Matematikte bazı sayılar özeldir. Bir tam sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen sayılara tam kare doğal sayılar (veya karesel sayılar) denir. Bu sayılar, kenar uzunluğu bir tam sayı olan karelerin alanlarını temsil ederler.
Örnekler:
Sıkça karşılaşılan tam kare sayılar: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, ...
Verilen pozitif bir sayının veya sıfırın, "hangi sayının karesi?" olduğunu bulma işlemine karekök alma denir. Karekök $\sqrt{\phantom{x}}$ sembolü ile gösterilir. Negatif sayıların (reel sayılarda) karekökü yoktur.
Geometrik olarak düşünürsek, alanı verilen bir karenin bir kenar uzunluğunu bulmak, alanın karekökünü almaktır.
Alanı $196 \, m^2$ olan kare şeklindeki bir arsanın bir kenarı kaç metredir?
Çözüm: Kenar = $\sqrt{Alan} = \sqrt{196}$. Hangi sayının karesi 196'dır? $14^2 = 196$. O halde kenar uzunluğu 14 metredir.
Karekök sembolü ($\sqrt{\phantom{x}}$) aslında gizli bir 2. dereceden köktür ($\sqrt[2]{\phantom{x}}$). Üslü bir ifadenin karekökü alınırken, kök içindeki üs kökün derecesine (yani 2'ye) bölünür.
$\sqrt{a^{x}} = a^{x/2}$ (a pozitif ise)
Eğer üs çift ise, sonuç tam sayı üslü olur:
Eğer sayı önce üslü olarak ifade edilip sonra kök alınıyorsa:
$\sqrt{54-\sqrt{12+\sqrt{169}}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm Adımları:
1. En içteki kök: $\sqrt{169} = 13$.
2. Bir dışındaki kök: $\sqrt{12+13} = \sqrt{25} = 5$.
3. En dıştaki kök: $\sqrt{54-5} = \sqrt{49} = 7$.
Sonuç: 7'dir.
Tam kare olmayan sayıların karekökleri $(\sqrt{N})$ kök dışına tam olarak çıkmaz. Ancak, kök içindeki sayının $(\mathbf{N})$ çarpanlarından bazıları kök dışına çıkarılabilir. Bu işlem, ifadeyi $\mathbf{a\sqrt{b}}$ formuna getirmektir; burada $a$ kök dışındaki katsayı, $b$ ise kök içinde kalan kısımdır ($b$'nin 1'den büyük tam kare çarpanı yoktur).
Bu yöntemde, kök içindeki sayı asal çarpanlarına ayrılır:
1. Çarpanlara Ayırma:
288 | 2
144 | 2
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
$288 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^5 \times 3^2$
2. $\sqrt{288} = \sqrt{2^5 \times 3^2}$
3. Üsleri çift + 1 şeklinde yazalım: $\sqrt{2^4 \cdot 2^1 \cdot 3^2}$
4. Dışarı çıkaralım (üsleri 2'ye bölerek): $2^{4/2} \cdot 3^{2/2} \cdot \sqrt{2^1} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
Bu yöntemde, kök içindeki sayıyı $(\mathbf{N})$, çarpanlarından biri mümkün olan en büyük tam kare sayı olacak şekilde $\mathbf{N = a^2 \cdot b}$ şeklinde yazarız.
$\sqrt{N} = \sqrt{a^2 \cdot b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b} = a\sqrt{b}$
80'i bölen tam kare sayıları düşünelim: 1, 4, 16.
Bunlardan en büyüğü 16'dır.
$80 = 16 \times 5$.
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
162'yi bölen tam kare sayılar: 1, 9, 81.
En büyüğü 81'dir.
$162 = 81 \times 2$.
$\sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} = 9\sqrt{2}$.
Eğer en büyük tam kare çarpanı hemen göremiyorsanız, bulduğunuz herhangi bir tam kare çarpanla başlayıp, kök içinde kalan sayıyı tekrar sadeleştirebilirsiniz.
Örnek: $\sqrt{72} = \sqrt{9 \times 8} = 3\sqrt{8}$. Şimdi $\sqrt{8}$'i sadeleştirelim: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$.
Sonuç: $3\sqrt{8} = 3 \times (2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$.
Bir ifadeyi $a\sqrt{b}$ formundan $\sqrt{N}$ formuna getirmek için, kök dışındaki katsayının $(\mathbf{a})$ karesi alınır ve kök içindeki sayıyla $(\mathbf{b})$ çarpılır.
Kural: $\boldsymbol{a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}}$ (a pozitif ise)
Bu işlem özellikle kareköklü sayıları karşılaştırırken (sıralarken) çok kullanışlıdır.
$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \times 3} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{27}$.
$6\sqrt{3} = \sqrt{6^2 \times 3} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{108}$.
$10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \times 3} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{300}$.
Negatif Katsayılar: Eğer katsayı negatifse (örneğin $-2\sqrt{5}$), eksi işareti kök dışında kalır, sadece pozitif katsayı (2) içeri alınır: $-2\sqrt{5} = -\sqrt{2^2 \times 5} = -\sqrt{4 \times 5} = -\sqrt{20}$. Eksi işareti kök içine girmez!
Bir sayının karekökünün $(\sqrt{N})$ hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu belirlemek için, $N$'den küçük en büyük tam kare sayı ile $N$'den büyük en küçük tam kare sayı bulunur. Bu tam kare sayıların karekökleri, aradığımız ardışık tam sayılardır.
Adımlar:
1. 72'den küçük veya eşit en büyük tam kare: $64 = 8^2$.
2. 72'den büyük en küçük tam kare: $81 = 9^2$.
3. $64 \le 72 < 81$.
4. $\sqrt{64} \le \sqrt{72} < \sqrt{81}$.
5. $8 \le \sqrt{72} < 9$. Yani $\sqrt{72}$, 8 ile 9 arasındadır (8 dahil değil, 9 dahil değil).
$\sqrt{N}$'nin hangi tam sayıya ($a$'ya mı yoksa $a+1$'e mi) daha yakın olduğunu bulmak için, $N$ sayısının $a^2$ ve $(a+1)^2$ tam karelerine olan uzaklıklarına bakılır:
$N$ sayısı, hangi tam kareye daha yakınsa (yani uzaklık daha azsa), $\sqrt{N}$ de o tam karenin karekökü olan tam sayıya daha yakındır.
Yukarıda $8 < \sqrt{72} < 9$ bulmuştuk. Yani $a=8$.
1. 72'nin $8^2=64$'e uzaklığı: $72 - 64 = 8$.
2. 72'nin $9^2=81$'e uzaklığı: $81 - 72 = 9$.
3. $8 < 9$ olduğu için, 72 sayısı 64'e daha yakındır.
4. Dolayısıyla, $\sqrt{72}$ de $\sqrt{64}=8$'e daha yakındır.
Farklı kareköklü ifadeleri (örneğin $a\sqrt{b}$ formatındakileri) sıralarken en güvenilir yöntem, tüm katsayıları kök içine almaktır ($\mathbf{a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}}$). Kök içine alındıktan sonra, kök içi daha büyük olan sayı daha büyüktür.
1. Katsayıları kök içine alalım:
2. Kök içlerini karşılaştıralım: $99 < 162 < 245$.
3. Sıralama: $\sqrt{99} < \sqrt{162} < \sqrt{245}$.
4. Orijinal halleriyle: $3\sqrt{11} < 9\sqrt{2} < 7\sqrt{5}$.
Negatif sayıları sıralarken, önce pozitifmiş gibi sıralama yapılır, sonra eşitsizlik sembollerinin yönü ters çevrilir (büyük olan küçük, küçük olan büyük olur).
Toplama ve çıkarma yapmanın temel şartı, kök içlerinin aynı olmasıdır. Kök içleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır, ortak kök $(\sqrt{x})$ aynen yazılır.
$\mathbf{a\sqrt{x} \pm c\sqrt{x} = (a \pm c)\sqrt{x}}$
Eğer kök içleri farklıysa, öncelikle ifadeler $a\sqrt{b}$ şeklinde yazılarak kök içlerinin eşitlenip eşitlenemeyeceğine bakılır. Eşitlenemiyorsa, ifade daha fazla sadeleştirilemez.
1. Kökleri sadeleştir:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
2. İşlemi yap: $5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (5+4-3)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
1. Kökleri sadeleştir:
$\sqrt{720} = \sqrt{144 \times 5} = 12\sqrt{5}$
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$
2. İşlemi yap: $12\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = (12+5)\sqrt{5} = 17\sqrt{5}$.
Unutmayın: Kök içleri farklıysa toplama/çıkarma yapılamaz! $2\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$ ifadesi bu şekilde kalır. Ayrıca $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a+b}$ ve $\sqrt{a} - \sqrt{b} \ne \sqrt{a-b}$ !
Katsayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar da kendi aralarında çarpılır. Elde edilen sonuçtaki köklü ifade (varsa) $a\sqrt{b}$ formunda sadeleştirilir.
$\mathbf{(a\sqrt{b}) \cdot (c\sqrt{d}) = (a \cdot c)\sqrt{b \cdot d}}$
$(3 \times 5)\sqrt{6 \times 2} = 15\sqrt{12}$. Sadeleştirelim: $15\sqrt{12} = 15\sqrt{4 \times 3} = 15 \times 2\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$.
Önce sadeleştirme: $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
Çarpma: $(4\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{6}) = (4 \times 2)\sqrt{2 \times 6} = 8\sqrt{12} = 8(2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$.
$(\sqrt{7})^2 = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{49} = 7$. Genel Kural: $(\sqrt{x})^2 = x$ (x pozitif ise).
$(3\sqrt{5})^2 = (3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5}) = (3 \cdot 3)\sqrt{5 \cdot 5} = 9 \times 5 = 45$. (Hem katsayının hem kökün karesi alınır).
Katsayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar da kendi aralarında bölünür. Sonuç sadeleştirilir.
$\mathbf{\frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}}$
$\frac{8}{2}\sqrt{\frac{15}{3}} = 4\sqrt{5}$.
Önce sadeleştirme: $\frac{\sqrt{9 \times 5}}{\sqrt{16 \times 5}} = \frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$.
Sonra bölme: $\frac{3}{4}\sqrt{\frac{5}{5}} = \frac{3}{4}\sqrt{1} = \frac{3}{4}$.
Alternatif: $\sqrt{\frac{45}{80}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$.
Bir kesrin paydasında köklü ifade $(\sqrt{x})$ bulunuyorsa, paydayı kökten kurtarmak için kesir genellikle paydadaki köklü ifadeyle ($\sqrt{x}$) genişletilir. Bu işlem paydanın rasyonel sayı olmasını sağlar.
Kesri $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ile çarpalım: $\frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
Kesri $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ ile çarpalım: $\frac{10 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{10\sqrt{5}}{10} = \sqrt{5}$.
(Veya önce $\frac{10}{2}=5$ sadeleştirmesi yapıp $\frac{5}{\sqrt{5}}$ elde edilir, sonra $\sqrt{5}$ ile genişletilirdi.)
Ondalık bir sayının karekökünü almak için, sayıyı önce rasyonel sayı (kesir) olarak yazarız. Paydanın $100, 10000$ gibi tam kare bir sayı olmasına dikkat ederiz. Sonra payın ve paydanın ayrı ayrı karekökünü alırız.
$\mathbf{\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$
$\sqrt{0,81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$.
$\sqrt{2,56} = \sqrt{\frac{256}{100}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{100}} = \frac{16}{10} = 1,6$.
$\sqrt{0,0441} = \sqrt{\frac{441}{10000}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{10000}} = \frac{21}{100} = 0,21$.
Ondalık kareköklü ifadelerle işlemler yapılırken, genellikle önce her bir terimin karekökü alınır, sonra elde edilen ondalık sayılarla işlem yapılır.
1. Kökleri alalım:
$\sqrt{6,25} = 2,5$
$\sqrt{1,69} = 1,3$
$\sqrt{0,36} = 0,6$
2. İşlemi yapalım: $\frac{2,5 - 1,3}{0,6} = \frac{1,2}{0,6}$. Virgül kaydırarak $\frac{12}{6} = 2$.
Dikkat: Önce kök içindeki toplama yapılır!
$\sqrt{1,44 + 0,25} = \sqrt{1,69}$.
Şimdi kök alınır: $\sqrt{1,69} = 1,3$.
(Sakın $\sqrt{1,44} + \sqrt{0,25}$ şeklinde ayrı ayrı kök almayın! $1,2 + 0,5 = 1,7$ olurdu ki bu yanlış sonuçtur.)
Sayıları sınıflandırmak için farklı kümeler kullanırız. Kareköklü ifadelerle çalışırken hangi sayının hangi kümeye ait olduğunu bilmek önemlidir.
N $\subset$ Z $\subset$ Q $\subset$ R ve I $\subset$ R. Rasyonel ve İrrasyonel kümelerin kesişimi boş kümedir ($\emptyset$).
İki sayıyla işlem yapıldığında sonucun rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olacağını tahmin etmek önemlidir:
$\sqrt{45}$ sayısını hangi sayıyla çarparsak sonuç bir doğal sayı olur?
1. $\sqrt{45}$'i sadeleştir: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.
2. İfadeyi kökten kurtarmak için içinde $\sqrt{5}$ çarpanı olan bir sayıyla çarpmak gerekir.
3. Mümkün çarpanlar: $\sqrt{5}$, $\sqrt{20} (=2\sqrt{5})$, $\sqrt{80} (=4\sqrt{5})$, $k\sqrt{5}$...
İşlem: $(3\sqrt{5}) \times \sqrt{5} = 3 \times 5 = 15$ (Doğal sayı).
İşlem: $(3\sqrt{5}) \times \sqrt{20} = (3\sqrt{5}) \times (2\sqrt{5}) = (3 \times 2)(\sqrt{5} \times \sqrt{5}) = 6 \times 5 = 30$ (Doğal sayı).
Bir kareköklü sayıyı $(\sqrt{N})$ farklı $a\sqrt{b}$ formlarında yazmak için, $N$'nin tam kare çarpanlarını kullanırız. $N = a^2 \cdot b$ ise $\sqrt{N} = a\sqrt{b}$ olur. Aşağıda istediğiniz bir sayının farklı $a\sqrt{b}$ formlarını görebilirsiniz.
Aşağıdaki 40 soru, kareköklü ifadeler konusundaki anlayışınızı test etmek için PDF'teki sorulardan ve temel kavramlardan derlenmiştir.