📊 Üstel Fonksiyon - Kapsamlı Test 📈

Çözüm:

$f(x) = 2^x$ fonksiyonunda $x$ gördüğümüz yere 3 yazarız:

$f(3) = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Matematikte, 0 hariç herhangi bir sayının 0. kuvveti daima 1'dir. Bu temel bir kuraldır.

$f(0) = 3^0 = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için değişkenin (x) üs olarak yer alması gerekir. Genel formu $f(x) = a^x$ şeklindedir, burada $a$ pozitif bir reel sayıdır ve $a \neq 1$'dir.

Bu tanıma uyan tek şık $f(x) = 2^x$ fonksiyonudur.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Fonksiyonda $x$ yerine 1 koyarız. Herhangi bir sayının 1. kuvveti kendisine eşittir.

$f(1) = 5^1 = 5$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Fonksiyonda $x$ yerine 3 yazarak ifadenin küpünü alırız.

$f(3) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Doğru cevap: C

Çözüm:

Önce üs ifadesini hesaplarız, sonra kuvveti alırız.

$f(3) = 2^{3+1} = 2^4 = 16$

Doğru cevap: D

Çözüm:

Bir fonksiyonun tersinde bir değeri bulmak, yani $f^{-1}(81)$'i bulmak, "$f(x) = 81$ eşitliğini sağlayan $x$ değeri nedir?" sorusuna cevap vermekle aynıdır.

$3^x = 81$

81, 3'ün 4. kuvvetidir: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.

$3^x = 3^4$ olduğundan, tabanlar eşitse üsler de eşit olmalıdır. Dolayısıyla $x=4$.

Doğru cevap: D

Çözüm:

Üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonu birbirinin tersidir. $y = a^x$ fonksiyonunun tersini bulmak için $x$'i yalnız bırakırız. Bu da logaritmanın tanımıdır.

$y = a^x \iff x = \log_a y$. Son olarak $x$ yerine $f^{-1}(x)$, $y$ yerine $x$ yazarız.

$f^{-1}(x) = \log_a x$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$f(x) = a^x$ fonksiyonunda;

Eğer taban $a > 1$ ise ($2^x, 3^x, 10^x$ gibi), $x$ değeri arttıkça fonksiyonun değeri de artar. Bu tür fonksiyonlara artan üstel fonksiyon denir.

Eğer taban $0 < a < 1$ ise ($(1/2)^x, (0.3)^x$ gibi), $x$ değeri arttıkça fonksiyonun değeri azalır. Bu tür fonksiyonlara azalan üstel fonksiyon denir.

Soruda $a > 1$ verildiği için fonksiyon artandır.

Doğru cevap: A

Çözüm:

Fonksiyonda $x$ gördüğümüz yere 4 yazarız ve işlemi yaparız.

$f(4) = 5^{4-2} = 5^2 = 25$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$f^{-1}(14)$ değerini bulmak, $f(x) = 14$ eşitliğini sağlayan $x$ değerini bulmaktır.

$3^{x-1} + 5 = 14$

Denklemi düzenlersek: $3^{x-1} = 14 - 5 = 9$

$9 = 3^2$ olduğundan, $3^{x-1} = 3^2$

Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşit olmalıdır: $x - 1 = 2$, buradan $x = 3$ bulunur.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Bir üstel fonksiyonun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekir. Yani:

Taban > 1

$a - 2 > 1$

Bu eşitsizlikten $a > 3$ sonucunu elde ederiz.

3'ten büyük olan en küçük tam sayı 4'tür.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Bir fonksiyonun tersini bulmak için $y = f(x)$ yazılır ve $x$ yalnız bırakılır.

$y = 2^x - 7$

$y + 7 = 2^x$

Logaritmanın tanımından: $x = \log_2(y + 7)$

Son adımda $x$ yerine $f^{-1}(x)$ ve $y$ yerine $x$ yazılır: $f^{-1}(x) = \log_2(x + 7)$

Doğru cevap: C

Çözüm:

$f(x) = 119$ eşitliğini sağlayan $x$ değerini arıyoruz.

$5^{x+2} - 6 = 119$

$5^{x+2} = 125$

$125 = 5^3$ olduğundan, $5^{x+2} = 5^3$

$x + 2 = 3 \implies x = 1$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının 0 ile 1 arasında olması gerekir.

$0 < \text{Taban} < 1$

$0 < a + 1 < 1$

Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarırız: $0 - 1 < a < 1 - 1$

$-1 < a < 0$

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bir ifadenin $f(x)=b^{cx+d}$ formunda bir üstel fonksiyon olabilmesi için üssünün birinci dereceden bir polinom olması gerekir. Bu nedenle üs ifadesindeki $x^2$ teriminin katsayısı 0 olmalıdır.

$a - 1 = 0 \implies a = 1$

$a=1$ değerini fonksiyonda yerine yazalım:

$f(x) = 3^{(1-1)x^2 + (1+4)x} = 3^{0 \cdot x^2 + 5x} = 3^{5x}$

Şimdi $f(1)$ değerini bulabiliriz:

$f(1) = 3^{5 \cdot 1} = 3^5 = 243$

Doğru cevap: D

Çözüm:

Bileşke fonksiyonun tanımını kullanalım: $(f \circ g)(1) = f(g(1))$

Önce içteki fonksiyon olan $g(1)$'i hesaplarız: $g(1) = 3^1 = 3$.

Bulduğumuz bu sonucu dıştaki $f$ fonksiyonunda yerine yazarız: $f(g(1)) = f(3)$.

$f(3) = 2^3 = 8$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Fonksiyonun geçtiği noktalar, o fonksiyonun denklemini sağlar. Verilen noktaları denklemde yerine yazalım.

$(0, 3)$ noktası için: $x=0, f(x)=3 \implies 3 = a \cdot 2^0 + b \implies 3 = a \cdot 1 + b \implies \boldsymbol{a + b = 3}$.

$(2, 9)$ noktası için: $x=2, f(x)=9 \implies 9 = a \cdot 2^2 + b \implies \boldsymbol{4a + b = 9}$.

Soruda bizden istenen zaten $a+b$ değeriydi. Sadece ilk noktayı kullanarak cevabı doğrudan 3 olarak bulabiliriz. Yine de kontrol için her iki denklemi çözerek $a$ ve $b$'yi bulalım:

İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: $(4a+b) - (a+b) = 9 - 3 \implies 3a = 6 \implies a=2$.

$a+b=3$ denkleminde $a=2$ yazarsak $2+b=3 \implies b=1$.

Sonuç olarak $a+b = 2+1=3$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Ayrı ayrı fonksiyonların değerlerini bulup çarpalım:

$f(2) = 3^{2(2)-1} = 3^{4-1} = 3^3 = 27$

$g(0) = 9^{0+1} = 9^1 = 9$

Şimdi bu iki değeri çarpalım: $f(2) \cdot g(0) = 27 \cdot 9 = 243$.

(Hesaplamayı kolaylaştırmak için $27 \cdot 9 = 3^3 \cdot 3^2 = 3^5 = 243$ şeklinde de düşünebiliriz.)

Doğru cevap: C

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için tam kare özdeşliğinden faydalanacağız: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Bize verilen ifadenin her iki tarafının karesini alalım:

$(2^x + 2^{-x})^2 = 5^2$

$(2^x)^2 + 2 \cdot (2^x) \cdot (2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 25$

Üslü sayıların özelliklerini kullanalım: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ ve $a^m \cdot a^{-m} = a^0 = 1$.

$2^{2x} + 2 \cdot (2^{x-x}) + 2^{-2x} = 25$

$4^x + 2 \cdot (2^0) + 4^{-x} = 25$

$4^x + 2 \cdot 1 + 4^{-x} = 25$

Son olarak 2'yi karşıya atalım: $4^x + 4^{-x} = 25 - 2 = 23$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Fonksiyonu denklemde yerine yazalım: $3^{x+1} - 3^{x-1} = 72$.

Üslü ifadeleri en küçük üs olan $(x-1)$ parantezine alalım: $3^{x-1} \cdot 3^2 - 3^{x-1} \cdot 1 = 72$.

$3^{x-1}(3^2 - 1) = 72$.

$3^{x-1}(9 - 1) = 72$.

$3^{x-1} \cdot 8 = 72$.

Her iki tarafı 8'e bölelim: $3^{x-1} = 9$.

$9 = 3^2$ olduğundan: $3^{x-1} = 3^2$.

Tabanlar eşitse üsler de eşittir: $x-1 = 2 \implies x = 3$.

Doğru cevap: C

Çözüm:

Soruda verilen bilgileri adım adım kullanalım:

1. Fonksiyonun tabanı 2'dir: Bu, $a-4 = 2$ anlamına gelir. Buradan $\boldsymbol{a=6}$ bulunur.

2. Fonksiyon y-eksenini 1 noktasında keser: Bu, $x=0$ için $f(0)=1$ demektir.

$f(0) = (a-4)^0 + b-a = 1$.

$1 + b - a = 1$. Buradan $b-a=0$ yani $\boldsymbol{b=a}$ bulunur.

$a=6$ bulduğumuz için, $b$ de 6'dır.

Fonksiyonun son hali: $f(x) = (6-4)^x + 6-6 = 2^x$.

Şimdi $f(3)$ değerini hesaplayabiliriz: $f(3) = 2^3 = 8$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Fonksiyonun tabanı olan 2, 1'den büyük olduğu için fonksiyonun minimum değeri, üs ifadesinin minimum değerinde gerçekleşir.

Üs olan $g(x) = x^2 - 4x + 3$ bir paraboldür. Parabolün minimum değeri tepe noktasında bulunur.

Tepe noktasının apsisi: $x = -b/2a = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$.

Üssün minimum değeri: $g(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Fonksiyonun minimum değeri: $f_{min} = 2^{(\text{üsün minimum değeri})} = 2^{-1} = 1/2$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bu soruyu çözmenin en zarif yolu üslü sayıların özelliklerini kullanmaktır.

Aradığımız ifade $3^{xy}$, üssün üssü kuralı kullanılarak $(3^x)^y$ şeklinde yazılabilir.

Soruda bize $3^x = 4$ olduğu verilmiş.

O halde $(3^x)^y$ ifadesindeki $3^x$ yerine 4 yazabiliriz: $(4)^y = 4^y$.

Soruda bize $4^y = 5$ olduğu da verilmiş.

Böylece $3^{xy} = (3^x)^y = 4^y = 5$ sonucuna ulaşırız.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bileşke fonksiyonu açalım: $(f \circ g)(2) = f(g(2))$.

Önce içteki fonksiyonu hesaplayalım: $g(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Şimdi bulduğumuz sonucu dıştaki fonksiyonda yerine yazalım: $f(g(2)) = f(1)$.

$f(1) = 2^1 = 2$.

Doğru cevap: A

Çözüm:

Denklemin sol tarafını $2^x$ ortak parantezine alalım.

$2^x \cdot 1 + 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^2 = 56$.

$2^x(1 + 2 + 4) = 56$.

$2^x \cdot 7 = 56$.

Her iki tarafı 7'ye bölersek: $2^x = 8$.

$8 = 2^3$ olduğundan, $2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

$f^{-1}(0)$ değerini bulmak, $f(x)=0$ denklemini sağlayan $x$ değerini bulmak demektir.

$3^x - 3^{-x} = 0$.

$3^x = 3^{-x}$.

Tabanlar aynı ve 1'den farklı olduğuna göre üsler eşit olmalıdır: $x = -x$.

$2x = 0 \implies x = 0$.

Doğru cevap: A

Çözüm:

Denklemi $3^x$ cinsinden yazalım: $(3^x)^2 - 3 \cdot 3^x - 54 = 0$.

Değişken değiştirme yapalım: $t = 3^x$. Denklem şu hale gelir:

$t^2 - 3t - 54 = 0$.

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: $(t-9)(t+6) = 0$.

Olası çözümler $t=9$ veya $t=-6$.

Şimdi $t$ yerine $3^x$ yazarak $x$'i bulalım:

1) $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x=2$. Bu geçerli bir çözümdür.

2) $3^x = -6$. Üstel bir fonksiyonun sonucu asla negatif olamaz. Bu nedenle buradan çözüm gelmez.

Tek çözüm $x=2$'dir. Çözüm kümesi: $\{2\}$.

Doğru cevap: B

Çözüm:

Bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için tanım kümesindeki değerlerin fonksiyonda hangi sonuçları ürettiğine bakarız.

Üs olan $\sin x$ fonksiyonunun değer aralığı $[-1, 1]$'dir. Yani $\sin x$ en küçük -1, en büyük 1 değerini alır.

$f(x) = 2^{\sin x}$ fonksiyonunun tabanı (2) 1'den büyük olduğu için, üs ne kadar büyükse sonuç o kadar büyük olur.

Minimum Değer: Üs en küçük değerini aldığında oluşur. $\sin x = -1 \implies f_{min} = 2^{-1} = 1/2$.

Maksimum Değer: Üs en büyük değerini aldığında oluşur. $\sin x = 1 \implies f_{max} = 2^1 = 2$.

Dolayısıyla, fonksiyonun görüntü kümesi $[1/2, 2]$ aralığıdır.

Doğru cevap: B

Çözüm:

İki fonksiyonun grafiğinin kesişim noktasını bulmak için denklemlerini birbirine eşitleriz: $f(x) = g(x)$.

$3^x = 3^{-x}$.

Tabanlar eşit ve 1'den farklı olduğu için üsler de eşit olmalıdır: $x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

Bu, kesişim noktasının apsisidir (x-değeri).

Soru bizden ordinatı (y-değeri) istiyor. Bulduğumuz $x=0$ değerini fonksiyonlardan herhangi birinde yerine yazarız.

Ordinat: $f(0) = 3^0 = 1$.

(Kontrol: $g(0) = 3^{-0} = 1$. Sonuç aynı.)

Doğru cevap: A