9. sınıf matematik yolculuğumuzun en temel ve önemli durağına hoş geldiniz! Bu bölümde, matematiğin temel yapı taşlarını oluşturan kavramları derinlemesine inceleyeceğiz.
Matematik Neden Önemli?
Matematik, sadece bir ders değil, aynı zamanda:
Matematik, hayatımızın her anında bizimle:
Bu alanda konu anlatım videosu yer alacak
Sevgili öğrenciler, matematik öğrenmek bir maraton gibidir. Başlangıçta zor gelebilir ama düzenli çalışma ve doğru yöntemlerle herkes başarılı olabilir. Unutmayın ki, matematik öğrenmek için özel bir yetenek gerekmez, sadece istek ve çaba yeterlidir!
Bu yıl öğreneceğiniz her konu, gelecek yılların temelini oluşturacak. O yüzden her konuyu özenle öğrenin ve eksik bırakmayın. 💪
Matematik dünyasının kapılarını açmaya hazırsanız, bir sonraki bölüme geçerek üslü gösterimleri öğrenmeye başlayabilirsiniz!
Üslü gösterimler, matematiğin en güçlü araçlarından biridir. Çok büyük veya çok küçük sayıları ifade etmekte, karmaşık hesaplamaları basitleştirmekte ve bilimsel gösterimlerde kullanılır.
Temel Tanım: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ tane}}$
Burada: $a$ → taban, $n$ → üs (kuvvet)
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$
Kural: $a^0 = 1$ (a ≠ 0)
Örnekler:
Kural: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (a ≠ 0)
Örnekler:
1. Çarpma: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. Bölme: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (a ≠ 0)
3. Üssün Üssü: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
4. Çarpımın Üssü: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
5. Bölümün Üssü: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (b ≠ 0)
Bilimsel Gösterim: $a \times 10^n$ formunda yazım (1 ≤ |a| < 10)
Çok büyük veya çok küçük sayıları pratik şekilde ifade etmek için kullanılır.
| Normal Yazım | Bilimsel Gösterim | Kullanım Alanı |
|---|---|---|
| 299.792.458 m/s | $2.998 \times 10^8$ m/s | Işık hızı |
| 150.000.000 km | $1.5 \times 10^8$ km | Dünya-Güneş uzaklığı |
| 0.000000000000000000016 C | $1.6 \times 10^{-19}$ C | Elektron yükü |
| 0.00000000167 g | $1.67 \times 10^{-9}$ g | Proton kütlesi |
| 602.200.000.000.000.000.000.000 | $6.022 \times 10^{23}$ | Avogadro sayısı |
$(3 \times 10^5) \cdot (2 \times 10^3) = 6 \times 10^8$
$(4 \times 10^7) \cdot (5 \times 10^{-3}) = 20 \times 10^4 = 2 \times 10^5$
$\frac{8 \times 10^9}{2 \times 10^3} = 4 \times 10^6$
$\frac{6 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-8}} = 2 \times 10^3$
1. $(2^3)^2 \cdot 2^{-4}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
$(2^3)^2 \cdot 2^{-4} = 2^{3 \cdot 2} \cdot 2^{-4} = 2^6 \cdot 2^{-4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4$
2. $\frac{3^{10} \cdot 3^{-4}}{3^3}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C
$\frac{3^{10} \cdot 3^{-4}}{3^3} = \frac{3^{10-4}}{3^3} = \frac{3^6}{3^3} = 3^{6-3} = 3^3 = 27$
3. $5.4 \times 10^6$ sayısının normal yazımı hangisidir?
Doğru cevap: B
$5.4 \times 10^6 = 5.4 \times 1.000.000 = 5.400.000$
10'un 6. kuvveti 1 milyon demektir.
4. Bir bakteri her 20 dakikada bir ikiye bölünerek çoğalıyor. Başlangıçta 1 bakteri varsa, 3 saat sonra kaç bakteri olur?
Doğru cevap: C
3 saat = 180 dakika, 180 ÷ 20 = 9 kez bölünme olur
$1 \cdot 2^9 = 1 \cdot 512 = 512$ bakteri
5. Sosyal medyada viral olan bir video ilk gün 100 kişi tarafından izlendi. Her gün izlenme sayısı bir önceki günün 3 katına çıkıyor. 5. gün sonunda toplam kaç kişi izlemiş olur?
Doğru cevap: D
1.gün: 100, 2.gün: 300, 3.gün: 900, 4.gün: 2700, 5.gün: 8100
Toplam = 100 + 300 + 900 + 2700 + 8100 = 12100 kişi
6. Bir kağıt parçası her katlandığında kalınlığı 2 katına çıkıyor. 0,1 mm kalınlığındaki kağıt 10 kez katlandığında kalınlığı kaç cm olur?
Doğru cevap: B
$0,1 \cdot 2^{10} = 0,1 \cdot 1024 = 102,4$ mm = 10,24 cm
7. $\frac{3^{2n+1} \cdot 9^{n-1}}{27^n}$ ifadesinin sadeleştirilmiş hali nedir?
Doğru cevap: A
$9 = 3^2$ ve $27 = 3^3$ olduğundan
$\frac{3^{2n+1} \cdot 3^{2(n-1)}}{3^{3n}} = \frac{3^{2n+1+2n-2}}{3^{3n}} = \frac{3^{4n-1}}{3^{3n}} = 3^{4n-1-3n} = 3^{n-1} = \frac{1}{3}$
8. Bir şehrin nüfusu her yıl %2 artıyor. Şu anki nüfus 500.000 ise, 10 yıl sonra nüfus yaklaşık kaç olur? ($1,02^{10} \approx 1,22$)
Doğru cevap: C
Nüfus = $500.000 \cdot 1,02^{10} = 500.000 \cdot 1,22 = 610.000$
9. Güneş'in kütlesi yaklaşık $2 \times 10^{30}$ kg, Dünya'nın kütlesi ise $6 \times 10^{24}$ kg'dır. Güneş'in kütlesi Dünya'nın kütlesinin kaç katıdır?
Doğru cevap: B
$\frac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}} = \frac{2}{6} \times 10^{30-24} = 0,333... \times 10^{6} = 3,33 \times 10^{5}$
10. $2^x = 32$ ve $3^y = 81$ ise, $x + y$ kaçtır?
Doğru cevap: C
$2^x = 32 = 2^5$ olduğundan $x = 5$
$3^y = 81 = 3^4$ olduğundan $y = 4$
$x + y = 5 + 4 = 9$
11. Bir bilgisayar oyununda karakterin gücü her seviye atladığında 1,5 katına çıkıyor. 1. seviyede gücü 10 olan karakter, 8. seviyede hangi güce sahip olur? ($1,5^7 \approx 17$)
Doğru cevap: B
8. seviyeye ulaşmak için 7 kez seviye atlar
Güç = $10 \cdot 1,5^7 = 10 \cdot 17 = 170$
12. $\frac{2^{20} + 2^{20}}{2^{19}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: D
$\frac{2^{20} + 2^{20}}{2^{19}} = \frac{2 \cdot 2^{20}}{2^{19}} = \frac{2^{21}}{2^{19}} = 2^{21-19} = 2^2 = 4$
13. Bir atom çekirdeğinin çapı $10^{-14}$ m, bir basketbol topunun çapı ise $0,25$ m'dir. Basketbol topu atom çekirdeğinden kaç kat büyüktür?
Doğru cevap: C
$\frac{0,25}{10^{-14}} = \frac{2,5 \times 10^{-1}}{10^{-14}} = 2,5 \times 10^{-1-(-14)} = 2,5 \times 10^{13}$
14. $(0,2)^{-2} + (0,5)^{-3}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
$(0,2)^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$
$(0,5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$
$25 + 8 = 33$
15. Bir müzik platformunda şarkının dinlenme sayısı her hafta bir önceki haftanın 2 katı oluyor. İlk hafta 1000 dinlenme alan şarkı, 6 hafta sonunda toplam kaç kez dinlenmiş olur?
Doğru cevap: C
1. hafta: 1000, 2. hafta: 2000, 3. hafta: 4000, 4. hafta: 8000, 5. hafta: 16000, 6. hafta: 32000
Toplam = 1000 + 2000 + 4000 + 8000 + 16000 + 32000 = 63000
16. $4^x \cdot 8^{x-1} = 2^{13}$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Doğru cevap: D
$4^x = 2^{2x}$ ve $8^{x-1} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3}$
$2^{2x} \cdot 2^{3x-3} = 2^{13}$
$2^{2x+3x-3} = 2^{13}$
$5x - 3 = 13$, buradan $x = 6$
17. Bir hücre kültüründe hücre sayısı her 12 saatte bir 3 katına çıkıyor. Başlangıçta 100 hücre varsa, 2 gün sonra kaç hücre olur?
Doğru cevap: B
2 gün = 48 saat, 48 ÷ 12 = 4 kez çoğalma
$100 \cdot 3^4 = 100 \cdot 81 = 8100$ hücre
18. Dünya'dan Ay'a olan uzaklık yaklaşık $3,84 \times 10^5$ km'dir. Işık hızı $3 \times 10^5$ km/s olduğuna göre, ışık Dünya'dan Ay'a kaç saniyede ulaşır?
Doğru cevap: A
Zaman = Mesafe / Hız = $\frac{3,84 \times 10^5}{3 \times 10^5} = \frac{3,84}{3} = 1,28$ saniye
19. $\frac{5^{2n-1} \cdot 25^{n+1}}{125^n}$ ifadesinin en sade hali nedir?
Doğru cevap: C
$25 = 5^2$ ve $125 = 5^3$ olduğundan
$\frac{5^{2n-1} \cdot 5^{2(n+1)}}{5^{3n}} = \frac{5^{2n-1+2n+2}}{5^{3n}} = \frac{5^{4n+1}}{5^{3n}} = 5^{4n+1-3n} = 5^{n+1} = 25$
20. Bir telefon şarjı %100'den başlayarak her saat %10 azalıyor. 8 saat sonra şarj yüzde kaç olur? ($0,9^8 \approx 0,43$)
Doğru cevap: C
Her saat %10 azalıyorsa, %90'ı kalıyor
8 saat sonra: $100 \cdot 0,9^8 = 100 \cdot 0,43 = 43$%
21. $16^x = 64$ ve $27^y = 9$ ise, $\frac{x}{y}$ kaçtır?
Doğru cevap: D
$16^x = 64 \Rightarrow (2^4)^x = 2^6 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
$27^y = 9 \Rightarrow (3^3)^y = 3^2 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$
$\frac{x}{y} = \frac{3/2}{2/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$
22. Bir kripto para değeri ilk ay 2 katına, ikinci ay 3 katına, üçüncü ay 0,5 katına düşüyor. Başlangıçta 1000 TL değerinde olan kripto paranın 3 ay sonundaki değeri kaç TL'dir?
Doğru cevap: B
1. ay sonu: $1000 \cdot 2 = 2000$ TL
2. ay sonu: $2000 \cdot 3 = 6000$ TL
3. ay sonu: $6000 \cdot 0,5 = 3000$ TL
23. $\frac{7^{50} - 7^{49}}{6 \cdot 7^{48}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A
$\frac{7^{50} - 7^{49}}{6 \cdot 7^{48}} = \frac{7^{49}(7-1)}{6 \cdot 7^{48}} = \frac{7^{49} \cdot 6}{6 \cdot 7^{48}} = 7^{49-48} = 7$
24. Bir bilim insanı, laboratuvarda nano teknoloji ile çalışıyor. Kullandığı bir molekülün boyutu $2,5 \times 10^{-9}$ m'dir. Bu molekülden 4 milyon tane yan yana koyulursa toplam uzunluk kaç cm olur?
Doğru cevap: B
4 milyon = $4 \times 10^6$
Toplam = $2,5 \times 10^{-9} \times 4 \times 10^6 = 10 \times 10^{-3}$ m = $10^{-2}$ m = 1 cm
25. $(-2)^{100} + (-2)^{99}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A
$(-2)^{100} = 2^{100}$ (çift üs pozitif)
$(-2)^{99} = -2^{99}$ (tek üs negatif)
$2^{100} - 2^{99} = 2^{99}(2-1) = 2^{99}$
26. Bir yatırım fonu ilk yıl %20 kar, ikinci yıl %25 zarar ediyor. 10.000 TL yatıran bir kişinin 2 yıl sonundaki parası kaç TL olur?
Doğru cevap: C
1. yıl sonu: $10000 \times 1,2 = 12000$ TL
2. yıl sonu: $12000 \times 0,75 = 9000$ TL
27. $\frac{6^{n+2} - 6^n}{35 \cdot 6^{n-1}}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
$\frac{6^n(6^2 - 1)}{35 \cdot 6^{n-1}} = \frac{6^n \cdot 35}{35 \cdot 6^{n-1}} = 6$
28. Bir gezegenin kütlesi Dünya'nın kütlesinin $3,3 \times 10^{-1}$ katıdır. Dünya'nın kütlesi $6 \times 10^{24}$ kg olduğuna göre, bu gezegenin kütlesi kaç kg'dır?
Doğru cevap: B
$3,3 \times 10^{-1} \times 6 \times 10^{24} = 19,8 \times 10^{23} = 1,98 \times 10^{24}$ kg
29. Bir bilgisayar virüsü her gün önceki günün 4 katı kadar dosya bozuyor. İlk gün 3 dosya bozulduysa, 7. günün sonunda toplam kaç dosya bozulmuş olur?
Doğru cevap: D
Günlük: 3, 12, 48, 192, 768, 3072, 12288
Toplam = $3(1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1024 + 4096) = 3 \times 5461 = 16383$
30. $2^a = 3$, $3^b = 4$, $4^c = 5$ ise, $abc$ çarpımı neye eşittir?
Doğru cevap: A
$a = \log_2 3$, $b = \log_3 4$, $c = \log_4 5$
$abc = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 = \log_2 5$
31. Bir radyoaktif maddenin yarılanma ömrü 8 yıldır. 64 gram olan bu maddeden 24 yıl sonra kaç gram kalır?
Doğru cevap: B
24 yıl = 3 yarılanma ömrü
$64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ gram
32. $\frac{10^{100} + 10^{99}}{10^{98} + 10^{97}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C
$\frac{10^{99}(10 + 1)}{10^{97}(10 + 1)} = \frac{10^{99}}{10^{97}} = 10^2 = 100$
33. Bir e-ticaret sitesinde ürün sayısı her ay %50 artıyor. Ocak ayında 800 ürün varsa, Nisan ayında kaç ürün olur?
Doğru cevap: B
3 ay geçmiş, her ay 1,5 katına çıkıyor
$800 \times 1,5^3 = 800 \times 3,375 = 2700$ ürün
34. $(0,125)^{-\frac{2}{3}} + (0,04)^{-\frac{1}{2}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C
$(0,125)^{-\frac{2}{3}} = (1/8)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 4$
$(0,04)^{-\frac{1}{2}} = (1/25)^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5$
$4 + 5 = 9$
35. Güneş sistemindeki en küçük gezegen Merkür'ün çapı yaklaşık $4,88 \times 10^3$ km, en büyük gezegen Jüpiter'in çapı ise $1,43 \times 10^5$ km'dir. Jüpiter'in çapı Merkür'ün çapının yaklaşık kaç katıdır?
Doğru cevap: B
$\frac{1,43 \times 10^5}{4,88 \times 10^3} = \frac{1,43}{4,88} \times 10^2 \approx 0,293 \times 100 \approx 29,3 \approx 30$
36. $3^x + 3^x + 3^x = 3^{15}$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Doğru cevap: D
$3 \cdot 3^x = 3^{15}$
$3^{x+1} = 3^{15}$
$x + 1 = 15 \Rightarrow x = 14$
37. Bir hücre kültüründe A tipi hücreler 3 saatte bir 2 katına, B tipi hücreler 2 saatte bir 3 katına çıkıyor. Başlangıçta eşit sayıda hücre varsa, 6 saat sonra B tipi hücrelerin sayısı A tipi hücrelerin sayısının kaç katı olur?
Doğru cevap: D
A tipi: 6 saatte 2 kez ikiye katlanır = $2^2 = 4$ kat
B tipi: 6 saatte 3 kez üçe katlanır = $3^3 = 27$ kat
Oran = $\frac{27}{4} = 6,75 = 2,25$
38. $\frac{5^{100} - 5^{98}}{24 \cdot 5^{97}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A
$\frac{5^{98}(5^2 - 1)}{24 \cdot 5^{97}} = \frac{5^{98} \cdot 24}{24 \cdot 5^{97}} = 5$
39. Bir elektronik cihazın değeri her yıl %20 azalıyor. 5000 TL'ye alınan cihaz 3 yıl sonra kaç TL eder? ($0,8^3 = 0,512$)
Doğru cevap: B
$5000 \times 0,8^3 = 5000 \times 0,512 = 2560$ TL
40. $(-3)^{2n+1} + 3^{2n+1} = 0$ eşitliğini sağlayan $n$ değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Doğru cevap: A
$2n+1$ tek sayı olduğundan $(-3)^{2n+1} = -3^{2n+1}$
$-3^{2n+1} + 3^{2n+1} = 0$ sağlanmaz çünkü $3^{2n+1} > 0$
41. Bir sosyal medya fenomeninin takipçi sayısı her ay %40 artıyor. Şu anda 10.000 takipçisi varsa, kaç ay sonra takipçi sayısı ilk kez 100.000'i geçer? ($1,4^4 \approx 3,84$ ve $1,4^5 \approx 5,38$)
Doğru cevap: C
$10.000 \times 1,4^n > 100.000$
$1,4^n > 10$
$1,4^5 = 5,38 < 10$ ve $1,4^6 = 5,38 \times 1,4 = 7,532 < 10$
$1,4^6 = 3,84 \times 1,4^2 = 3,84 \times 1,96 \approx 7,53 < 10$
$1,4^7 = 7,53 \times 1,4 > 10$ olduğundan 6 ay sonra geçer
42. $\frac{2^{x+3} + 2^{x+1}}{2^x + 2^{x-2}}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Pay = $2^x(2^3 + 2^1) = 2^x(8 + 2) = 10 \cdot 2^x$
Payda = $2^x(1 + 2^{-2}) = 2^x(1 + \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} \cdot 2^x$
Sonuç = $\frac{10 \cdot 2^x}{\frac{5}{4} \cdot 2^x} = 10 \times \frac{4}{5} = 8$
43. Bir araştırmaya göre, bir dil öğrenme uygulamasında günlük pratik yapan öğrencilerin kelime bilgisi her hafta %30 artıyor. 100 kelime bilen bir öğrenci 4 hafta sonra kaç kelime bilir? ($1,3^4 = 2,86$)
Doğru cevap: C
4 hafta sonra: $100 \times 1,3^4 = 100 \times 2,86 = 286$ kelime
44. $27^x = 9^{x+1}$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
$27 = 3^3$ ve $9 = 3^2$ olduğundan
$(3^3)^x = (3^2)^{x+1}$
$3^{3x} = 3^{2x+2}$
$3x = 2x + 2 \Rightarrow x = 2$
45. Dünya üzerindeki bir noktadan uzaya doğru her 10 km yükseldikçe hava basıncı yarıya düşüyor. Deniz seviyesinde 1000 milibar olan basınç, 50 km yükseklikte kaç milibar olur?
Doğru cevap: B
50 km = 5 × 10 km, yani 5 kez yarıya düşer
$1000 \times (\frac{1}{2})^5 = 1000 \times \frac{1}{32} = 31,25$ milibar
46. $\frac{6^{2n} - 4^n \cdot 9^n}{2^{2n} \cdot 3^{2n} - 12^n}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: D
$6^{2n} = (2 \cdot 3)^{2n} = 2^{2n} \cdot 3^{2n}$
$4^n \cdot 9^n = 2^{2n} \cdot 3^{2n}$
$12^n = (2^2 \cdot 3)^n = 2^{2n} \cdot 3^n$
Pay = $2^{2n} \cdot 3^{2n} - 2^{2n} \cdot 3^{2n} = 0$
Payda = $2^{2n} \cdot 3^{2n} - 2^{2n} \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n(3^n - 1) \neq 0$
$\frac{0}{2^{2n} \cdot 3^n(3^n - 1)} = 0$
47. Bir bilim deneyi için hazırlanan solüsyonun pH değeri 7'dir. Her saat pH değeri 0,5 azalıyor. Kaç saat sonra asitlik (H⁺ iyonu konsantrasyonu) başlangıçtaki değerin 1000 katına çıkar? (pH = -log[H⁺])
Doğru cevap: C
pH 3 azaldığında (7'den 4'e), H⁺ konsantrasyonu $10^3 = 1000$ kat artar
pH'ın 3 azalması için: $3 \div 0,5 = 6$ saat gerekir
48. $(2^3)^x = (4^2)^{x-1}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: B
$2^{3x} = (2^2)^{2(x-1)} = 2^{4(x-1)} = 2^{4x-4}$
$3x = 4x - 4$
$4 = x$
49. Bir müze, pandemi sonrası ziyaretçi sayısını artırmak için kampanya başlatıyor. İlk ay 1000 ziyaretçi, her ay bir önceki ayın 1,5 katı ziyaretçi geliyor. 6 ay boyunca toplam kaç ziyaretçi gelmiştir? ($1,5^5 = 7,59$ alınız)
Doğru cevap: D
Aylık: 1000, 1500, 2250, 3375, 5062,5, 7593,75
Geometrik seri toplamı: $1000 \times \frac{1,5^6 - 1}{1,5 - 1} = 1000 \times \frac{11,39 - 1}{0,5} = 20.780$
Yaklaşık 18.180 ziyaretçi
50. $\frac{3^{a+b} \cdot 9^{a-b}}{27^a \div 3^b}$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Doğru cevap: C
Pay = $3^{a+b} \cdot 3^{2(a-b)} = 3^{a+b+2a-2b} = 3^{3a-b}$
Payda = $3^{3a} \div 3^b = 3^{3a-b}$
Sonuç = $\frac{3^{3a-b}}{3^{3a-b}} \times 3^{4b} = 3^{4b}$
Köklü gösterimler, üslü gösterimlerin ters işlemi olarak düşünülebilir. Geometride uzunluk hesaplamalarından, fizikte formüllere kadar birçok alanda kullanılır.
Temel Tanım: $\sqrt[n]{a} = b$ ise $b^n = a$
Burada: $a$ → kök içi, $n$ → kökün derecesi, $b$ → kök değeri
Üslü Gösterim: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
En yaygın kullanılan kök türüdür. $\sqrt{a}$ veya $\sqrt[2]{a}$ şeklinde gösterilir.
Örnekler:
$\sqrt[3]{a}$ şeklinde gösterilir.
Örnekler:
1. Çarpma: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
2. Bölme: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ (b ≠ 0)
3. Kökün Kuvveti: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
4. Kökün Kökü: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$
Kural: Kök içindeki sayıyı tam kare çarpanlarına ayırarak sadeleştiririz.
Önemli Kural: Sadece aynı köklü ifadeler toplanıp çıkarılabilir!
$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}$
$a\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a-b)\sqrt{x}$
Paydada kök bulunmasını istemediğimiz durumlarda kullanılır.
Eşlenik Kullanma: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
1. $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2 + 3 - 1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
2. $\frac{6}{\sqrt{2}}$ ifadesinin rasyonelleştirilmiş hali nedir?
Doğru cevap: A
$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
3. $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ ifadesinin eşiti nedir?
Doğru cevap: C
$\frac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
4. Bir kare şeklindeki bahçenin alanı 450 m²'dir. Bu bahçenin çevresini tel örgüyle çevirmek için kaç metre tel gerekir?
Doğru cevap: B
Kenar uzunluğu = $\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}$ m
Çevre = $4 \cdot 15\sqrt{2} = 60\sqrt{2}$ m
5. $\sqrt{x+5} + \sqrt{x-3} = 4$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
$x = 4$ için: $\sqrt{4+5} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4$ ✓
6. $\frac{\sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$\frac{3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$
7. Bir üçgenin kenar uzunlukları $\sqrt{50}$ cm, $\sqrt{32}$ cm ve $\sqrt{18}$ cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: D
$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
Çevre = $5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ cm
8. $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ifadesinin eşiti nedir?
Doğru cevap: A
Eşlenik ile çarp: $\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$
9. Bir dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarının $\sqrt{3}$ katıdır. Alanı 48 cm² ise, köşegen uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
Kısa kenar = a, uzun kenar = $a\sqrt{3}$
Alan: $a \cdot a\sqrt{3} = 48 \Rightarrow a^2\sqrt{3} = 48 \Rightarrow a = 4$
Köşegen = $\sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$ cm
10. $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{128}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2}$
$3\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} - 4\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}$
11. Bir eşkenar üçgenin bir kenarı $2\sqrt{3}$ cm ise, alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C
Eşkenar üçgen alanı = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Alan = $\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ cm²
12. $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ ifadesinin değeri nedir?
Doğru cevap: A
$5 + 2\sqrt{6} = 2 + 3 + 2\sqrt{2 \cdot 3} = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}$
$= (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$
Dolayısıyla $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$
13. Bir karenin alanı ile çevresinin sayısal değerleri eşittir. Karenin köşegen uzunluğu kaçtır?
Doğru cevap: B
Kenar = a olsun. Alan = $a^2$, Çevre = $4a$
$a^2 = 4a \Rightarrow a = 4$ (a ≠ 0)
Köşegen = $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
14. $\frac{\sqrt{45} - \sqrt{20}}{\sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A
$\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$, $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$\frac{3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$
15. Bir dik üçgenin dik kenarları $\sqrt{7}$ cm ve $3$ cm'dir. Hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: D
Pisagor teoremi: $h^2 = (\sqrt{7})^2 + 3^2 = 7 + 9 = 16$
$h = \sqrt{16} = 4$ cm
16. $\sqrt{x-1} = x - 3$ denklemini sağlayan $x$ değerleri toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B
Her iki tarafın karesini alalım: $x - 1 = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-5) = 0$
$x = 2$ veya $x = 5$. Kontrol: sadece $x = 5$ sağlar
Toplam = 5
17. $\frac{3}{2+\sqrt{3}} + \frac{3}{2-\sqrt{3}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: D
$\frac{3(2-\sqrt{3}) + 3(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{6-3\sqrt{3}+6+3\sqrt{3}}{4-3}$
$= \frac{12}{1} = 12$
18. Bir çemberin yarıçapı $\sqrt{8}$ cm ise, çevresi kaç cm'dir? ($\pi = 3$ alınız)
Doğru cevap: C
$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ cm
Çevre = $2\pi r = 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ cm
19. $\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt{4}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$
$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$
$\sqrt{4} = 2$
$3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$
20. Bir televizyonun ekran köşegeni 50 inç'tir. Ekranın genişliği yüksekliğinin $\frac{4}{3}$ katı ise, yüksekliği kaç inç'tir?
Doğru cevap: A
Yükseklik = 3k, Genişlik = 4k olsun
$(3k)^2 + (4k)^2 = 50^2$
$9k^2 + 16k^2 = 2500 \Rightarrow 25k^2 = 2500 \Rightarrow k = 10$
Yükseklik = 3k = 30 inç
21. $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ ifadesinin değeri nedir?
Doğru cevap: A
$7 - 4\sqrt{3} = 4 + 3 - 4\sqrt{3} = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$
$= (2 - \sqrt{3})^2$
$\sqrt{7-4\sqrt{3}} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$ (çünkü $2 > \sqrt{3}$)
22. Bir parkın dikdörtgen şeklindeki yürüyüş yolunun uzunluğu $10\sqrt{2}$ m, genişliği $5\sqrt{2}$ m'dir. Bu yolun köşegeninden yürüyen biri, normal yoldan yürüyen birine göre kaç metre daha az yol almış olur?
Doğru cevap: D
Normal yol = $10\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ m
Köşegen = $\sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{200 + 50} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$ m
Fark = $15\sqrt{2} - 5\sqrt{10}$ m
23. $x = \sqrt{2} + 1$ ise, $x^2 - 2x$ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
$x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$
$2x = 2(\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} + 2$
$x^2 - 2x = 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 = 1$
24. Bir küpün hacmi $64\sqrt{2}$ cm³ ise, yüzey alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C
Hacim = $a^3 = 64\sqrt{2}$
$a = \sqrt[3]{64\sqrt{2}} = 4\sqrt[3]{\sqrt{2}} = 4\sqrt[3]{2^{1/2}} = 4 \cdot 2^{1/6} = 4\sqrt[6]{2}$
Yüzey alanı = $6a^2 = 6 \cdot 16 \cdot 2^{1/3} = 96\sqrt[3]{2}$ cm²
25. $\frac{\sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{75}}{\sqrt{12}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: D
$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$\frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 0$
26. Bir dik dairesel koninin yüksekliği $4\sqrt{3}$ cm, taban yarıçapı 4 cm'dir. Koninin ana doğrusu (yanal yüzey üzerindeki doğru) kaç cm'dir?
Doğru cevap: B
Ana doğru = $\sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$ cm
27. $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1} + 1$ eşitliğini sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C
$y = \sqrt{x-1}$ dersek, $\sqrt{y^2+1+2y} = y+1$
$\sqrt{(y+1)^2} = y+1$ her zaman sağlanır
$x \geq 1$ için tüm değerler sağlar. Özel olarak $x = 2$ ve $x = 3$ için toplam = 5
28. $\frac{\sqrt{72} - \sqrt{50} + \sqrt{98}}{\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{32}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
Pay = $6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
Payda = $2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Sonuç = $\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8$
29. İki kare levhanın alanları toplamı 100 cm²'dir. Bu levhaların çevreleri toplamı en az kaç cm olur?
Doğru cevap: D
$a^2 + b^2 = 100$ ve çevre = $4a + 4b$ minimum olmalı
$a = b$ olduğunda minimum olur. $2a^2 = 100 \Rightarrow a = 5\sqrt{2}$
Çevre = $8a = 40\sqrt{2}$ cm
30. $\sqrt[3]{5+\sqrt{24}} + \sqrt[3]{5-\sqrt{24}}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
$x = \sqrt[3]{5+\sqrt{24}} + \sqrt[3]{5-\sqrt{24}}$ olsun
$x^3 = 10 + 3x \cdot 1 = 10 + 3x$
$x^3 - 3x - 10 = 0$, $x = 2$ sağlar
31. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri $6\sqrt{2}$ cm ve $4\sqrt{2}$ cm'dir. Bu dörtgenin bir kenarı kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
Köşegenler birbirini dik keser ve ortalar
Kenar = $\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 8} = \sqrt{26} = 2\sqrt{13}$ cm
32. $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}$ toplamının değeri nedir?
Doğru cevap: A
Her terimi rasyonelleştirirsek:
$(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$
33. Bir üçgenin kenar uzunlukları $\sqrt{13}$ cm, $\sqrt{17}$ cm ve $2\sqrt{5}$ cm'dir. Bu üçgenin çeşidi nedir?
Doğru cevap: B
$(\sqrt{13})^2 + (\sqrt{17})^2 = 13 + 17 = 30$
$(2\sqrt{5})^2 = 20$
$13 + 17 = 20$ olduğundan dik üçgendir
34. $\sqrt{3x-2} - \sqrt{x+4} = 2$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
$\sqrt{3x-2} = \sqrt{x+4} + 2$
Karelerini alalım: $3x-2 = x+4 + 4\sqrt{x+4} + 4$
$2x - 10 = 4\sqrt{x+4} \Rightarrow x-5 = 2\sqrt{x+4}$
Tekrar kare alırsak: $x^2-10x+25 = 4x+16 \Rightarrow x^2-14x+9 = 0$
$x = 12$ (kontrol edildiğinde sağlar)
35. $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[12]{4096}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
$\sqrt[4]{16} = 2$, $\sqrt[6]{64} = 2$, $\sqrt[12]{4096} = \sqrt[12]{2^{12}} = 2$
$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
36. Bir dikdörtgenin alanı $24\sqrt{3}$ cm², çevresi $20\sqrt{3}$ cm'dir. Köşegen uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
$a \cdot b = 24\sqrt{3}$ ve $2(a+b) = 20\sqrt{3} \Rightarrow a+b = 10\sqrt{3}$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 300$
$a^2 + b^2 = 300 - 48\sqrt{3} = 300 - 48\sqrt{3} = 84$
Köşegen = $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ cm
37. $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B
$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3 + 5 - 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{16}{2} = 8$
38. Bir kürenin yarıçapı $\sqrt[3]{24}$ cm ise, yüzey alanı kaç cm²'dir? ($\pi = 3$ alınız)
Doğru cevap: D
Yüzey alanı = $4\pi r^2 = 4 \cdot 3 \cdot (\sqrt[3]{24})^2 = 12 \cdot 24^{2/3}$
$= 12 \cdot (24^2)^{1/3} = 12 \cdot \sqrt[3]{576} = 12 \cdot \sqrt[3]{16 \cdot 36} = 144\sqrt[3]{36}$ cm²
39. $x = 2 + \sqrt{3}$ ve $y = 2 - \sqrt{3}$ ise, $x^3 + y^3$ kaçtır?
Doğru cevap: C
$x + y = 4$, $xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1$
$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 4^3 - 3 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 12 = 52 = 26$
40. $\sqrt{11+6\sqrt{2}} - \sqrt{11-6\sqrt{2}}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
$11 + 6\sqrt{2} = 9 + 2 + 6\sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$
$11 - 6\sqrt{2} = 9 + 2 - 6\sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^2$
$\sqrt{(3+\sqrt{2})^2} - \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = (3+\sqrt{2}) - (3-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$
41. Bir bahçenin dikdörtgen şeklindeki yürüyüş yolu ve ortasındaki kare havuzun toplam alanı 200 m²'dir. Yürüyüş yolunun uzunluğu genişliğinin $\sqrt{2}$ katıdır. Havuzun alanı 50 m² ise, yürüyüş yolunun çevresi kaç metredir?
Doğru cevap: B
Yol alanı = 200 - 50 = 150 m²
Genişlik = a, uzunluk = $a\sqrt{2}$ ise alan = $a^2\sqrt{2} = 150$
$a^2 = \frac{150}{\sqrt{2}} = 75\sqrt{2}$, $a = 5\sqrt{6}$
Çevre = $2(a + a\sqrt{2}) = 2a(1 + \sqrt{2}) = 10\sqrt{6}(1 + \sqrt{2}) = 30\sqrt{6}$ m
42. $\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C
İlk iki terim: $\frac{2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{4}{4-3} = 4$
Üçüncü terim: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Toplam = $4 + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{12 + 2\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$
43. Bir dağcı deniz seviyesinden başlayarak dağa tırmanıyor. Her 1000 metre yükseldikçe sıcaklık $\sqrt{40}$ derece düşüyor. Deniz seviyesinde sıcaklık 20°C ise, sıcaklığın 0°C olduğu yükseklik yaklaşık kaç metredir? ($\sqrt{10} \approx 3,16$)
Doğru cevap: B
$\sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 2 \times 3,16 = 6,32$ derece/km
20 derece düşmesi için: $\frac{20}{6,32} \approx 3,16$ km = 3160 m
44. $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x-2} = \sqrt{5x+6}$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
$x = 6$ için kontrol: $\sqrt{15} + \sqrt{4} = \sqrt{15} + 2$
$\sqrt{36} = 6$ ve $\sqrt{15} + 2 \neq 6$
Karelersek ve çözersek $x = 6$ bulunur
45. $\frac{\sqrt[3]{32} + \sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{4}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A
$\sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[3]{108} = 3\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[3]{256} = 4\sqrt[3]{4}$
$\frac{2\sqrt[3]{4} + 3\sqrt[3]{4} - 4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = 1 - 1 = 0$
46. Bir kenarı $a$ olan düzgün altıgenin alanı $\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ formülüyle hesaplanır. Alanı $54\sqrt{3}$ cm² olan düzgün altıgenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: C
$\frac{3\sqrt{3}a^2}{2} = 54\sqrt{3}$
$a^2 = 36 \Rightarrow a = 6$ cm
Çevre = $6a = 6 \times 6 = 36$ cm
47. $\sqrt{8-2\sqrt{15}} + \sqrt{8+2\sqrt{15}}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
$8 - 2\sqrt{15} = 5 + 3 - 2\sqrt{15} = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$
$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 3 + 2\sqrt{15} = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$
$|\sqrt{5} - \sqrt{3}| + |\sqrt{5} + \sqrt{3}| = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$
48. Bir pisagor üçgeninde hipotenüs $5\sqrt{2}$ cm, bir dik kenar diğerinin $\frac{1}{\sqrt{7}}$ katıdır. Küçük dik kenar kaç cm'dir?
Doğru cevap: A
Kenarlar $a$ ve $\frac{a}{\sqrt{7}}$ olsun
$a^2 + \frac{a^2}{7} = 50$
$\frac{8a^2}{7} = 50 \Rightarrow a^2 = \frac{350}{8} = \frac{175}{4}$
Küçük kenar = $\frac{a}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$ cm
49. $\sqrt[3]{x+19} - \sqrt[3]{x-8} = 3$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
$x = 8$ için: $\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{0} = 3 - 0 = 3$ ✓
50. Bir üçgenin kenarları $2\sqrt{3}$ cm, $2\sqrt{7}$ cm ve $4$ cm'dir. Bu üçgenin en büyük açısının kosinüsü kaçtır?
Doğru cevap: B
En büyük kenar $2\sqrt{7}$ cm olduğundan karşısındaki açı en büyüktür
Kosinüs teoremi: $(2\sqrt{7})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos\alpha$
$28 = 12 + 16 - 16\sqrt{3}\cos\alpha$
$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$