan(15° + 30°) = \tan 45° = 1$
5. sin α = 3/5 ve cos β = 5/13 ise sin(α + β) nin alabileceği en büyük değer nedir? (α ve β dar açılar)
Doğru cevap: B
α dar açı ve sin α = 3/5 ise cos α = 4/5
β dar açı ve cos β = 5/13 ise sin β = 12/13
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= (3/5)(5/13) + (4/5)(12/13)
= 15/65 + 48/65 = 63/65
6. cos 15° + √3 · sin 15° = ?
Doğru cevap: B
cos 15° + √3 · sin 15° = 2(1/2 · cos 15° + √3/2 · sin 15°)
= 2(cos 60° · cos 15° + sin 60° · sin 15°)
= 2 · cos(60° - 15°) = 2 · cos 45°
= 2 · √2/2 = √2
7. $\frac{\sqrt{3} \cos 35° + \sin 35°}{\cos 5°}$ = ?
Doğru cevap: B
Pay: √3 cos 35° + sin 35° = 2(√3/2 · cos 35° + 1/2 · sin 35°)
= 2(cos 30° · cos 35° + sin 30° · sin 35°)
= 2 · cos(30° - 35°) = 2 · cos(-5°) = 2 · cos 5°
İfade = 2 cos 5° / cos 5° = 2
8. tan α + tan β = x² - 1 ve tan α · tan β = x olduğuna göre tan(α + β) = ?
Doğru cevap: D
tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α · tan β)
= (x² - 1)/(1 - x)
= (x - 1)(x + 1)/(1 - x)
= -(x - 1)(x + 1)/(x - 1)
= -(x + 1) = -x - 1
9. ABC üçgeninde sin A = 4/5 ve cos B = 5/13 ise cos C = ?
Doğru cevap: B
Üçgende A + B + C = 180° → C = 180° - (A + B)
cos C = cos(180° - (A + B)) = -cos(A + B)
sin A = 4/5 ise cos A = 3/5 (dar açı)
cos B = 5/13 ise sin B = 12/13 (dar açı)
cos(A + B) = cos A · cos B - sin A · sin B
= (3/5)(5/13) - (4/5)(12/13) = 15/65 - 48/65 = -33/65
cos C = -(-33/65) = 33/65
10. $\sin(\arcsin \frac{12}{13} + \arctan \frac{3}{4})$ = ?
Doğru cevap: B
α = arcsin(12/13) ise sin α = 12/13, cos α = 5/13
β = arctan(3/4) ise tan β = 3/4
3-4-5 üçgeninden: sin β = 3/5, cos β = 4/5
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= (12/13)(4/5) + (5/13)(3/5)
= 48/65 + 15/65 = 63/65
İki kat açı formülleri (yarım açı formülleri olarak da bilinir), bir açının iki katının trigonometrik değerlerini, o açının trigonometrik değerleri cinsinden ifade eder. Bu formüller özellikle integral hesaplarında, diferansiyel denklemlerde ve fizik problemlerinde sıkça kullanılır.
Temel İki Kat Açı Formülleri:
Yarım Açı Formülleri:
sin²α = (1 - cos 2α)/2
cos²α = (1 + cos 2α)/2
tan α = sin 2α / (1 + cos 2α) = (1 - cos 2α) / sin 2α
sin 2α = 2 sin α · cos α formülünden:
sin α · cos α = sin 2α / 2
sin 10° · cos 10° = sin 20° / 2
Fizikde eğik atış problemlerinde, maksimum menzil formülü R = v²sin(2α)/g şeklindedir. Burada α atış açısı, v ilk hız ve g yerçekimi ivmesidir. İki kat açı formülü sayesinde, 45° açıyla atıldığında (sin 90° = 1) maksimum menzile ulaşılacağı kolayca görülür.
1. sin 20° · cos 20° değeri nedir?
Doğru cevap: A
sin 2α = 2 sin α · cos α formülünden:
sin α · cos α = sin 2α / 2
sin 20° · cos 20° = sin 40° / 2
2. cos 2x = 7/25 ise sin²x · cos²x = ?
Doğru cevap: C
sin²2x + cos²2x = 1
sin²2x = 1 - (7/25)² = 1 - 49/625 = 576/625
sin 2x = ±24/25
sin²x · cos²x = (sin x · cos x)² = (sin 2x / 2)²
= (24/25)² / 4 = 576/625 / 4 = 144/625
3. tan 2x = 3 ise cot x - tan x = ?
Doğru cevap: B
cot x - tan x = cos x/sin x - sin x/cos x
= (cos²x - sin²x)/(sin x · cos x)
= cos 2x / (sin 2x/2) = 2 cos 2x / sin 2x
= 2 cot 2x = 2/tan 2x = 2/3
4. $\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}$ + 1 = ?
Doğru cevap: C
$\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = \tan^2 x$
$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$
5. x = 75° için tan x + cot x = ?
Doğru cevap: B
tan x + cot x = sin x/cos x + cos x/sin x
= (sin²x + cos²x)/(sin x · cos x) = 1/(sin x · cos x)
= 2/sin 2x = 2/sin 150° = 2/(1/2) = 4
6. $\tan(2\arccos \frac{4}{5})$ = ?
Doğru cevap: B
α = arccos(4/5) ise cos α = 4/5, sin α = 3/5
tan α = 3/4
tan 2α = 2 tan α / (1 - tan²α) = 2(3/4) / (1 - 9/16)
= (3/2) / (7/16) = (3/2) · (16/7) = 24/7
7. sin 10° · cos 10° · cos 20° · cos 40° · cos 80° / cos 110° = ?
Doğru cevap: A
sin 10° · cos 10° = sin 20° / 2
İfade = (sin 20° / 2) · cos 20° · cos 40° · cos 80° / cos 110°
sin 20° · cos 20° = sin 40° / 2
Ardışık çarpımlar: sin 160° / 32 / cos 110°
sin 160° = sin 20°, cos 110° = -sin 20°
Sonuç = -1/32
8. $\tan(x + \frac{\pi}{4}) = 3$ ise tan x = ?
Doğru cevap: B
$\tan(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} = 3$
1 + tan x = 3(1 - tan x)
1 + tan x = 3 - 3tan x
4tan x = 2 → tan x = 1/2
9. $\frac{2\cot x - \sin 2x}{\cos^2 x}$ = ?
Doğru cevap: D
$\frac{2\cot x - \sin 2x}{\cos^2 x} = \frac{2\frac{\cos x}{\sin x} - 2\sin x \cos x}{\cos^2 x}$
$= \frac{2\cos x}{\sin x \cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x}$
$= \frac{2}{\sin x \cos x} - \frac{2\sin x}{\cos x}$
$= \frac{2 - 2\sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2\cos^2 x}{\sin x \cos x} = 2\cot x$
10. $\frac{4\sin^2 40° - 4\cos 40° + 3\cos^2 40°}{\cos 80°} = x$ ise tan 40° nın x türünden değeri nedir?
Doğru cevap: B
Pay = 4sin²40° + 3cos²40° - 4cos 40°
= sin²40° + 3(sin²40° + cos²40°) - 4cos 40°
= sin²40° + 3 - 4cos 40°
cos 80° = cos²40° - sin²40° = 2cos²40° - 1
Çözüm devam eder...
Trigonometrik denklemler, içinde trigonometrik fonksiyonlar bulunan ve bilinmeyen açıyı bulmayı gerektiren denklemlerdir. Bu denklemlerin çözümünde, trigonometrik fonksiyonların periyodik olması nedeniyle genellikle sonsuz sayıda çözüm elde edilir.
Temel Trigonometrik Denklem Çözümleri:
k ∈ ℤ (k tam sayı)
Özel Değerler İçin:
sin x = 0 ⟹ x = k·180°
sin x = 1 ⟹ x = 90° + k·360°
sin x = -1 ⟹ x = 270° + k·360°
cos x = 0 ⟹ x = 90° + k·180°
cos x = 1 ⟹ x = k·360°
cos x = -1 ⟹ x = 180° + k·360°
sinx = u diyelim: 2u² - u - 1 = 0
(2u + 1)(u - 1) = 0
u = -1/2 veya u = 1
sinx = -1/2 ⟹ x = 210°, 330°
sinx = 1 ⟹ x = 90°
Çözüm kümesi: {90°, 210°, 330°}
Güneş panellerinin verimliliği, güneş ışınlarının panel yüzeyine dik geldiğinde maksimum olur. Panel açısının optimize edilmesi için sin(θ) = sin(φ - δ) denkleminin çözülmesi gerekir. Burada θ panel eğim açısı, φ enlem ve δ güneşin mevsimsel sapma açısıdır.
1. sin x = 1/2 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
sin x = 1/2 = sin 30°
x = 30° veya x = 180° - 30° = 150°
Çözüm kümesi: {30°, 150°}
2. cos x = -√3/2 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: B
cos x = -√3/2
Referans açı: cos 30° = √3/2
II. ve III. bölgede cos negatif
x = 180° - 30° = 150° veya x = 180° + 30° = 210°
3. tan x = 1 denkleminin [0°, 360°) aralığında kaç farklı çözümü vardır?
Doğru cevap: B
tan x = 1 = tan 45°
x = 45° + k·180°
k = 0: x = 45°
k = 1: x = 225°
2 farklı çözüm vardır
4. sin²x - 3/2 · sin x + 1/2 = 0 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
u = sin x diyelim: u² - 3u/2 + 1/2 = 0
2u² - 3u + 1 = 0
(2u - 1)(u - 1) = 0
u = 1/2 veya u = 1
sin x = 1/2 ⟹ x = 30°, 150°
sin x = 1 ⟹ x = 90°
5. 2sin²x - 5sin x + 2 = 0 denklemini sağlayan dar açının kosinüs değeri nedir?
Doğru cevap: C
2sin²x - 5sin x + 2 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 2) = 0
sin x = 1/2 veya sin x = 2 (geçersiz)
sin x = 1/2 → x = 30° (dar açı)
cos 30° = √3/2
6. sin x + cos x = √2 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: B
sin x + cos x = √2(1/√2 · sin x + 1/√2 · cos x)
= √2(sin x · cos 45° + cos x · sin 45°)
= √2 · sin(x + 45°) = √2
sin(x + 45°) = 1
x + 45° = 90° ⟹ x = 45°
7. √3 sin x + cos x = 0 denkleminin [0°, 360°) aralığında kaç farklı çözümü vardır?
Doğru cevap: B
√3 sin x = -cos x
tan x = -1/√3 = -√3/3
Referans açı 30°, II. ve IV. bölgede
x = 150° veya x = 330°
2 farklı çözüm vardır
8. sin 2x = sin x denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözüm sayısı kaçtır?
Doğru cevap: C
sin 2x = sin x
2 sin x cos x = sin x
sin x(2 cos x - 1) = 0
sin x = 0 veya cos x = 1/2
sin x = 0 ⟹ x = 0°, 180°
cos x = 1/2 ⟹ x = 60°, 300°
4 farklı çözüm vardır
9. cos 3x = cos x denkleminin [0°, 180°) aralığında kaç farklı çözümü vardır?
Doğru cevap: A
cos 3x = cos x ise:
3x = x + k·360° veya 3x = -x + k·360°
Durum 1: 3x = x + k·360° → 2x = k·360° → x = k·180°
k=0: x = 0°
k=1: x = 180° (aralık dışı)
Durum 2: 3x = -x + k·360° → 4x = k·360° → x = k·90°
k=0: x = 0° (tekrar)
k=1: x = 90°
k=2: x = 180° (aralık dışı)
[0°, 180°) aralığında: {0°, 90°} → 2 farklı çözüm
10. arcsin(x) = arccos(x) denkleminin çözümü nedir?
Doğru cevap: B
arcsin(x) = arccos(x) ise α = arcsin(x) = arccos(x) diyelim
sin α = x ve cos α = x
sin α = cos α → tan α = 1
α = 45° = π/4
x = sin(π/4) = √2/2
Kontrol: arcsin(√2/2) = π/4 ve arccos(√2/2) = π/4 ✓
Bu testte, trigonometri konularının tamamını kapsayan sorular bulunmaktadır. Her soruyu dikkatlice okuyup çözmeye çalışın.
1. sin 75° + sin 15° işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A
Toplam formülü: sin A + sin B = 2sin((A+B)/2)·cos((A-B)/2)
sin 75° + sin 15° = 2sin(45°)·cos(30°)
= 2·(√2/2)·(√3/2) = √6/2
2. cos 105° değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
cos 105° = cos(60° + 45°)
= cos 60°·cos 45° - sin 60°·sin 45°
= (1/2)·(√2/2) - (√3/2)·(√2/2)
= (√2 - √6)/4
3. sin 2x = 1/2 denkleminin [0°, 360°] aralığındaki çözümleri kaç tanedir?
Doğru cevap: C
sin 2x = 1/2
2x = 30° veya 2x = 150° (temel açılar)
Periyot 360° olduğundan: 2x = 30°, 150°, 390°, 510°
x = 15°, 75°, 195°, 255° → 4 çözüm
4. tan 22.5° değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
tan 22.5° = tan(45°/2)
= (1 - cos 45°)/(sin 45°)
= (1 - √2/2)/(√2/2)
= (2 - √2)/√2 = √2 - 1
5. cos²x - sin²x = 1/2 ise cos 2x = ?
Doğru cevap: B
cos 2x = cos²x - sin²x
Soruda cos²x - sin²x = 1/2 verilmiş
Dolayısıyla cos 2x = 1/2
6. sin(α + β) = 3/5 ve sin(α - β) = 1/5 ise sin α·cos β = ?
Doğru cevap: B
sin(α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β = 3/5
sin(α - β) = sin α·cos β - cos α·sin β = 1/5
İki denklemi toplarsak: 2sin α·cos β = 4/5
sin α·cos β = 2/5
7. 2sin²x + 3cos x = 0 denkleminin [0°, 360°] aralığındaki çözüm sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B
2sin²x + 3cos x = 0
2(1 - cos²x) + 3cos x = 0
-2cos²x + 3cos x + 2 = 0
2cos²x - 3cos x - 2 = 0
(2cos x + 1)(cos x - 2) = 0
cos x = -1/2 (geçerli) veya cos x = 2 (geçersiz)
x = 120°, 240° → 2 çözüm
8. tan 15° + tan 75° işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
tan 15° + tan 75° = tan 15° + tan(90° - 15°)
= tan 15° + cot 15° = tan 15° + 1/tan 15°
tan 15° = 2 - √3 ise, tan 15° + 1/tan 15° = (2-√3) + 1/(2-√3)
= (2-√3) + (2+√3) = 4
9. sin 4x = 2sin 2x·cos 2x özdeşliğinden yararlanarak, sin 4x ifadesi sin x ve cos x cinsinden nasıl yazılır?
Doğru cevap: C
sin 4x = 2sin 2x·cos 2x
= 2(2sin x·cos x)·(cos²x - sin²x)
= 4sin x·cos x·(cos²x - sin²x)
= 4sin x·cos³x - 4sin³x·cos x
Ayrıca: = 4sin x·cos x·(2cos²x - 1) de doğrudur
10. cos 2x = 3sin 2x ise tan 2x = ?
Doğru cevap: A
cos 2x = 3sin 2x
Her iki tarafı cos 2x'e bölelim:
1 = 3tan 2x
tan 2x = 1/3
11. sin 3α = 1 ise α = 30° için sin α değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
sin 3α = 1 ise 3α = 90°
α = 30°
sin 30° = 1/2
Kontrol: sin(3·30°) = sin 90° = 1 ✓
12. tan x = 2 ise (sin 2x)/(1 + cos 2x) = ?
Doğru cevap: B
(sin 2x)/(1 + cos 2x) = (2sin x·cos x)/(2cos²x)
= (sin x)/(cos x) = tan x = 2
13. cos(α - β)·cos(α + β) ifadesi hangi özdeşliğe eşittir?
Doğru cevap: A
cos(α - β) = cos α·cos β + sin α·sin β
cos(α + β) = cos α·cos β - sin α·sin β
Çarpımları: (cos α·cos β)² - (sin α·sin β)²
= cos²α·cos²β - sin²α·sin²β
= cos²α(1 - sin²β) - sin²α·sin²β
= cos²α - cos²α·sin²β - sin²α·sin²β
= cos²α - sin²β(cos²α + sin²α) = cos²α - sin²β
14. sin x + cos x = √2 ise sin 2x = ?
Doğru cevap: B
(sin x + cos x)² = 2
sin²x + 2sin x·cos x + cos²x = 2
1 + 2sin x·cos x = 2
2sin x·cos x = 1
sin 2x = 1
15. tan 2x = 3/4 ise tan x'in pozitif değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
tan 2x = 2tan x/(1 - tan²x) = 3/4
8tan x = 3(1 - tan²x)
3tan²x + 8tan x - 3 = 0
Çözüm: tan x = (-8 ± √(64+36))/6 = (-8 ± 10)/6
tan x = 2/6 = 1/3 veya tan x = -18/6 = -3
Pozitif değer: tan x = 1/3
16. cos x = (1 + √3)·sin x ise tan x = ?
Doğru cevap: A
cos x = (1 + √3)·sin x
cos x/sin x = 1 + √3
cot x = 1 + √3
tan x = 1/(1 + √3)
Paydayı rasyonelleştir: = (1 - √3)/[(1 + √3)(1 - √3)] = (1 - √3)/(1 - 3)
= (1 - √3)/(-2) = (√3 - 1)/2
17. sin²x·cos²x = 1/8 ise |cos 2x| = ?
Doğru cevap: C
sin²x·cos²x = (sin x·cos x)² = 1/8
sin x·cos x = ±√(1/8) = ±(√2/4)
sin 2x = 2sin x·cos x = ±√2/2
cos²2x = 1 - sin²2x = 1 - 1/2 = 1/2
|cos 2x| = √(1/2) = √2/2
18. tan(45° + x) = 3 ise tan x = ?
Doğru cevap: A
tan(45° + x) = (tan 45° + tan x)/(1 - tan 45°·tan x)
= (1 + tan x)/(1 - tan x) = 3
1 + tan x = 3(1 - tan x)
1 + tan x = 3 - 3tan x
4tan x = 2
tan x = 1/2
19. cos 4x = 1 - 8sin²x·cos²x özdeşliğinin doğru olduğunu gösteriniz. Buna göre cos 4x ifadesinin sadece cos 2x cinsinden yazılışı nedir?
Doğru cevap: D
cos 4x = cos 2(2x) = 2cos²2x - 1 = 1 - 2sin²2x
Ayrıca: cos 4x = 1 - 2sin²2x = 1 - 2(2sin x·cos x)²
= 1 - 8sin²x·cos²x ✓
20. (1 + tan x)/(1 - tan x) = 2 ise tan 2x = ?
Doğru cevap: C
1 + tan x = 2(1 - tan x)
1 + tan x = 2 - 2tan x
3tan x = 1
tan x = 1/3
tan 2x = 2tan x/(1 - tan²x)
= 2(1/3)/(1 - 1/9) = (2/3)/(8/9) = (2/3) × (9/8) = 6/8 = 3/4