Etkileşimli Olasılık Dersi

Olasılığa Giriş ve Temel Kavramlar

Günlük hayatta birçok durumda kesin sonuçlar yerine olası sonuçlarla karşılaşırız. Hava durumu tahminleri, bir spor müsabakasının sonucu, atılan bir zarın üst yüzüne gelecek sayı gibi durumlar belirsizlik içerir. Olasılık, bu belirsiz durumların gerçekleşme ihtimalini matematiksel olarak inceleyen bir alandır. Olasılık teorisi, şans oyunlarından finansa, bilimsel araştırmalardan mühendisliğe kadar pek çok alanda karar verme süreçlerine yardımcı olur.

Temel Kavramlar

Not: Bir olayın olasılığı $P(A)$ ile gösterilir ve $0 \leq P(A) \leq 1$ aralığında bir değer alır.

Pekiştirme Testi: Temel Kavramlar

1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir 'olay' belirtir?

2. "Rastgele seçilen bir kitabın sayfa sayısının asal sayı olması" durumunda 'deney' aşağıdakilerden hangisidir?

3. Haftanın günlerinden birinin rastgele seçilmesi deneyinde, seçilen günün 'P' harfi ile başlaması olayının çıktıları nelerdir?

4. Duyu organlarından birinin rastgele seçilmesi deneyinin örnek uzayı nedir?

5. Bir mağazadan rastgele ayakkabı seçme deneyinde "beyaz ayakkabı seçme" ve "spor ayakkabı seçme" olayları ne tür olaylardır?

6. Bir okul kantininde öğle yemeği için 3 çeşit poğaça (peynirli, zeytinli, patatesli) ve 2 çeşit içecek (ayran, meyve suyu) sunulmaktadır. Bir öğrencinin kantinden rastgele bir çeşit poğaça VE rastgele bir çeşit içecek seçerek menü oluşturması bir deney olarak kabul edilirse, bu deneyin örnek uzayı (oluşabilecek tüm farklı menü seçenekleri) kaç elemanlıdır?

7. Bir meteoroloji istasyonu, İzmir için yarınki hava durumunu tahmin ediyor. Tahmin modeline göre olası sonuçlar (örnek uzay) şunlardır: 'Güneşli', 'Parçalı Bulutlu', 'Yağmurlu', 'Sağanak Yağışlı' ve 'Fırtınalı'. Bu deneyde, 'Yağışsız Hava' olarak tanımlanan olayın çıktıları hangi seçenekte doğru verilmiştir?

8. Bir markette alışveriş yapan müşterilerin aldıkları fişlerin son hanesi 0'dan 9'a kadar rakamlardan rastgele biri olmaktadır. Rastgele seçilen bir fişin son hanesinin 'çift sayı olması' olayı (A) ile '5'ten büyük olması' olayının (B) kesişimi ($A \cap B$) nedir ve bu olaylar ayrık mıdır, değil midir?

9. Bir spor merkezine gelen üyeler ya sadece kardiyo (K) antrenmanı, ya sadece ağırlık (A) antrenmanı ya da her iki tür antrenmanı birden (KA) yapabiliyorlar. Rastgele seçilen bir üyenin 'sadece kardiyo antrenmanı yapması' olayı ile 'sadece ağırlık antrenmanı yapması' olayı ne tür olaylardır?

10. Bir çiftçi serasında sadece kırmızı renkli domatesler yetiştirmektedir. Seradan rastgele koparılan bir domatesin kırmızı renkte olması olayı, olasılık açısından nasıl bir olaydır?

Deneysel Olasılık (Gözleme Dayalı Tahmin)

Bazı olayların gerçekleşme olasılığını teorik olarak hesaplamak zor olabilir veya mümkün olmayabilir. Örneğin, bir raptiyenin sivri ucu yukarı gelecek şekilde düşme olasılığı veya belirli bir takımın bir sonraki maçı kazanma olasılığı gibi. Bu tür durumlarda, olayın olasılığını tahmin etmek için deneyi birçok kez tekrarlar ve sonuçları kaydederiz.

Bir olayın deneysel olasılığı, yapılan deney sayısına göre o olayın gerçekleşme sıklığına (göreli sıklığına) dayanır:

$$ P(\text{Deneysel}) = \frac{\text{Olayın Gerçekleşme Sayısı (Sıklığı)}}{\text{Toplam Deney Sayısı}} $$
Büyük Sayılar Yasası: Bir deneyin tekrar sayısı arttıkça, bir olayın deneysel olasılığı, o olayın teorik (gerçek) olasılığına yaklaşma eğilimindedir. Bu nedenle, deneysel olasılıkla güvenilir bir tahmin yapmak için çok sayıda deneme yapmak önemlidir.

Örnek: Hilesiz bir madeni para 100 kez havaya atılıyor ve 55 kez Tura geliyor. Tura gelme olayının deneysel olasılığı nedir?

Olayın Gerçekleşme Sayısı = 55

Toplam Deney Sayısı = 100

Deneysel Olasılık = $\frac{55}{100} = 0.55$

Teorik olasılık 0.5'tir. Deney sayısı arttıkça deneysel olasılığın 0.5'e yaklaşması beklenir.

Pekiştirme Testi: Deneysel Olasılık

1. PDF'teki Soru 7'de verilen grafiğe göre, sayı küpü havaya atıldığında üst yüze 5 gelme olayının deneysel olasılığı kaçtır? (Toplam 500 atış yapılmış ve 5 sayısı 80 kez gelmiştir).

2. PDF'teki Soru 7'de verilen grafiğe göre, sayı küpü havaya atıldığında üst yüze çift sayı gelme olayının deneysel olasılığı kaçtır? (Çift sayılar: 2 (74 kez), 4 (79 kez), 6 (78 kez). Toplam 500 atış).

3. Bir futbolcu 20 penaltı atışından 15'ini gole çevirmiştir. Bu futbolcunun bir sonraki penaltıyı gole çevirme olayının deneysel olasılığı kaçtır?

4. Bir zar 600 kez atılıyor ve 110 kez 3 geliyor. 3 gelme olayının deneysel olasılığı teorik olasılığından (1/6) ne kadar farklıdır?

5. Büyük sayılar yasasına göre, bir deneyin tekrar sayısı sonsuza yaklaştıkça, deneysel olasılık hangi değere yaklaşır?

6. Bir mahalle fırıncısı, gün sonunda yaptığı 150 adet ekmekten 9 tanesinin kenarının fazla kızardığını (yanık kabul edildiğini) fark ediyor. Müşteriye rastgele verilen bir ekmeğin yanık olma olayının deneysel olasılığı, bu verilere göre yaklaşık olarak kaçtır?

7. Profesyonel bir basketbol oyuncusu, antrenman sırasında yaptığı 80 serbest atış denemesinin 64 tanesini başarıyla sayıya çeviriyor. Bu oyuncunun geçmiş performansına bakarak, bir sonraki serbest atışını sayıya çevirme olayının deneysel olasılığı kaçtır?

8. Şehir planlamacıları, yoğun bir kavşaktaki trafik akışını analiz etmek için bir saat boyunca geçen araçları sayıyorlar. Bu süre içinde geçen toplam 250 araçtan 75 tanesinin kamyon olduğu tespit ediliyor. Bu gözleme dayanarak, bu kavşaktan rastgele geçen bir aracın kamyon olma olayının deneysel olasılığı nedir?

9. Büyük bir online pazar yeri, son bir ayda yapılan 5000 siparişten 450 tanesinin çeşitli nedenlerle müşteriler tarafından iade edildiğini belirliyor. Bu verilere göre, bu siteden verilen bir sonraki siparişin iade edilmesi olayının deneysel olasılığı kaçtır?

10. Bir tarım araştırma enstitüsü, geliştirdiği yeni bir buğday tohumunun çimlenme oranını test etmek için 400 adet tohum ekiyor ve bunlardan 360 tanesinin başarılı bir şekilde çimlendiğini gözlemliyor. Rastgele seçilen bir adet yeni tür buğday tohumunun çimlenmesi olayının deneysel olasılığı nedir?

Teorik Olasılık

Teorik olasılık, bir olayın gerçekleşme olasılığını, deney yapmadan, örnek uzaydaki tüm eş olasılıklı çıktıları göz önüne alarak hesaplar. Hilesiz bir zar veya madeni para gibi durumlarda kullanılır.

$$ P(\text{Teorik}) = \frac{\text{İstenen Durumların Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durumların Sayısı (Örnek Uzay Eleman Sayısı)}} $$

Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze 3 gelme olasılığı $\frac{1}{6}$'dır.

Pekiştirme Testi: Teorik Olasılık

1. Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze tek sayı gelme olasılığı nedir?

2. Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi top vardır. Torbadaki toplar özdeş olduğuna göre, rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı nedir?

3. Hilesiz bir madeni para iki kez havaya atıldığında, iki atışta da yazı gelme olasılığı nedir?

4. 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dahil) tam sayıların yazılı olduğu özdeş kartlardan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının asal sayı olma olasılığı nedir?

5. Bir olayın gerçekleşme olasılığı $P(A) = 0.7$ ise, bu olayın gerçekleşmeme (tümleyeni) olasılığı $P(A')$ kaçtır?

6. Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze 7 gelme olasılığı nedir?

7. Bir torbada sadece 6 tane sarı bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?

8. Hilesiz iki zar aynı anda atıldığında üst yüzlere gelen sayıların toplamının 5 olma olasılığı nedir?

9. Bir kutuda 4 sağlam ve 2 bozuk ampul vardır. Kutudan rastgele seçilen bir ampulün bozuk olma olasılığı kaçtır?

10. 52'lik standart bir iskambil destesinden rastgele çekilen bir kartın Kupa (♥) olma olasılığı nedir?

Olasılık Hesaplama (Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar)

Birden fazla olayın birlikte veya ayrı ayrı gerçekleşme olasılıkları hesaplanabilir.

Pekiştirme Testi: Olasılık Hesaplama

1. Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze 2 gelme olasılığı (A olayı) veya 5 gelme olasılığının (B olayı) gerçekleşme olasılığı, yani $P(A \cup B)$ kaçtır?

2. Bir torbada 3 kırmızı ve 4 mavi özdeş top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı (K) veya mavi (M) olma olasılığı $P(K \cup M)$ kaçtır?

3. A ve B, aynı örnek uzaya ait ayrık olaylardır. $P(A) = 0.4$ ve $P(B) = 0.3$ olduğuna göre, A veya B olayının gerçekleşme olasılığı $P(A \cup B)$ kaçtır?

4. Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematik (M), %50'si fizik (F) dersini seviyor ve %30'u her ikisini de seviyor. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematik VEYA fizik dersini sevme olasılığı $P(M \cup F)$ kaçtır?

5. Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze çift sayı gelme (A olayı) veya asal sayı gelme (B olayı) olasılığı $P(A \cup B)$ kaçtır?

6. A ve B olayları için $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.6$ ve $P(A \cup B) = 0.8$ olarak veriliyor. Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı $P(A \cap B)$ kaçtır?

7. Bir kutuda 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dahil) numaralandırılmış özdeş toplar bulunmaktadır. Kutudan rastgele çekilen bir topun numarasının 3'ün katı veya 4'ün katı olma olasılığı kaçtır?

8. Bir sepetteki 20 elmanın 5'i çürük, 15'i sağlamdır. Rastgele seçilen bir elmanın çürük VEYA sağlam olma olasılığı kaçtır?

9. 52'lik standart bir iskambil destesinden rastgele çekilen bir kartın As (A) veya Kupa (K) olma olasılığı $P(A \cup K)$ kaçtır?

10. İki olay A ve B için $P(A)=1/3$, $P(B)=1/2$ ve $P(A \cap B)=1/6$ ise, A veya B olayının gerçekleşme olasılığı $P(A \cup B)$ kaçtır?

Genel Değerlendirme Testi (Olasılık)

Aşağıdaki sorular, olasılık konusundaki temel kavramları ve hesaplama becerilerinizi değerlendirmek amacıyla PDF'teki genel değerlendirme bölümünden uyarlanmıştır. Bir seçeneğe tıkladığınızda anında geri bildirim alacaksınız. Son soruyu yanıtladıktan sonra genel sonuçlarınız gösterilecektir.

1. Bir içecek otomatında 17 şerbet (8'i sıcak, 9'u soğuk), 22 limonata (12'si sıcak, 10'u soğuk) ve 20 maden suyu (9'u sıcak, 11'i soğuk) bulunmaktadır. Otomattan rastgele seçilen bir içeceğin soğuk bir içecek veya limonata olma olasılığı kaçtır?

2. $x, y \in \mathbb{N}$ olmak üzere $0 \le x \le 4$ ve $0 \le y \le 4$ koşullarını sağlayan tam sayılardan rastgele seçilen bir (x, y) sıralı ikilisinin, $y = 5x$ veya $2y = x$ denklemlerinden en az birini sağlama olasılığı kaçtır? (Toplam 25 olası nokta vardır: (0,0), (0,1), ..., (4,4))

3. A Rh+ (Genotip: A0Rr) kan grubuna sahip bir anne ile B Rh+ (Genotip: B0Rr) kan grubuna sahip bir babanın doğacak çocuğunun AB Rh+ kan grubuna (Fenotip) sahip olma olasılığı kaçtır? (A ve B, 0'a baskın; R, r'ye baskın)

4. İçinde 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 yeşil özdeş top bulunan bir torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı veya yeşil olma olasılığı kaçtır?

5. Hilesiz bir zarın bir kez atılması deneyinde üst yüze gelen sayının 4'ten büyük olma olasılığı kaçtır?

6. İçinde 1'den 20'ye kadar tam sayıların yazılı olduğu özdeş toplar bulunan bir torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun numarasının hem 2'nin katı hem de 3'ün katı (yani 6'nın katı) olma olasılığı kaçtır? Bu tür olayların anlaşılması, örneğin üretim bandındaki belirli kusurların aynı anda görülme sıklığını tahmin etmede kullanılabilir.

7. 30 kişilik bir sınıfta 18 öğrenci erkektir ve sınıftaki öğrencilerin tamamı ya kız ya da erkektir. Gözlüklü erkek öğrenci sayısı 10, gözlüklü kız öğrenci sayısı ise 6'dır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek VEYA gözlüklü olma olasılığı kaçtır? Bu tür hesaplamalar, belirli özelliklere sahip grupların genel popülasyondaki yaygınlığını anlamak için önemlidir.

8. Ali, hilesiz bir zarı ve hilesiz bir madeni parayı aynı anda havaya atıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4'ten küçük olması VE madeni paranın tura gelmesi olasılığı kaçtır? Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığının nasıl hesaplandığını hatırlayın.

9. Bir etkinlik için katılımcıların %60'ı A aktivitesini, %50'si B aktivitesini seçmiştir. Katılımcıların %80'i ise A veya B aktivitelerinden en az birini seçmiştir. Rastgele seçilen bir katılımcının sadece A aktivitesini seçmiş olma olasılığı ($P(A \setminus B)$) kaçtır?

10. Bir okulda öğrencilerin %70'i kantinden memnundur (M). Öğrencilerin %40'ı spor salonundan memnundur (S) ve %25'i her ikisinden de memnundur. Rastgele seçilen bir öğrencinin kantinden memnun olduğu bilindiğine göre (M olayı gerçekleşmiş), bu öğrencinin spor salonundan da memnun olma olasılığı ($P(S|M)$) kaçtır?